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Theorem tgblthelfgott 41703
Description: The ternary Goldbach conjecture is valid for all odd numbers less than 8.8 x 10^30 (actually 8.875694 x 10^30, see section 1.2.2 in [Helfgott] p. 4, using bgoldbachlt 41701, ax-hgprmladder 41702 and bgoldbtbnd 41697. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
tgblthelfgott |- ( ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> N e. GoldbachOdd )
Proof of Theorem tgblthelfgott
Dummy variables n d f i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hgprmladder 41702 . 2 |- E. d e. ( ZZ>= ` 3 ) E. f e. (RePart ` d ) ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) )
2 1nn0 11308 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
3 1nn 11031 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
42, 3decnncl 11518 . . . . . . . . 9 |- ; 1 1 e. NN
54nnzi 11401 . . . . . . . 8 |- ; 1 1 e. ZZ
6 8nn0 11315 . . . . . . . . . . 11 |- 8 e. NN0
7 8nn 11191 . . . . . . . . . . 11 |- 8 e. NN
86, 7decnncl 11518 . . . . . . . . . 10 |- ; 8 8 e. NN
9 10nn 11514 . . . . . . . . . . 11 |- ; 1 0 e. NN
10 2nn0 11309 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
11 9nn 11192 . . . . . . . . . . . . 13 |- 9 e. NN
1210, 11decnncl 11518 . . . . . . . . . . . 12 |- ; 2 9 e. NN
1312nnnn0i 11300 . . . . . . . . . . 11 |- ; 2 9 e. NN0
14 nnexpcl 12873 . . . . . . . . . . 11 |- ( (; 1 0 e. NN /\ ; 2 9 e. NN0 ) -> (; 1 0 ^; 2 9 ) e. NN )
159, 13, 14mp2an 708 . . . . . . . . . 10 |- (; 1 0 ^; 2 9 ) e. NN
168, 15nnmulcli 11044 . . . . . . . . 9 |- (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) e. NN
1716nnzi 11401 . . . . . . . 8 |- (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) e. ZZ
18 1re 10039 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
198nnrei 11029 . . . . . . . . . . 11 |- ; 8 8 e. RR
2018, 19pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR /\ ; 8 8 e. RR )
21 0le1 10551 . . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
22 1lt10 11681 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 < ; 1 0
237, 6, 2, 22declti 11546 . . . . . . . . . . 11 |- 1 < ; 8 8
2421, 23pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 <_ 1 /\ 1 < ; 8 8 )
25 nnexpcl 12873 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( (; 1 0 e. NN /\ 1 e. NN0 ) -> (; 1 0 ^ 1 ) e. NN )
269, 2, 25mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 |- (; 1 0 ^ 1 ) e. NN
2726nnrei 11029 . . . . . . . . . . 11 |- (; 1 0 ^ 1 ) e. RR
2815nnrei 11029 . . . . . . . . . . 11 |- (; 1 0 ^; 2 9 ) e. RR
2927, 28pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( (; 1 0 ^ 1 ) e. RR /\ (; 1 0 ^; 2 9 ) e. RR )
30 0re 10040 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
31 10re 11517 . . . . . . . . . . . . 13 |- ; 1 0 e. RR
32 10pos 11515 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < ; 1 0
3330, 31, 32ltleii 10160 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ ; 1 0
349nncni 11030 . . . . . . . . . . . . 13 |- ; 1 0 e. CC
35 exp1 12866 . . . . . . . . . . . . 13 |- (; 1 0 e. CC -> (; 1 0 ^ 1 ) = ; 1 0 )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- (; 1 0 ^ 1 ) = ; 1 0
3733, 36breqtrri 4680 . . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ (; 1 0 ^ 1 )
38 1z 11407 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
3912nnzi 11401 . . . . . . . . . . . . 13 |- ; 2 9 e. ZZ
4031, 38, 393pm3.2i 1239 . . . . . . . . . . . 12 |- (; 1 0 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ; 2 9 e. ZZ )
41 2nn 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
42 9nn0 11316 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 9 e. NN0
4341, 42, 2, 22declti 11546 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < ; 2 9
4422, 43pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 < ; 1 0 /\ 1 < ; 2 9 )
45 ltexp2a 12912 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (; 1 0 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ; 2 9 e. ZZ ) /\ ( 1 < ; 1 0 /\ 1 < ; 2 9 ) ) -> (; 1 0 ^ 1 ) < (; 1 0 ^; 2 9 ) )
4640, 44, 45mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 |- (; 1 0 ^ 1 ) < (; 1 0 ^; 2 9 )
4737, 46pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 <_ (; 1 0 ^ 1 ) /\ (; 1 0 ^ 1 ) < (; 1 0 ^; 2 9 ) )
48 ltmul12a 10879 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 1 e. RR /\ ; 8 8 e. RR ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < ; 8 8 ) ) /\ ( ( (; 1 0 ^ 1 ) e. RR /\ (; 1 0 ^; 2 9 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ (; 1 0 ^ 1 ) /\ (; 1 0 ^ 1 ) < (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) )
4920, 24, 29, 47, 48mp4an 709 . . . . . . . . 9 |- ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) )
5026nnzi 11401 . . . . . . . . . . . 12 |- (; 1 0 ^ 1 ) e. ZZ
51 zmulcl 11426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ (; 1 0 ^ 1 ) e. ZZ ) -> ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) e. ZZ )
5238, 50, 51mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) e. ZZ
53 zltp1le 11427 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) e. ZZ /\ (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) e. ZZ ) -> ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) <-> ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) + 1 ) <_ (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) )
5452, 17, 53mp2an 708 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) <-> ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) + 1 ) <_ (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) )
55 1t10e1p1e11 41319 . . . . . . . . . . . 12 |- ; 1 1 = ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) + 1 )
5655eqcomi 2631 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) + 1 ) = ; 1 1
5756breq1i 4660 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) + 1 ) <_ (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) <-> ; 1 1 <_ (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) )
5854, 57bitri 264 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) <-> ; 1 1 <_ (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) )
5949, 58mpbi 220 . . . . . . . 8 |- ; 1 1 <_ (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) )
60 eluz2 11693 . . . . . . . 8 |- ( (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) e. ( ZZ>= ` ; 1 1 ) <-> (; 1 1 e. ZZ /\ (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) e. ZZ /\ ; 1 1 <_ (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) )
615, 17, 59, 60mpbir3an 1244 . . . . . . 7 |- (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) e. ( ZZ>= ` ; 1 1 )
6261a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) e. ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
63 4nn 11187 . . . . . . . . . 10 |- 4 e. NN
642, 7decnncl 11518 . . . . . . . . . . . 12 |- ; 1 8 e. NN
6564nnnn0i 11300 . . . . . . . . . . 11 |- ; 1 8 e. NN0
66 nnexpcl 12873 . . . . . . . . . . 11 |- ( (; 1 0 e. NN /\ ; 1 8 e. NN0 ) -> (; 1 0 ^; 1 8 ) e. NN )
679, 65, 66mp2an 708 . . . . . . . . . 10 |- (; 1 0 ^; 1 8 ) e. NN
6863, 67nnmulcli 11044 . . . . . . . . 9 |- ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. NN
6968nnzi 11401 . . . . . . . 8 |- ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. ZZ
70 4re 11097 . . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
7118, 70pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR /\ 4 e. RR )
72 1lt4 11199 . . . . . . . . . . 11 |- 1 < 4
7321, 72pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 <_ 1 /\ 1 < 4 )
7467nnrei 11029 . . . . . . . . . . 11 |- (; 1 0 ^; 1 8 ) e. RR
7527, 74pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( (; 1 0 ^ 1 ) e. RR /\ (; 1 0 ^; 1 8 ) e. RR )
7664nnzi 11401 . . . . . . . . . . . . 13 |- ; 1 8 e. ZZ
7731, 38, 763pm3.2i 1239 . . . . . . . . . . . 12 |- (; 1 0 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ; 1 8 e. ZZ )
783, 6, 2, 22declti 11546 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < ; 1 8
7922, 78pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 < ; 1 0 /\ 1 < ; 1 8 )
80 ltexp2a 12912 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (; 1 0 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ; 1 8 e. ZZ ) /\ ( 1 < ; 1 0 /\ 1 < ; 1 8 ) ) -> (; 1 0 ^ 1 ) < (; 1 0 ^; 1 8 ) )
8177, 79, 80mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 |- (; 1 0 ^ 1 ) < (; 1 0 ^; 1 8 )
8237, 81pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 <_ (; 1 0 ^ 1 ) /\ (; 1 0 ^ 1 ) < (; 1 0 ^; 1 8 ) )
83 ltmul12a 10879 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 1 e. RR /\ 4 e. RR ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 4 ) ) /\ ( ( (; 1 0 ^ 1 ) e. RR /\ (; 1 0 ^; 1 8 ) e. RR ) /\ ( 0 <_ (; 1 0 ^ 1 ) /\ (; 1 0 ^ 1 ) < (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) ) -> ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) )
8471, 73, 75, 82, 83mp4an 709 . . . . . . . . 9 |- ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) )
85 4z 11411 . . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. ZZ
8667nnzi 11401 . . . . . . . . . . . 12 |- (; 1 0 ^; 1 8 ) e. ZZ
87 zmulcl 11426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. ZZ /\ (; 1 0 ^; 1 8 ) e. ZZ ) -> ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. ZZ )
8885, 86, 87mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 |- ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. ZZ
89 zltp1le 11427 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) e. ZZ /\ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. ZZ ) -> ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) <-> ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) + 1 ) <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) )
9052, 88, 89mp2an 708 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) <-> ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) + 1 ) <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) )
9156breq1i 4660 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) + 1 ) <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) <-> ; 1 1 <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) )
9290, 91bitri 264 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 x. (; 1 0 ^ 1 ) ) < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) <-> ; 1 1 <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) )
9384, 92mpbi 220 . . . . . . . 8 |- ; 1 1 <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) )
94 eluz2 11693 . . . . . . . 8 |- ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. ( ZZ>= ` ; 1 1 ) <-> (; 1 1 e. ZZ /\ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. ZZ /\ ; 1 1 <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) )
955, 69, 93, 94mpbir3an 1244 . . . . . . 7 |- ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. ( ZZ>= ` ; 1 1 )
9695a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
97 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Even /\ ( 4 < n /\ n < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) ) -> n e. Even )
98 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Even /\ ( 4 < n /\ n < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) ) -> 4 < n )
99 evenz 41543 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Even -> n e. ZZ )
10099zred 11482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Even -> n e. RR )
10168nnrei 11029 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. RR
102 ltle 10126 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. RR /\ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) e. RR ) -> ( n < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) -> n <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) )
103100, 101, 102sylancl 694 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Even -> ( n < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) -> n <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) )
104103a1d 25 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Even -> ( 4 < n -> ( n < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) -> n <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) ) )
105104imp32 449 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Even /\ ( 4 < n /\ n < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) ) -> n <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) )
106 ax-bgbltosilva 41698 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Even /\ 4 < n /\ n <_ ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) -> n e. GoldbachEven )
10797, 98, 105, 106syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Even /\ ( 4 < n /\ n < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) ) -> n e. GoldbachEven )
108107ex 450 . . . . . . . 8 |- ( n e. Even -> ( ( 4 < n /\ n < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) -> n e. GoldbachEven ) )
109108a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> ( n e. Even -> ( ( 4 < n /\ n < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) -> n e. GoldbachEven ) ) )
110109ralrimiv 2965 . . . . . 6 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> A. n e. Even ( ( 4 < n /\ n < ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) ) -> n e. GoldbachEven ) )
111 simpl 473 . . . . . . 7 |- ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) -> d e. ( ZZ>= ` 3 ) )
112111ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> d e. ( ZZ>= ` 3 ) )
113 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) -> f e. (RePart ` d ) )
114113ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> f e. (RePart ` d ) )
115 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) )
116115ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) )
117 simpl1 1064 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = 7 )
118117ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> ( f ` 0 ) = 7 )
119 simpl2 1065 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) -> ( f ` 1 ) = ; 1 3 )
120119ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> ( f ` 1 ) = ; 1 3 )
1216, 11decnncl 11518 . . . . . . . . . . . . 13 |- ; 8 9 e. NN
122121nnrei 11029 . . . . . . . . . . . 12 |- ; 8 9 e. RR
12315nngt0i 11054 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < (; 1 0 ^; 2 9 )
12428, 123pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( (; 1 0 ^; 2 9 ) e. RR /\ 0 < (; 1 0 ^; 2 9 ) )
12519, 122, 1243pm3.2i 1239 . . . . . . . . . . 11 |- (; 8 8 e. RR /\ ; 8 9 e. RR /\ ( (; 1 0 ^; 2 9 ) e. RR /\ 0 < (; 1 0 ^; 2 9 ) ) )
126 8lt9 11222 . . . . . . . . . . . 12 |- 8 < 9
1276, 6, 11, 126declt 11530 . . . . . . . . . . 11 |- ; 8 8 < ; 8 9
128 ltmul1a 10872 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( (; 8 8 e. RR /\ ; 8 9 e. RR /\ ( (; 1 0 ^; 2 9 ) e. RR /\ 0 < (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ ; 8 8 < ; 8 9 ) -> (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) < (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) )
129125, 127, 128mp2an 708 . . . . . . . . . 10 |- (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) < (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) )
130 breq2 4657 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) -> ( (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) < ( f ` d ) <-> (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) < (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) )
131129, 130mpbiri 248 . . . . . . . . 9 |- ( ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) -> (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) < ( f ` d ) )
1321313ad2ant3 1084 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) < ( f ` d ) )
133132adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) -> (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) < ( f ` d ) )
134133ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) < ( f ` d ) )
135121, 15nnmulcli 11044 . . . . . . . . . . 11 |- (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) e. NN
136135nnrei 11029 . . . . . . . . . 10 |- (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) e. RR
137 eleq1 2689 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) -> ( ( f ` d ) e. RR <-> (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) e. RR ) )
138136, 137mpbiri 248 . . . . . . . . 9 |- ( ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) -> ( f ` d ) e. RR )
1391383ad2ant3 1084 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> ( f ` d ) e. RR )
140139adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) -> ( f ` d ) e. RR )
141140ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> ( f ` d ) e. RR )
14262, 96, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 134, 141bgoldbtbnd 41697 . . . . 5 |- ( ( ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) /\ ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) ) /\ ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) -> A. n e. Odd ( ( 7 < n /\ n < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> n e. GoldbachOdd ) )
143142exp31 630 . . . 4 |- ( ( d e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ f e. (RePart ` d ) ) -> ( ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) -> ( ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> A. n e. Odd ( ( 7 < n /\ n < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> n e. GoldbachOdd ) ) ) )
144143rexlimivv 3036 . . 3 |- ( E. d e. ( ZZ>= ` 3 ) E. f e. (RePart ` d ) ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) -> ( ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> A. n e. Odd ( ( 7 < n /\ n < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> n e. GoldbachOdd ) ) )
145 breq2 4657 . . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( 7 < n <-> 7 < N ) )
146 breq1 4656 . . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( n < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) <-> N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) )
147145, 146anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( 7 < n /\ n < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) <-> ( 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) ) )
148 eleq1 2689 . . . . . . 7 |- ( n = N -> ( n e. GoldbachOdd <-> N e. GoldbachOdd ) )
149147, 148imbi12d 334 . . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( ( 7 < n /\ n < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> n e. GoldbachOdd ) <-> ( ( 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> N e. GoldbachOdd ) ) )
150149rspcv 3305 . . . . 5 |- ( N e. Odd -> ( A. n e. Odd ( ( 7 < n /\ n < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> n e. GoldbachOdd ) -> ( ( 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> N e. GoldbachOdd ) ) )
151150com23 86 . . . 4 |- ( N e. Odd -> ( ( 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> ( A. n e. Odd ( ( 7 < n /\ n < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> n e. GoldbachOdd ) -> N e. GoldbachOdd ) ) )
1521513impib 1262 . . 3 |- ( ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> ( A. n e. Odd ( ( 7 < n /\ n < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> n e. GoldbachOdd ) -> N e. GoldbachOdd ) )
153144, 152sylcom 30 . 2 |- ( E. d e. ( ZZ>= ` 3 ) E. f e. (RePart ` d ) ( ( ( f ` 0 ) = 7 /\ ( f ` 1 ) = ; 1 3 /\ ( f ` d ) = (; 8 9 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ d ) ( ( f ` i ) e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) < ( ( 4 x. (; 1 0 ^; 1 8 ) ) - 4 ) /\ 4 < ( ( f ` ( i + 1 ) ) - ( f ` i ) ) ) ) -> ( ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> N e. GoldbachOdd ) )
1541, 153ax-mp 5 1 |- ( ( N e. Odd /\ 7 < N /\ N < (; 8 8 x. (; 1 0 ^; 2 9 ) ) ) -> N e. GoldbachOdd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   7c7 11075   8c8 11076   9c9 11077   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   Primecprime 15385  RePartciccp 41349   Even ceven 41537   Odd codd 41538   GoldbachEven cgbe 41633   GoldbachOdd cgbo 41635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-bgbltosilva 41698  ax-hgprmladder 41702
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-iccp 41350  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbe 41636  df-gbo 41638
This theorem is referenced by:  tgoldbachlt  41704
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