Theorem 1st2nd2 7205

Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp6 7200	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∧ ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)))
2	1	simplbi 476	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183   × cxp 5112  ‘cfv 5888  1^st c1st 7166  2^nd c2nd 7167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-1st 7168  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  1st2ndb  7206  xpopth  7207  eqop  7208  2nd1st  7213  1st2nd  7214  opiota  7229  disjen  8117  xpmapenlem  8127  mapunen  8129  r0weon  8835  enqbreq2  9742  nqereu  9751  lterpq  9792  elreal2  9953  cnref1o  11827  ruclem6  14964  ruclem8  14966  ruclem9  14967  ruclem12  14970  eucalgval  15295  eucalginv  15297  eucalglt  15298  eucalg  15300  qnumdenbi  15452  isstruct2  15867  xpsff1o  16228  comfffval2  16361  comfeq  16366  idfucl  16541  funcpropd  16560  coapm  16721  xpccatid  16828  1stfcl  16837  2ndfcl  16838  1st2ndprf  16846  xpcpropd  16848  evlfcl  16862  hofcl  16899  hofpropd  16907  yonedalem3  16920  gsum2dlem2  18370  mdetunilem9  20426  tx1cn  21412  tx2cn  21413  txdis  21435  txlly  21439  txnlly  21440  txhaus  21450  txkgen  21455  txconn  21492  utop3cls  22055  ucnima  22085  fmucndlem  22095  psmetxrge0  22118  imasdsf1olem  22178  cnheiborlem  22753  caublcls  23107  bcthlem1  23121  bcthlem2  23122  bcthlem4  23124  bcthlem5  23125  ovolfcl  23235  ovolfioo  23236  ovolficc  23237  ovolficcss  23238  ovolfsval  23239  ovolicc2lem1  23285  ovolicc2lem5  23289  ovolfs2  23339  uniiccdif  23346  uniioovol  23347  uniiccvol  23348  uniioombllem2a  23350  uniioombllem2  23351  uniioombllem3a  23352  uniioombllem3  23353  uniioombllem4  23354  uniioombllem5  23355  uniioombllem6  23356  dyadmbl  23368  fsumvma  24938  ofpreima  29465  ofpreima2  29466  fimaproj  29900  1stmbfm  30322  2ndmbfm  30323  sibfof  30402  oddpwdcv  30417  txsconnlem  31222  mpst123  31437  bj-elid  33085  poimirlem4  33413  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  mblfinlem1  33446  mblfinlem2  33447  ftc2nc  33494  heiborlem8  33617  dvhgrp  36396  dvhlveclem  36397  fvovco  39381  dvnprodlem1  40161  volioof  40204  fvvolioof  40206  fvvolicof  40208  etransclem44  40495  ovolval3  40861  ovolval4lem1  40863  ovolval5lem2  40867  ovnovollem1  40870  ovnovollem2  40871  smfpimbor1lem1  41005