Theorem bccolsum 31625

Description: A column-sum rule for binomial coefficents. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bccolsum	|- ( ( N e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( k _C C ) = ( ( N + 1 ) _C ( C + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   k, N   C, k

Proof of Theorem bccolsum

Dummy variables n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... 0 ) )
2	1	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( m = 0 -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( k _C C ) )
3		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( m + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
4		0p1e1 11132	. . . . . . 7 |- ( 0 + 1 ) = 1
5	3, 4	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( m + 1 ) = 1 )
6	5	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) = ( 1 _C ( C + 1 ) ) )
7	2, 6	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) <-> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( k _C C ) = ( 1 _C ( C + 1 ) ) ) )
8	7	imbi2d 330	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) <-> ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( k _C C ) = ( 1 _C ( C + 1 ) ) ) ) )
9		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... n ) )
10	9	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( m = n -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) )
11		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( m + 1 ) = ( n + 1 ) )
12	11	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) )
13	10, 12	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( m = n -> ( sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) <-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) )
14	13	imbi2d 330	. . 3 |- ( m = n -> ( ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) <-> ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) ) )
15		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... ( n + 1 ) ) )
16	15	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( k _C C ) )
17		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m + 1 ) = ( ( n + 1 ) + 1 ) )
18	17	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) = ( ( ( n + 1 ) + 1 ) _C ( C + 1 ) ) )
19	16, 18	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) <-> sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( k _C C ) = ( ( ( n + 1 ) + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . 3 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) <-> ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( k _C C ) = ( ( ( n + 1 ) + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) ) )
21		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... N ) )
22	21	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( m = N -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( k _C C ) )
23		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( m + 1 ) = ( N + 1 ) )
24	23	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( m = N -> ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) _C ( C + 1 ) ) )
25	22, 24	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( m = N -> ( sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) <-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( k _C C ) = ( ( N + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) )
26	25	imbi2d 330	. . 3 |- ( m = N -> ( ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( k _C C ) = ( ( m + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) <-> ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( k _C C ) = ( ( N + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) ) )
27		0z 11388	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
28		0nn0 11307	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
29		nn0z 11400	. . . . . . 7 |- ( C e. NN0 -> C e. ZZ )
30		bccl 13109	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ C e. ZZ ) -> ( 0 _C C ) e. NN0 )
31	28, 29, 30	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( C e. NN0 -> ( 0 _C C ) e. NN0 )
32	31	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( C e. NN0 -> ( 0 _C C ) e. CC )
33		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( k _C C ) = ( 0 _C C ) )
34	33	fsum1 14476	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 _C C ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( k _C C ) = ( 0 _C C ) )
35	27, 32, 34	sylancr 695	. . . 4 |- ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( k _C C ) = ( 0 _C C ) )
36		elnn0 11294	. . . . 5 |- ( C e. NN0 <-> ( C e. NN \/ C = 0 ) )
37		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. NN -> 1 e. RR )
38		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. NN -> C e. RR+ )
39	37, 38	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. NN -> 1 < ( C + 1 ) )
40		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> ( C + 1 ) e. NN )
41	40	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. NN -> ( C + 1 ) e. RR )
42	37, 41	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. NN -> ( 1 < ( C + 1 ) <-> -. ( C + 1 ) <_ 1 ) )
43	39, 42	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( C e. NN -> -. ( C + 1 ) <_ 1 )
44		elfzle2 12345	. . . . . . . . 9 |- ( ( C + 1 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( C + 1 ) <_ 1 )
45	43, 44	nsyl 135	. . . . . . . 8 |- ( C e. NN -> -. ( C + 1 ) e. ( 0 ... 1 ) )
46	45	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> if ( ( C + 1 ) e. ( 0 ... 1 ) , ( ( ! ` 1 ) / ( ( ! ` ( 1 - ( C + 1 ) ) ) x. ( ! ` ( C + 1 ) ) ) ) , 0 ) = 0 )
47		1nn0 11308	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
48	40	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( C e. NN -> ( C + 1 ) e. ZZ )
49		bcval 13091	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN0 /\ ( C + 1 ) e. ZZ ) -> ( 1 _C ( C + 1 ) ) = if ( ( C + 1 ) e. ( 0 ... 1 ) , ( ( ! ` 1 ) / ( ( ! ` ( 1 - ( C + 1 ) ) ) x. ( ! ` ( C + 1 ) ) ) ) , 0 ) )
50	47, 48, 49	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> ( 1 _C ( C + 1 ) ) = if ( ( C + 1 ) e. ( 0 ... 1 ) , ( ( ! ` 1 ) / ( ( ! ` ( 1 - ( C + 1 ) ) ) x. ( ! ` ( C + 1 ) ) ) ) , 0 ) )
51		bc0k 13098	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> ( 0 _C C ) = 0 )
52	46, 50, 51	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 |- ( C e. NN -> ( 0 _C C ) = ( 1 _C ( C + 1 ) ) )
53		bcnn 13099	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( 0 _C 0 ) = 1 )
54	28, 53	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 _C 0 ) = 1
55		bcnn 13099	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. NN0 -> ( 1 _C 1 ) = 1 )
56	47, 55	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 _C 1 ) = 1
57	54, 56	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 |- ( 0 _C 0 ) = ( 1 _C 1 )
58		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( C = 0 -> ( 0 _C C ) = ( 0 _C 0 ) )
59		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( C = 0 -> ( C + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
60	59, 4	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( C = 0 -> ( C + 1 ) = 1 )
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( C = 0 -> ( 1 _C ( C + 1 ) ) = ( 1 _C 1 ) )
62	57, 58, 61	3eqtr4a 2682	. . . . . 6 |- ( C = 0 -> ( 0 _C C ) = ( 1 _C ( C + 1 ) ) )
63	52, 62	jaoi 394	. . . . 5 |- ( ( C e. NN \/ C = 0 ) -> ( 0 _C C ) = ( 1 _C ( C + 1 ) ) )
64	36, 63	sylbi 207	. . . 4 |- ( C e. NN0 -> ( 0 _C C ) = ( 1 _C ( C + 1 ) ) )
65	35, 64	eqtrd 2656	. . 3 |- ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( k _C C ) = ( 1 _C ( C + 1 ) ) )
66		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 <-> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
67	66	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
68	67	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
69		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) -> k e. NN0 )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
71		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ) -> C e. NN0 )
72	71	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ) -> C e. ZZ )
73		bccl 13109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ C e. ZZ ) -> ( k _C C ) e. NN0 )
74	70, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ) -> ( k _C C ) e. NN0 )
75	74	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ) -> ( k _C C ) e. CC )
76		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C C ) )
77	68, 75, 76	fsump1 14487	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( k _C C ) = ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) + ( ( n + 1 ) _C C ) ) )
78	77	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) /\ sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( k _C C ) = ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) + ( ( n + 1 ) _C C ) ) )
79		id 22	. . . . . . 7 |- ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) )
80		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. NN0 -> C e. CC )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> C e. CC )
82		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> 1 e. CC )
83	81, 82	pncand 10393	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( ( C + 1 ) - 1 ) = C )
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( ( n + 1 ) _C ( ( C + 1 ) - 1 ) ) = ( ( n + 1 ) _C C ) )
85	84	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( ( n + 1 ) _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( ( C + 1 ) - 1 ) ) )
86	79, 85	oveqan12rd 6670	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) /\ sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) + ( ( n + 1 ) _C C ) ) = ( ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) + ( ( n + 1 ) _C ( ( C + 1 ) - 1 ) ) ) )
87		peano2nn0 11333	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
88		peano2nn0 11333	. . . . . . . . 9 |- ( C e. NN0 -> ( C + 1 ) e. NN0 )
89	88	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( C e. NN0 -> ( C + 1 ) e. ZZ )
90		bcpasc 13108	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ ( C + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) + ( ( n + 1 ) _C ( ( C + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( n + 1 ) + 1 ) _C ( C + 1 ) ) )
91	87, 89, 90	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) + ( ( n + 1 ) _C ( ( C + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( n + 1 ) + 1 ) _C ( C + 1 ) ) )
92	91	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) /\ sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) + ( ( n + 1 ) _C ( ( C + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( n + 1 ) + 1 ) _C ( C + 1 ) ) )
93	78, 86, 92	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( n e. NN0 /\ C e. NN0 ) /\ sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( k _C C ) = ( ( ( n + 1 ) + 1 ) _C ( C + 1 ) ) )
94	93	exp31 630	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( C e. NN0 -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( k _C C ) = ( ( ( n + 1 ) + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) ) )
95	94	a2d 29	. . 3 |- ( n e. NN0 -> ( ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( k _C C ) = ( ( n + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) -> ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( k _C C ) = ( ( ( n + 1 ) + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) ) )
96	8, 14, 20, 26, 65, 95	nn0ind 11472	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( C e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( k _C C ) = ( ( N + 1 ) _C ( C + 1 ) ) ) )
97	96	imp 445	1 |- ( ( N e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( k _C C ) = ( ( N + 1 ) _C ( C + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   !cfa 13060   _C cbc 13089   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by: (None)