Theorem prodmolem2a 14664

Description: Lemma for prodmo 14666. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmo.3	|- G = ( j e. NN |-> [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
prodmolem2.4	|- H = ( j e. NN |-> [_ ( K ` j ) / k ]_ B )
prodmolem2.5	|- ( ph -> N e. NN )
prodmolem2.6	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodmolem2.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodmolem2.8	|- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
prodmolem2.9	|- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Assertion

Ref	Expression
prodmolem2a	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   A, j   B, j   f, j, k   j, G   j, k, ph   j, K, k   j, M, k   j, N, k

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( f, k)   F( f, j)   G( f, k)   H( f, j, k)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem prodmolem2a

Dummy variables n m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodmo.1	. . 3 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
2		prodmo.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3		prodmolem2.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
4		prodmolem2.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
5		prodmolem2.8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) e. _V
7	6	f1oen 7976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> ( 1 ... N ) ~~ A )
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 ... N ) ~~ A )
9		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10	8	ensymd 8007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A ~~ ( 1 ... N ) )
11		enfii 8177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... N ) ) -> A e. Fin )
12	9, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. Fin )
13		hashen 13135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) <-> ( 1 ... N ) ~~ A ) )
14	9, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) <-> ( 1 ... N ) ~~ A ) )
15	8, 14	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) )
16		prodmolem2.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
17	16	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
18		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
20	15, 19	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` A ) = N )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... N ) )
22		isoeq4 6570	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... N ) -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
24	4, 23	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
25		isof1o 6573	. . . . . 6 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
26		f1of 6137	. . . . . 6 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
28		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
29	16, 28	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
30		eluzfz2 12349	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
32	27, 31	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( K ` N ) e. A )
33	3, 32	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
34	3	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
35	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
36		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . 9 |- ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A /\ j e. A ) -> ( K ` ( `' K ` j ) ) = j )
37	35, 36	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( K ` ( `' K ` j ) ) = j )
38		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
39		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
40	35, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
41	40	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( `' K ` j ) e. ( 1 ... N ) )
42		elfzle2 12345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' K ` j ) e. ( 1 ... N ) -> ( `' K ` j ) <_ N )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( `' K ` j ) <_ N )
44	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
45		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
46		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
47		zssre 11384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ C_ RR
48	46, 47	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ RR
49	45, 48	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ RR
50		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR*
51	49, 50	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ RR*
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( 1 ... N ) C_ RR* )
53		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
54	53, 47	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
55	54, 50	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR*
56	3, 55	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ RR* )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> A C_ RR* )
58	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> N e. ( 1 ... N ) )
59		leisorel 13244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) /\ ( ( 1 ... N ) C_ RR* /\ A C_ RR* ) /\ ( ( `' K ` j ) e. ( 1 ... N ) /\ N e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( `' K ` j ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` j ) ) <_ ( K ` N ) ) )
60	44, 52, 57, 41, 58, 59	syl122anc 1335	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( `' K ` j ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` j ) ) <_ ( K ` N ) ) )
61	43, 60	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( K ` ( `' K ` j ) ) <_ ( K ` N ) )
62	37, 61	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> j <_ ( K ` N ) )
63	3, 53	syl6ss 3615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ ZZ )
64	63	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> j e. ZZ )
65		eluzelz 11697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
66	33, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ZZ )
67	66	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
68		eluz 11701	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ ( K ` N ) e. ZZ ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` j ) <-> j <_ ( K ` N ) ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` j ) <-> j <_ ( K ` N ) ) )
70	62, 69	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` j ) )
71		elfzuzb 12336	. . . . . 6 |- ( j e. ( M ... ( K ` N ) ) <-> ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` j ) ) )
72	34, 70, 71	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> j e. ( M ... ( K ` N ) ) )
73	72	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. A -> j e. ( M ... ( K ` N ) ) ) )
74	73	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( M ... ( K ` N ) ) )
75	1, 2, 33, 74	fprodcvg 14660	. 2 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq M ( x. , F ) ` ( K ` N ) ) )
76		mulid2 10038	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( 1 x. m ) = m )
77	76	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( 1 x. m ) = m )
78		mulid1 10037	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m x. 1 ) = m )
79	78	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( m x. 1 ) = m )
80		mulcl 10020	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ x e. CC ) -> ( m x. x ) e. CC )
81	80	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( m x. x ) e. CC )
82		1cnd 10056	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
83	31, 21	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 1 ... ( # ` A ) ) )
84		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
86	85, 2	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
87	86	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
88		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
89		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
90	88, 89	syl6eqel 2709	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
91	87, 90	pm2.61d1 171	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
92	91	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
93	92, 1	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> F : ZZ --> CC )
94		elfzelz 12342	. . . . 5 |- ( m e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) -> m e. ZZ )
95		ffvelrn 6357	. . . . 5 |- ( ( F : ZZ --> CC /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) e. CC )
96	93, 94, 95	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
97		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
98	97	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) = 1 <-> ( F ` m ) = 1 ) )
99		fzssuz 12382	. . . . . . . . . 10 |- ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) C_ ( ZZ>= ` M )
100	99, 53	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) C_ ZZ
101		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) )
102	100, 101	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ZZ )
103		eldifn 3733	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> -. k e. A )
104	103, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
105	104, 89	syl6eqel 2709	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
106	1	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
107	102, 105, 106	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
108	107, 104	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = 1 )
109	98, 108	vtoclga 3272	. . . . 5 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` m ) = 1 )
110	109	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
111		isof1o 6573	. . . . . . . 8 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
112		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( K : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
113	4, 111, 112	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
114	113	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. A )
115	114	iftrued 4094	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
116	63	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> A C_ ZZ )
117	116, 114	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
118		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
119		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( K ` x ) e. A
120		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ ( K ` x ) / k ]_ B
121		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 1
122	119, 120, 121	nfif 4115	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 )
123	122	nfel1 2779	. . . . . . . . 9 |- F/ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC
124	118, 123	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
125		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( K ` x ) e. _V
126		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> ( k e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
127		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
128	126, 127	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` x ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
129	128	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( if ( k e. A , B , 1 ) e. CC <-> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC ) )
130	129	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` x ) -> ( ( ph -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) <-> ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC ) ) )
131	124, 125, 130, 91	vtoclf 3258	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
132	131	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC )
133		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> ( n e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
134		csbeq1 3536	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> [_ n / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
135	133, 134	ifbieq1d 4109	. . . . . . 7 |- ( n = ( K ` x ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
136		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n if ( k e. A , B , 1 )
137		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ k n e. A
138		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
139	137, 138, 121	nfif 4115	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 )
140		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
141		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
142	140, 141	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
143	136, 139, 142	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
144	1, 143	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- F = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 1 ) )
145	135, 144	fvmptg 6280	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` x ) e. ZZ /\ if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
146	117, 132, 145	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 1 ) )
147		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) -> x e. NN )
148	147	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> x e. NN )
149	115, 132	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC )
150		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( K ` j ) = ( K ` x ) )
151	150	csbeq1d 3540	. . . . . . 7 |- ( j = x -> [_ ( K ` j ) / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
152		prodmolem2.4	. . . . . . 7 |- H = ( j e. NN |-> [_ ( K ` j ) / k ]_ B )
153	151, 152	fvmptg 6280	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
154	148, 149, 153	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
155	115, 146, 154	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = ( F ` ( K ` x ) ) )
156	77, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 110, 155	seqcoll 13248	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )
157		prodmo.3	. . . 4 |- G = ( j e. NN |-> [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
158	16, 16	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. NN /\ N e. NN ) )
159	1, 2, 157, 152, 158, 5, 35	prodmolem3 14663	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) = ( seq 1 ( x. , H ) ` N ) )
160	156, 159	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) )
161	75, 160	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   [_csb 3533   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   #chash 13117   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  prodmolem2  14665  zprod  14667