Theorem expcnv 14596

Description: A sequence of powers of a complex number A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnv.1	|- ( ph -> A e. CC )
expcnv.2	|- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
expcnv	|- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem expcnv

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 0 ) -> 1 e. ZZ )
3		nn0ex 11298	. . . . 5 |- NN0 e. _V
4	3	mptex 6486	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 0 ) -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V )
6		0cnd 10033	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 0 ) -> 0 e. CC )
7		nnnn0 11299	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
8		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
9		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
10		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( A ^ k ) e. _V
11	8, 9, 10	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
12	7, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
13		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = 0 ) -> A = 0 )
14	13	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = 0 ) -> ( A ^ k ) = ( 0 ^ k ) )
15	12, 14	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( 0 ^ k ) )
16		0exp 12895	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( 0 ^ k ) = 0 )
17	16	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( 0 ^ k ) = 0 )
18	15, 17	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = 0 )
19	1, 2, 5, 6, 18	climconst 14274	. 2 |- ( ( ph /\ A = 0 ) -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )
20		1zzd 11408	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> 1 e. ZZ )
21		expcnv.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) < 1 )
23		expcnv.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
24		absrpcl 14028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
25	23, 24	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
26	25	reclt1d 11885	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) < 1 <-> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) ) )
27	22, 26	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) )
28		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
29	25	rpreccld 11882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ )
30	29	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
31		difrp 11868	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
32	28, 30, 31	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
33	27, 32	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ )
34	33	rpreccld 11882	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR+ )
35	34	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
36		divcnv 14585	. . . . 5 |- ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
37	35, 36	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
38		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
39	38	mptex 6486	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V
40	39	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V )
41		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
42		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) )
43		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. _V
44	41, 42, 43	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
45	44	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
46	34	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR )
47		nndivre 11056	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
48	46, 47	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
49	45, 48	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) e. RR )
50		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( abs ` A ) ^ n ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
51		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) )
52		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) ^ k ) e. _V
53	50, 51, 52	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
54	53	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
55		nnz 11399	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
56		rpexpcl 12879	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
57	25, 55, 56	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
58	54, 57	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR+ )
59	58	rpred 11872	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
60		nnrp 11842	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
61		rpmulcl 11855	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ /\ k e. RR+ ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
62	33, 60, 61	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
63	62	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR )
64		peano2re 10209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
66		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
67	29, 55, 66	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
68	67	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR )
69	63	lep1d 10955	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) )
70	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
71	7	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
72	29	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
74		bernneq2 12991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
75	70, 71, 73, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
76	63, 65, 68, 69, 75	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
77	25	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) =/= 0 ) )
78		exprec 12901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
79	78	3expa 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
80	77, 55, 79	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
81	76, 80	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
82	62, 57, 81	lerec2d 11893	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
83	33	rpcnne0d 11881	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) =/= 0 ) )
84		nncn 11028	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
85		nnne0 11053	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
86	84, 85	jca 554	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
87		recdiv2 10738	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) =/= 0 ) /\ ( k e. CC /\ k =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
88	83, 86, 87	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
89	82, 88	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
90	89, 54, 45	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) )
91	58	rpge0d 11876	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) )
92	1, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91	climsqz2 14372	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 )
93		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
94	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V )
95	39	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V )
96	7	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
97	96, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
98		expcl 12878	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
99	23, 7, 98	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
100	97, 99	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) e. CC )
101		absexp 14044	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
102	23, 7, 101	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
103	97	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) = ( abs ` ( A ^ k ) ) )
104	53	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
105	102, 103, 104	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) )
106	1, 93, 94, 95, 100, 105	climabs0 14316	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 ) )
107	106	biimpar 502	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 ) -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )
108	92, 107	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )
109	19, 108	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  explecnv  14597  geolim  14601  geo2lim  14606  iscmet3lem3  23088  mbfi1fseqlem6  23487  geomcau  33555  stoweidlem7  40224