2lgsoddprmlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2lgsoddprmlem2 25134

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm 25141. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	$/\$ $/\$

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 11191	. . . . . 6
2		nnrp 11842	. . . . . 6
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5
4		eqcom 2629	. . . . . 6
5		modmuladdim 12713	. . . . . 6 $/\$
6	4, 5	syl5bi 232	. . . . 5 $/\$
7	3, 6	mpan2 707	. . . 4
8	7	imp 445	. . 3 $/\$
9	8	3adant2 1080	. 2 $/\$ $/\$
10		zcn 11382	. . . . . . . 8
11		8cn 11106	. . . . . . . . 9
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8
13	10, 12	mulcomd 10061	. . . . . . 7
14	13	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
15	14	oveq1d 6665	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
16	15	eqeq2d 2632	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
17		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14
20	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
21	19, 20	zmodcld 12691	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12
23	22	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
24		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12
25	24	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
26	23, 25	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
28	27	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		2lgsoddprmlem1 25133	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31	18, 28, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	31	breq2d 4665	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		2z 11409	. . . . . . 7
34		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
36	34, 35	zmodcld 12691	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
37	36	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
38		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11
39	38	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
40	37, 39	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
41		resqcl 12931	. . . . . . . . . . 11
42		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . 11
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10
44		8re 11105	. . . . . . . . . . 11
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10
46		8pos 11121	. . . . . . . . . . . 12
47	44, 46	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . 11
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10
49	43, 45, 48	redivcld 10853	. . . . . . . . 9
50	40, 49	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
51	50	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
52		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12
53	52	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
54	36, 53	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
55		nn0z 11400	. . . . . . . . . . 11
56	1	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
58		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	57, 59	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
62		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
63	62	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
64	61, 63	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
65	60, 64	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
66		4z 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
68	67, 59	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	68, 63	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	61, 69	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
71		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
73		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
75		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	74, 75	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77	73, 76	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
80	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
81	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
82	58	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
84	80, 81, 83	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
85	79, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
87	68	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
88	62	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	88	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
90	80, 87, 89	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
91	86, 90	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	72, 91	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	65, 92	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	93	ex 450	. . . . . . . . . . 11 $/\$
95	55, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
96	54, 95	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	97	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		dvdsaddre2b 15029	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	33, 51, 98, 99	mp3an2ani 1431	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	32, 100	bitr4d 271	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	ex 450	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
103	16, 102	sylbid 230	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
104	103	rexlimdva 3031	. 2 $/\$ $/\$
105	9, 104	mpd 15	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c4 11072

c8 11076

cn0 11292

cz 11377

crp 11832

cmo 12668

cexp 12860

cdvds 14983

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-dvds 14984

This theorem is referenced by: 2lgsoddprmlem4 25140

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