Theorem 1259prm 15843

Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	|- N = ;;; 1 2 5 9

Assertion

Ref	Expression
1259prm	|- N e. Prime

Proof of Theorem 1259prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		37prm 15828	. 2 |- ; 3 7 e. Prime
2		3nn0 11310	. . 3 |- 3 e. NN0
3		4nn 11187	. . 3 |- 4 e. NN
4	2, 3	decnncl 11518	. 2 |- ; 3 4 e. NN
5		1259prm.1	. . . . . 6 |- N = ;;; 1 2 5 9
6		1nn0 11308	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
7		2nn0 11309	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
8	6, 7	deccl 11512	. . . . . . . 8 |- ; 1 2 e. NN0
9		5nn0 11312	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN0
10	8, 9	deccl 11512	. . . . . . 7 |- ;; 1 2 5 e. NN0
11		8nn0 11315	. . . . . . 7 |- 8 e. NN0
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ;;; 1 2 5 8 = ;;; 1 2 5 8
13		8p1e9 11158	. . . . . . 7 |- ( 8 + 1 ) = 9
14	10, 11, 6, 12, 13	decaddi 11579	. . . . . 6 |- (;;; 1 2 5 8 + 1 ) = ;;; 1 2 5 9
15	5, 14	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- N = (;;; 1 2 5 8 + 1 )
16	15	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( N - 1 ) = ( (;;; 1 2 5 8 + 1 ) - 1 )
17	10, 11	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;;; 1 2 5 8 e. NN0
18	17	nn0cni 11304	. . . . 5 |- ;;; 1 2 5 8 e. CC
19		ax-1cn 9994	. . . . 5 |- 1 e. CC
20	18, 19	pncan3oi 10297	. . . 4 |- ( (;;; 1 2 5 8 + 1 ) - 1 ) = ;;; 1 2 5 8
21	16, 20	eqtri 2644	. . 3 |- ( N - 1 ) = ;;; 1 2 5 8
22		4nn0 11311	. . . . 5 |- 4 e. NN0
23	2, 22	deccl 11512	. . . 4 |- ; 3 4 e. NN0
24		7nn0 11314	. . . 4 |- 7 e. NN0
25		eqid 2622	. . . 4 |- ; 3 7 = ; 3 7
26	7, 2	deccl 11512	. . . 4 |- ; 2 3 e. NN0
27		eqid 2622	. . . . 5 |- ; 3 4 = ; 3 4
28		eqid 2622	. . . . 5 |- ; 2 3 = ; 2 3
29		3t3e9 11180	. . . . . . 7 |- ( 3 x. 3 ) = 9
30		2p1e3 11151	. . . . . . 7 |- ( 2 + 1 ) = 3
31	29, 30	oveq12i 6662	. . . . . 6 |- ( ( 3 x. 3 ) + ( 2 + 1 ) ) = ( 9 + 3 )
32		9p3e12 11621	. . . . . 6 |- ( 9 + 3 ) = ; 1 2
33	31, 32	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 3 ) + ( 2 + 1 ) ) = ; 1 2
34		4t3e12 11632	. . . . . 6 |- ( 4 x. 3 ) = ; 1 2
35		3cn 11095	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
36		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
37		3p2e5 11160	. . . . . . 7 |- ( 3 + 2 ) = 5
38	35, 36, 37	addcomli 10228	. . . . . 6 |- ( 2 + 3 ) = 5
39	6, 7, 2, 34, 38	decaddi 11579	. . . . 5 |- ( ( 4 x. 3 ) + 3 ) = ; 1 5
40	2, 22, 7, 2, 27, 28, 2, 9, 6, 33, 39	decmac 11566	. . . 4 |- ( (; 3 4 x. 3 ) + ; 2 3 ) = ;; 1 2 5
41		7cn 11104	. . . . . . 7 |- 7 e. CC
42		7t3e21 11649	. . . . . . 7 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
43	41, 35, 42	mulcomli 10047	. . . . . 6 |- ( 3 x. 7 ) = ; 2 1
44		1p2e3 11152	. . . . . 6 |- ( 1 + 2 ) = 3
45	7, 6, 7, 43, 44	decaddi 11579	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 7 ) + 2 ) = ; 2 3
46		4cn 11098	. . . . . 6 |- 4 e. CC
47		7t4e28 11650	. . . . . 6 |- ( 7 x. 4 ) = ; 2 8
48	41, 46, 47	mulcomli 10047	. . . . 5 |- ( 4 x. 7 ) = ; 2 8
49	24, 2, 22, 27, 11, 7, 45, 48	decmul1c 11587	. . . 4 |- (; 3 4 x. 7 ) = ;; 2 3 8
50	23, 2, 24, 25, 11, 26, 40, 49	decmul2c 11589	. . 3 |- (; 3 4 x. ; 3 7 ) = ;;; 1 2 5 8
51	21, 50	eqtr4i 2647	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 3 4 x. ; 3 7 )
52		9nn0 11316	. . . . . . 7 |- 9 e. NN0
53	10, 52	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;;; 1 2 5 9 e. NN0
54	5, 53	eqeltri 2697	. . . . 5 |- N e. NN0
55	54	nn0cni 11304	. . . 4 |- N e. CC
56		npcan 10290	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
57	55, 19, 56	mp2an 708	. . 3 |- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
58	57	eqcomi 2631	. 2 |- N = ( ( N - 1 ) + 1 )
59		1nn 11031	. 2 |- 1 e. NN
60		2nn 11185	. 2 |- 2 e. NN
61	2, 24	deccl 11512	. . . . 5 |- ; 3 7 e. NN0
62	61	numexp1 15781	. . . 4 |- (; 3 7 ^ 1 ) = ; 3 7
63	62	oveq2i 6661	. . 3 |- (; 3 4 x. (; 3 7 ^ 1 ) ) = (; 3 4 x. ; 3 7 )
64	51, 63	eqtr4i 2647	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 3 4 x. (; 3 7 ^ 1 ) )
65		7nn 11190	. . . 4 |- 7 e. NN
66		4lt7 11211	. . . 4 |- 4 < 7
67	2, 22, 65, 66	declt 11530	. . 3 |- ; 3 4 < ; 3 7
68	67, 62	breqtrri 4680	. 2 |- ; 3 4 < (; 3 7 ^ 1 )
69	5	1259lem4 15841	. 2 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )
70	5	1259lem5 15842	. 2 |- ( ( ( 2 ^; 3 4 ) - 1 ) gcd N ) = 1
71	1, 4, 51, 58, 4, 59, 60, 64, 68, 69, 70	pockthi 15611	1 |- N e. Prime

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   7c7 11075   8c8 11076   9c9 11077   NN0cn0 11292  ;cdc 11493   ^cexp 12860   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-odz 15470  df-phi 15471  df-pc 15542

This theorem is referenced by: (None)