Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itg2addnc.f1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn) |
2 | | itg2addnc.f2 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
3 | 1, 2 | itg2addnclem2 33462 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom
∫1) |
4 | 3 | adantrr 753 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom
∫1) |
5 | | simplr 792 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ℎ ∈ dom
∫1) |
6 | | i1fsub 23475 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1) →
(ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∈ dom
∫1) |
7 | 5, 3, 6 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∈ dom
∫1) |
8 | 7 | adantrr 753 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺))) → (ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∈ dom
∫1) |
9 | | 3nn 11186 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 3 ∈
ℕ |
10 | | nnrp 11842 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (3 ∈
ℕ → 3 ∈ ℝ+) |
11 | 9, 10 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 3 ∈
ℝ+ |
12 | | rpdivcl 11856 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+
∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈
ℝ+) |
13 | 11, 12 | mpan2 707 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ (𝑦 / 3) ∈
ℝ+) |
14 | 13 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (𝑦 / 3) ∈
ℝ+) |
15 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧)) |
16 | 15 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3)) = ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) |
17 | 16 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) = (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)))) |
18 | 17 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) = ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1)) |
19 | 18 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) |
20 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (ℎ‘𝑥) = (ℎ‘𝑧)) |
21 | 19, 20 | breq12d 4666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧))) |
22 | 20 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) |
23 | 21, 22 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0))) |
24 | 23, 19, 20 | ifbieq12d 4113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) |
25 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
26 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ V |
27 | | fvex 6201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ‘𝑧) ∈ V |
28 | 26, 27 | ifex 4156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ∈ V |
29 | 24, 25, 28 | fvmpt 6282 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) |
30 | 29 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0)) |
31 | 29 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) |
32 | 30, 31 | ifbieq2d 4111 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 ∈ ℝ →
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)))) |
33 | 32 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ if(((𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)))) |
34 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (0 =
if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) → (0 ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧))) |
35 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) = if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) → ((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧))) |
36 | 2 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
37 | 36 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑧) ∈
(0[,)+∞)) |
38 | | elrege0 12278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑧))) |
39 | 37, 38 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(𝐹‘𝑧))) |
40 | 39 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ (𝐹‘𝑧)) |
41 | 40 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧)) |
42 | | df-ne 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0 ↔ ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0) |
43 | | neeq1 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) =
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 ↔
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0)) |
44 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) =
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) |
45 | 44 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) =
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))) |
46 | 43, 45 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) =
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 →
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0 →
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)))) |
47 | | neeq1 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0)) |
48 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) |
49 | 48 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))) |
50 | 47, 49 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) ≠ 0 → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0 →
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)))) |
51 | | rge0ssre 12280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
52 | 51, 37 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑧) ∈
ℝ) |
53 | 13 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝑦 / 3) ∈
ℝ+) |
54 | 52, 53 | rerpdivcld 11903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ) |
55 | | reflcl 12597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ) |
56 | | peano2rem 10348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ →
((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
57 | 54, 55, 56 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
58 | 13 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ (𝑦 / 3) ∈
ℝ) |
59 | 58 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝑦 / 3) ∈
ℝ) |
60 | 57, 59 | remulcld 10070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈
ℝ) |
61 | | peano2rem 10348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈
ℝ) |
62 | 54, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈
ℝ) |
63 | 62, 59 | remulcld 10070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈
ℝ) |
64 | 54, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ) |
65 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ 1 ∈ ℝ) |
66 | | flle 12600 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ≤ ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) |
67 | 54, 66 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ≤ ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) |
68 | 64, 54, 65, 67 | lesub1dd 10643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ≤ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1)) |
69 | 57, 62, 53 | lemul1d 11915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ≤ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ↔
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)))) |
70 | 68, 69 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3))) |
71 | 60, 63, 59, 70 | leadd1dd 10641 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3))) |
72 | 54 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ) |
73 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 1 ∈
ℂ |
74 | | subcl 10280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)
→ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈
ℂ) |
75 | 72, 73, 74 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈
ℂ) |
76 | 73 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ 1 ∈ ℂ) |
77 | 53 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝑦 / 3) ∈
ℂ) |
78 | 75, 76, 77 | adddird 10065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) · (𝑦 / 3)) = (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (1 · (𝑦 / 3)))) |
79 | | npcan 10290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)
→ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) = ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) |
80 | 72, 73, 79 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) = ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) |
81 | 80 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) · (𝑦 / 3)) = (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3))) |
82 | 77 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (1 · (𝑦 / 3))
= (𝑦 / 3)) |
83 | 82 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (1 · (𝑦 / 3))) = (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3))) |
84 | 78, 81, 83 | 3eqtr3rd 2665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3))) |
85 | 52 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑧) ∈
ℂ) |
86 | 53 | rpne0d 11877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝑦 / 3) ≠
0) |
87 | 85, 77, 86 | divcan1d 10802 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) = (𝐹‘𝑧)) |
88 | 84, 87 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (𝐹‘𝑧)) |
89 | 71, 88 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) |
90 | 89 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) |
91 | 90 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 →
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))) |
92 | | ianor 509 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∨ ¬ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) |
93 | 92 | anbi1i 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ↔ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∨ ¬ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) |
94 | | oranabs 901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∨ ¬ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) |
95 | 93, 94 | bitri 264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) |
96 | | i1ff 23443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ:ℝ⟶ℝ) |
97 | 96 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ℎ:ℝ⟶ℝ) |
98 | 97 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑧) ∈
ℝ) |
99 | 98, 59 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ) |
100 | 99 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ) |
101 | 52 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) |
102 | 60, 59 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ) |
103 | 102 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ) |
104 | 98 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → (ℎ‘𝑧) ∈ ℝ) |
105 | 60 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈
ℝ) |
106 | 58 | ad3antlr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ) |
107 | 98, 60 | ltnled 10184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑧) < (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ↔ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧))) |
108 | 107 | biimpar 502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → (ℎ‘𝑧) < (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) |
109 | 104, 105,
106, 108 | ltadd1dd 10638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) < ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3))) |
110 | 89 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) |
111 | 100, 103,
101, 109, 110 | ltletrd 10197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) < (𝐹‘𝑧)) |
112 | 100, 101,
111 | ltled 10185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) |
113 | 112 | adantrr 753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) |
114 | 95, 113 | sylan2b 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) |
115 | 114 | expr 643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((ℎ‘𝑧) ≠ 0 → ((ℎ‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))) |
116 | 46, 50, 91, 115 | ifbothda 4123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) ≠ 0 →
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))) |
117 | 42, 116 | syl5bir 233 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0 → (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧))) |
118 | 117 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0) → (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑧)) |
119 | 34, 35, 41, 118 | ifbothda 4123 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ if(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧)) |
120 | 33, 119 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ if(((𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧)) |
121 | 120 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑧 ∈
ℝ if(((𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧)) |
122 | | reex 10027 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ℝ
∈ V |
123 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ℝ ∈ V) |
124 | | c0ex 10034 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 ∈
V |
125 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ V |
126 | 124, 125 | ifex 4156 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
if(((𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V |
127 | 126 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ if(((𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V) |
128 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if(((𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))) |
129 | 2 | feqmptd 6249 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑧))) |
130 | 129 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑧))) |
131 | 123, 127,
37, 128, 130 | ofrfval2 6915 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ((𝑧 ∈ ℝ
↦ if(((𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟 ≤
𝐹 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹‘𝑧))) |
132 | 121, 131 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if(((𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟 ≤
𝐹) |
133 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑐 = (𝑦 / 3) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) |
134 | 133 | ifeq2d 4105 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑐 = (𝑦 / 3) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)) = if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) |
135 | 134 | mpteq2dv 4745 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑐 = (𝑦 / 3) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))) |
136 | 135 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑐 = (𝑦 / 3) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟 ≤
𝐹)) |
137 | 136 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑦 / 3) ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if(((𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟 ≤
𝐹) → ∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹) |
138 | 14, 132, 137 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ∃𝑐 ∈
ℝ+ (𝑧
∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹) |
139 | 138 | adantrr 753 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹) |
140 | 13 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺))) → (𝑦 / 3) ∈
ℝ+) |
141 | | ffn 6045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
ℎ Fn
ℝ) |
142 | 96, 141 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ Fn
ℝ) |
143 | 142 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ℎ Fn
ℝ) |
144 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ V |
145 | | fvex 6201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (ℎ‘𝑥) ∈ V |
146 | 144, 145 | ifex 4156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ V |
147 | 146, 25 | fnmpti 6022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) Fn ℝ |
148 | 147 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) Fn ℝ) |
149 | | inidm 3822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℝ
∩ ℝ) = ℝ |
150 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑧) = (ℎ‘𝑧)) |
151 | 29 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) |
152 | 143, 148,
123, 123, 149, 150, 151 | ofval 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)))) |
153 | 152 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0 ↔ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0)) |
154 | 152 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) |
155 | 153, 154 | ifbieq2d 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)))) |
156 | 155 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → if(((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)))) |
157 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (0 =
if(((ℎ‘𝑧) −
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) → (0 ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
158 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)) = if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) → ((((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
159 | | itg2addnc.g2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
160 | 159 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
161 | 160 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝐺‘𝑧) ∈
(0[,)+∞)) |
162 | | elrege0 12278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺‘𝑧))) |
163 | 161, 162 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝐺‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(𝐺‘𝑧))) |
164 | 163 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ (𝐺‘𝑧)) |
165 | 164 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑧)) |
166 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) =
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) = ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)))) |
167 | 166 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) =
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) = (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) |
168 | 167 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) =
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
169 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) = ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)))) |
170 | 169 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) = (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) |
171 | 170 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) → ((((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
172 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → (ℎ‘𝑧) = 0) |
173 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) → (ℎ‘𝑧) ≠ 0) |
174 | 173 | necon2bi 2824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) |
175 | | iffalse 4095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = (ℎ‘𝑧)) |
176 | 174, 175 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = (ℎ‘𝑧)) |
177 | 176, 172 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧)) = 0) |
178 | 172, 177 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = (0 − 0)) |
179 | | 0m0e0 11130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (0
− 0) = 0 |
180 | 178, 179 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((ℎ‘𝑧) = 0 → ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) |
181 | 180 | con3i 150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (¬
((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0 → ¬ (ℎ‘𝑧) = 0) |
182 | | iffalse 4095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (¬
(ℎ‘𝑧) = 0 → if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) = ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) |
183 | 182 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (¬
(ℎ‘𝑧) = 0 → (if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))) |
184 | 181, 183 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (¬
((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0 → (if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))) |
185 | 184 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))) |
186 | 98 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑧) ∈
ℂ) |
187 | 60 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈
ℂ) |
188 | 186, 187,
77 | subsubd 10420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑧) −
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) = (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3))) |
189 | 188 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → ((ℎ‘𝑧) − ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) = (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3))) |
190 | 60, 59 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) ∈
ℝ) |
191 | | rpre 11839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ 𝑦 ∈
ℝ) |
192 | 191 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ 𝑦 ∈
ℝ) |
193 | 190, 192 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) ∈ ℝ) |
194 | 51, 161 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝐺‘𝑧) ∈
ℝ) |
195 | | 1re 10039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ 1 ∈
ℝ |
196 | 195, 195 | readdcli 10053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (1 + 1)
∈ ℝ |
197 | | resubcl 10345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈
ℝ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ∈
ℝ) |
198 | 54, 196, 197 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ∈
ℝ) |
199 | 198, 59 | remulcld 10070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ∈
ℝ) |
200 | | peano2re 10209 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ →
((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ) |
201 | 64, 200 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ) |
202 | | resubcl 10345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 + 1)
∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ∈
ℝ) |
203 | 201, 196,
202 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ∈
ℝ) |
204 | 203, 59 | remulcld 10070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ∈
ℝ) |
205 | 58, 191 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ ((𝑦 / 3) −
𝑦) ∈
ℝ) |
206 | 205 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝑦 / 3) −
𝑦) ∈
ℝ) |
207 | 196 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (1 + 1) ∈ ℝ) |
208 | | fllep1 12602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1)) |
209 | 54, 208 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ≤ ((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1)) |
210 | 54, 201, 207, 209 | lesub1dd 10643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ≤
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 +
1))) |
211 | 198, 203,
53 | lemul1d 11915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ≤
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ↔
((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ≤
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)))) |
212 | 210, 211 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ≤
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3))) |
213 | 199, 204,
206, 212 | lesub1dd 10643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) ≤ (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦))) |
214 | 73, 73 | addcli 10044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (1 + 1)
∈ ℂ |
215 | 214 | negcli 10349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ -(1 + 1)
∈ ℂ |
216 | 215 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ -(1 + 1) ∈ ℂ) |
217 | 72, 216, 77 | adddird 10065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) + (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)))) |
218 | | negsub 10329 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ (1 + 1) ∈
ℂ) → (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) = (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1))) |
219 | 72, 214, 218 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) = (((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1))) |
220 | 219 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3))) |
221 | | df-2 11079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ 2 = (1 +
1) |
222 | 221 | negeqi 10274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ -2 = -(1
+ 1) |
223 | 222 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (-2
· (𝑦 / 3)) = (-(1 +
1) · (𝑦 /
3)) |
224 | | 2cn 11091 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ 2 ∈
ℂ |
225 | 13 | rpcnd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ (𝑦 / 3) ∈
ℂ) |
226 | | mulneg1 10466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ (𝑦 /
3) ∈ ℂ) → (-2 · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3))) |
227 | 224, 225,
226 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ (-2 · (𝑦 /
3)) = -(2 · (𝑦 /
3))) |
228 | 223, 227 | syl5eqr 2670 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3))) |
229 | 228 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3))) |
230 | 87, 229 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) + (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))) = ((𝐹‘𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3)))) |
231 | 217, 220,
230 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((𝐹‘𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3)))) |
232 | | rpcn 11841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ 𝑦 ∈
ℂ) |
233 | 232, 225 | negsubdi2d 10408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ -(𝑦 − (𝑦 / 3)) = ((𝑦 / 3) − 𝑦)) |
234 | | 3cn 11095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ 3 ∈
ℂ |
235 | | 3ne0 11115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ 3 ≠
0 |
236 | | divcan2 10693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 3 ∈
ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦) |
237 | 234, 235,
236 | mp3an23 1416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (3
· (𝑦 / 3)) = 𝑦) |
238 | 232, 237 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ (3 · (𝑦 / 3))
= 𝑦) |
239 | 225 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ (1 · (𝑦 / 3))
= (𝑦 / 3)) |
240 | 238, 239 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ ((3 · (𝑦 /
3)) − (1 · (𝑦
/ 3))) = (𝑦 − (𝑦 / 3))) |
241 | | 3m1e2 11137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (3
− 1) = 2 |
242 | 241 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((3
− 1) · (𝑦 /
3)) = (2 · (𝑦 /
3)) |
243 | | subdir 10464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((3
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → ((3 − 1)
· (𝑦 / 3)) = ((3
· (𝑦 / 3)) −
(1 · (𝑦 /
3)))) |
244 | 234, 73, 243 | mp3an12 1414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑦 / 3) ∈ ℂ → ((3
− 1) · (𝑦 /
3)) = ((3 · (𝑦 / 3))
− (1 · (𝑦 /
3)))) |
245 | 225, 244 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3)))) |
246 | 242, 245 | syl5reqr 2671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ ((3 · (𝑦 /
3)) − (1 · (𝑦
/ 3))) = (2 · (𝑦 /
3))) |
247 | 240, 246 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ (𝑦 − (𝑦 / 3)) = (2 · (𝑦 / 3))) |
248 | 247 | negeqd 10275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ -(𝑦 − (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3))) |
249 | 233, 248 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ ((𝑦 / 3) −
𝑦) = -(2 · (𝑦 / 3))) |
250 | 249 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝑦 / 3) −
𝑦) = -(2 · (𝑦 / 3))) |
251 | 231, 250 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((𝐹‘𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))) − -(2 · (𝑦 / 3)))) |
252 | | rpcn 11841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑦 / 3) ∈ ℝ+
→ (𝑦 / 3) ∈
ℂ) |
253 | | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ (𝑦 /
3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ) |
254 | 224, 252,
253 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑦 / 3) ∈ ℝ+
→ (2 · (𝑦 / 3))
∈ ℂ) |
255 | 13, 254 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ (2 · (𝑦 / 3))
∈ ℂ) |
256 | 255 | negcld 10379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑦 ∈ ℝ+
→ -(2 · (𝑦 /
3)) ∈ ℂ) |
257 | 256 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ -(2 · (𝑦 /
3)) ∈ ℂ) |
258 | 85, 257 | pncand 10393 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((𝐹‘𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))) − -(2 ·
(𝑦 / 3))) = (𝐹‘𝑧)) |
259 | 251, 258 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (𝐹‘𝑧)) |
260 | 64 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ) |
261 | | peano2cn 10208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢
((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ →
((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ) |
262 | | subsub4 10314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 +
1))) |
263 | 73, 73, 262 | mp3an23 1416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ →
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 +
1))) |
264 | 260, 261,
263 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 +
1))) |
265 | | pncan 10287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)))) |
266 | 260, 73, 265 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3)))) |
267 | 266 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) =
((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1)) |
268 | 264, 267 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) =
((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1)) |
269 | 268 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) |
270 | 269 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦))) |
271 | 192 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ 𝑦 ∈
ℂ) |
272 | 187, 77, 271 | subsubd 10420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦)) |
273 | 270, 272 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦)) |
274 | 213, 259,
273 | 3brtr3d 4684 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑧) ≤
(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦)) |
275 | 52, 193, 194, 274 | leadd1dd 10641 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ≤ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺‘𝑧))) |
276 | 194 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (𝐺‘𝑧) ∈
ℂ) |
277 | 190 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) ∈
ℂ) |
278 | 232 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ 𝑦 ∈
ℂ) |
279 | 276, 277,
278 | addassd 10062 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) = ((𝐺‘𝑧) + (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))) |
280 | 277, 278 | addcld 10059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) ∈ ℂ) |
281 | 276, 280 | addcomd 10238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝐺‘𝑧) + (((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦)) = ((((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺‘𝑧))) |
282 | 279, 281 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) = ((((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺‘𝑧))) |
283 | 275, 282 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) |
284 | 98, 192 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ∈ ℝ) |
285 | 52, 194 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ) |
286 | 194, 190 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ∈
ℝ) |
287 | 286, 192 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) ∈ ℝ) |
288 | | letr 10131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) ∈ ℝ) → ((((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∧ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) → ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))) |
289 | 284, 285,
287, 288 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∧ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) → ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))) |
290 | 283, 289 | mpan2d 710 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))) |
291 | 290 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) |
292 | 98, 190, 194 | lesubaddd 10624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((ℎ‘𝑧) −
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ (ℎ‘𝑧) ≤ ((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))))) |
293 | 98, 286, 192 | leadd1d 10621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑧) ≤ ((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))) |
294 | 292, 293 | bitrd 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((ℎ‘𝑧) −
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))) |
295 | 294 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → (((ℎ‘𝑧) − ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧) ↔ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺‘𝑧) + ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))) |
296 | 291, 295 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → ((ℎ‘𝑧) − ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧)) |
297 | 189, 296 | eqbrtrrd 4677 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)) |
298 | 297 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
299 | 298 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
300 | 185, 299 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
301 | 300 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)) |
302 | 301 | an32s 846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)) |
303 | 302 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → (((ℎ‘𝑧) − (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)) |
304 | 175 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0) → ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = ((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧))) |
305 | 186 | subidd 10380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) = 0) |
306 | 305 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → ((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) = 0) |
307 | 304, 306 | sylan9eqr 2678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) |
308 | 307 | pm2.24d 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → (¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0 → (((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
309 | 308 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)) |
310 | 309 | an32s 846 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) ∧ ¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0)) → (((ℎ‘𝑧) − (ℎ‘𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)) |
311 | 168, 171,
303, 310 | ifbothda 4123 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) ∧ ¬ ((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0) → (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺‘𝑧)) |
312 | 157, 158,
165, 311 | ifbothda 4123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → if(((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) = 0, 0, (((ℎ‘𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑧) ∧ (ℎ‘𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧)) |
313 | 156, 312 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧))) → if(((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧)) |
314 | 313 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑧 ∈ ℝ)
→ (if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → if(((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
315 | 314 | ralimdva 2962 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (∀𝑧 ∈
ℝ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
316 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ℝ ∈
V) |
317 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ‘𝑧) + 𝑦) ∈ V |
318 | 124, 317 | ifex 4156 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ∈ V |
319 | 318 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ∈ V) |
320 | 2 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ (0[,)+∞)) |
321 | 51, 320 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) |
322 | 159 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ (0[,)+∞)) |
323 | 51, 322 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) |
324 | 321, 323 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ) |
325 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)))) |
326 | 159 | feqmptd 6249 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑧))) |
327 | 316, 320,
322, 129, 326 | offval2 6914 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))) |
328 | 316, 319,
324, 325, 327 | ofrfval2 6915 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))) |
329 | 328 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ((𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))) |
330 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ V |
331 | 124, 330 | ifex 4156 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V |
332 | 331 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V) |
333 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))) |
334 | 316, 332,
322, 333, 326 | ofrfval2 6915 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟 ≤
𝐺 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
335 | 334 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ((𝑧 ∈ ℝ
↦ if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟 ≤
𝐺 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺‘𝑧))) |
336 | 315, 329,
335 | 3imtr4d 283 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ((𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺) → (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟 ≤
𝐺)) |
337 | 336 | impr 649 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟 ≤
𝐺) |
338 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑑 = (𝑦 / 3) → (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑) = (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) |
339 | 338 | ifeq2d 4105 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑑 = (𝑦 / 3) → if(((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)) = if(((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) |
340 | 339 | mpteq2dv 4745 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑑 = (𝑦 / 3) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))) |
341 | 340 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑑 = (𝑦 / 3) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟 ≤
𝐺)) |
342 | 341 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑦 / 3) ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟 ≤
𝐺) → ∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺) |
343 | 140, 337,
342 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺) |
344 | 36 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑥) ∈
(0[,)+∞)) |
345 | 51, 344 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑥) ∈
ℝ) |
346 | 13 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑦 / 3) ∈
ℝ+) |
347 | 345, 346 | rerpdivcld 11903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ) |
348 | | reflcl 12597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ) |
349 | | peano2rem 10348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
350 | 347, 348,
349 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
351 | 58 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑦 / 3) ∈
ℝ) |
352 | 350, 351 | remulcld 10070 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈
ℝ) |
353 | 97 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈
ℝ) |
354 | 352, 353 | ifcld 4131 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℝ) |
355 | 354 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℂ) |
356 | 353 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈
ℂ) |
357 | 355, 356 | pncan3d 10395 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) + ((ℎ‘𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) = (ℎ‘𝑥)) |
358 | 357 | mpteq2dva 4744 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) + ((ℎ‘𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
359 | 353, 354 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑥) −
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ ℝ) |
360 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) |
361 | 96 | feqmptd 6249 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
362 | 361 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
363 | 123, 353,
354, 362, 360 | offval2 6914 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((ℎ‘𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) |
364 | 123, 354,
359, 360, 363 | offval2 6914 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∘𝑓 + (ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)) + ((ℎ‘𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) |
365 | 358, 364,
362 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∘𝑓 + (ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) = ℎ) |
366 | 365 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∘𝑓 + (ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) = (∫1‘ℎ)) |
367 | 3, 7 | itg1add 23468 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∘𝑓 + (ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) |
368 | 366, 367 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (∫1‘ℎ) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) |
369 | 368 | adantrr 753 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺))) →
(∫1‘ℎ)
= ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) |
370 | | fvex 6201 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∈ V |
371 | | fvex 6201 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∫1‘(ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∈ V |
372 | | iba 524 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 =
(∫1‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) |
373 | | iba 524 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑢 =
(∫1‘(ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))) |
374 | 372, 373 | bi2anan9 917 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑡 =
(∫1‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) → ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))))) |
375 | 374 | bicomd 213 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑡 =
(∫1‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺))) |
376 | | oveq12 6659 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑡 =
(∫1‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) → (𝑡 + 𝑢) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) |
377 | 376 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑡 =
(∫1‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) → ((∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢) ↔ (∫1‘ℎ) =
((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))) |
378 | 375, 377 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑡 =
(∫1‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺) ∧
(∫1‘ℎ)
= ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))))) |
379 | 370, 371,
378 | spc2ev 3301 |
. . . . . . . 8
⊢
(((∃𝑐 ∈
ℝ+ (𝑧
∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺) ∧
(∫1‘ℎ)
= ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) + (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) → ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))) |
380 | 139, 343,
369, 379 | syl21anc 1325 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺))) → ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))) |
381 | | fveq1 6190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (𝑓‘𝑧) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧)) |
382 | 381 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → ((𝑓‘𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0)) |
383 | 381 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → ((𝑓‘𝑧) + 𝑐) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)) |
384 | 382, 383 | ifbieq2d 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐)) = if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) |
385 | 384 | mpteq2dv 4745 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)))) |
386 | 385 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹)) |
387 | 386 | rexbidv 3052 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹)) |
388 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (∫1‘𝑓) =
(∫1‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) |
389 | 388 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (𝑡 = (∫1‘𝑓) ↔ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) |
390 | 387, 389 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) |
391 | 390 | anbi1d 741 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))))) |
392 | 391 | anbi1d 741 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢)))) |
393 | 392 | 2exbidv 1852 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → (∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢)))) |
394 | | fveq1 6190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (𝑔‘𝑧) = ((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧)) |
395 | 394 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → ((𝑔‘𝑧) = 0 ↔ ((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0)) |
396 | 394 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → ((𝑔‘𝑧) + 𝑑) = (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)) |
397 | 395, 396 | ifbieq2d 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑)) = if(((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) |
398 | 397 | mpteq2dv 4745 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)))) |
399 | 398 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺)) |
400 | 399 | rexbidv 3052 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺)) |
401 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (∫1‘𝑔) =
(∫1‘(ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))) |
402 | 401 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (𝑢 = (∫1‘𝑔) ↔ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) |
403 | 400, 402 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → ((∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))))))) |
404 | 403 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))))) |
405 | 404 | anbi1d 741 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)))) |
406 | 405 | 2exbidv 1852 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = (ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) → (∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢)))) |
407 | 393, 406 | rspc2ev 3324 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) ∈ dom ∫1 ∧
∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if(((ℎ
∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((ℎ ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘(ℎ ∘𝑓
− (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (ℎ‘𝑥))))))) ∧ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢))) |
408 | 4, 8, 380, 407 | syl3anc 1326 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺))) → ∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢))) |
409 | | eqeq1 2626 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑠 =
(∫1‘ℎ)
→ (𝑠 = (𝑡 + 𝑢) ↔ (∫1‘ℎ) = (𝑡 + 𝑢))) |
410 | 409 | anbi2d 740 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑠 =
(∫1‘ℎ)
→ ((((∃𝑐 ∈
ℝ+ (𝑧
∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢)))) |
411 | 410 | 2exbidv 1852 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑠 =
(∫1‘ℎ)
→ (∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢)))) |
412 | 411 | 2rexbidv 3057 |
. . . . . 6
⊢ (𝑠 =
(∫1‘ℎ)
→ (∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧
(∫1‘ℎ)
= (𝑡 + 𝑢)))) |
413 | 408, 412 | syl5ibrcom 237 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+
∧ (𝑧 ∈ ℝ
↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺))) → (𝑠 =
(∫1‘ℎ)
→ ∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))) |
414 | 413 | rexlimdvaa 3032 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) →
(∃𝑦 ∈
ℝ+ (𝑧
∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺) → (𝑠 =
(∫1‘ℎ)
→ ∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))) |
415 | 414 | impd 447 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) →
((∃𝑦 ∈
ℝ+ (𝑧
∈ ℝ ↦ if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1‘ℎ)) → ∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))) |
416 | 415 | rexlimdva 3031 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1‘ℎ)) → ∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))) |
417 | | rexcom4 3225 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑔 ∈ dom
∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
418 | 417 | rexbii 3041 |
. . . 4
⊢
(∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
419 | | rexcom4 3225 |
. . . 4
⊢
(∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑡∃𝑔 ∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
420 | 418, 419 | bitri 264 |
. . 3
⊢
(∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
421 | | rexcom4 3225 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑔 ∈ dom
∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
422 | 421 | rexbii 3041 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑢∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
423 | | rexcom4 3225 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑢∃𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
424 | 422, 423 | bitri 264 |
. . . 4
⊢
(∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
425 | 424 | exbii 1774 |
. . 3
⊢
(∃𝑡∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑢∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
426 | | r19.41vv 3091 |
. . . 4
⊢
(∃𝑓 ∈ dom
∫1∃𝑔
∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1((∃𝑐
∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
427 | 426 | 2exbii 1775 |
. . 3
⊢
(∃𝑡∃𝑢∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡∃𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1((∃𝑐
∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
428 | 420, 425,
427 | 3bitrri 287 |
. 2
⊢
(∃𝑡∃𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1((∃𝑐
∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1∃𝑡∃𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))) |
429 | 416, 428 | syl6ibr 242 |
1
⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((ℎ‘𝑧) = 0, 0, ((ℎ‘𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 +
𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1‘ℎ)) → ∃𝑡∃𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1∃𝑔 ∈ dom
∫1((∃𝑐
∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓‘𝑧) = 0, 0, ((𝑓‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = (∫1‘𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+
(𝑧 ∈ ℝ ↦
if((𝑔‘𝑧) = 0, 0, ((𝑔‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟 ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = (∫1‘𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))) |