Theorem cncfmpt1f 22716

Description: Composition of continuous functions. -cn-> analogue of cnmpt11f 21467. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt1f.1	|- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
cncfmpt1f.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt1f	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x   x, X

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem cncfmpt1f

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt1f.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 22696	. . . . 5 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
5	4	fmpt 6381	. . . 4 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
6	3, 5	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
7		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A ) )
8		cncfmpt1f.1	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
9		cncff 22696	. . . . 5 |- ( F e. ( CC -cn-> CC ) -> F : CC --> CC )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F : CC --> CC )
11	10	feqmptd 6249	. . 3 |- ( ph -> F = ( y e. CC |-> ( F ` y ) ) )
12		fveq2 6191	. . 3 |- ( y = A -> ( F ` y ) = ( F ` A ) )
13	6, 7, 11, 12	fmptcof 6397	. 2 |- ( ph -> ( F o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( F ` A ) ) )
14	1, 8	cncfco 22710	. 2 |- ( ph -> ( F o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
15	13, 14	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` A ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   A.wral 2912   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-abs 13976  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  taylthlem2  24128  sincn  24198  coscn  24199  pige3  24269  efmul2picn  30674  itgexpif  30684  ftc1cnnclem  33483  ftc2nc  33494  itgcoscmulx  40185  itgsincmulx  40190  dirkeritg  40319  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem4  40323  fourierdlem16  40340  fourierdlem21  40345  fourierdlem22  40346  fourierdlem39  40363  fourierdlem58  40381  fourierdlem62  40385  fourierdlem68  40391  fourierdlem73  40396  fourierdlem76  40399  fourierdlem78  40401  fourierdlem83  40406  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446  etransclem18  40469  etransclem46  40497