Theorem fourierdlem68 40391

Description: The derivative of O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem68.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem68.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem68.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem68.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem68.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem68.ab	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem68.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
fourierdlem68.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem68.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem68.fbd	|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
fourierdlem68.e	|- ( ph -> E e. RR )
fourierdlem68.fdvbd	|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
fourierdlem68.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem68.o	|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem68	|- ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )

Distinct variable groups:   A, b, s   t, A, s   B, b, s   t, B   C, b, s   D, b, s   t, D   E, b, s   t, E   F, b, s   t, F   X, b, s   t, X   ph, b, s   ph, t

Allowed substitution hints:   C( t)   O( t, s, b)

Proof of Theorem fourierdlem68

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem68.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem68.xre	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR )
3		fourierdlem68.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
4		fourierdlem68.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
5		fourierdlem68.fdv	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
6		ioossicc 12259	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
7		fourierdlem68.ab	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
8	6, 7	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
9		fourierdlem68.n0	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
10	6	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( A (,) B ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
11	9, 10	nsyl 135	. . . . . 6 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
12		fourierdlem68.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
13		fourierdlem68.o	. . . . . 6 |- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	fourierdlem57 40380	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
15	14	simpli 474	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
16	15	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
17		fdm 6051	. . 3 |- ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR -> dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) )
18	16, 17	syl 17	. 2 |- ( ph -> dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) )
19		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) )
20		fourierdlem68.altb	. . . . . . 7 |- ( ph -> A < B )
21	3, 4, 20	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ B )
22		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. RR )
24	3, 4	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
25	24	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. RR )
26	25	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( t / 2 ) e. RR )
27	26	resincld 14873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. RR )
28	23, 27	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR )
29		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. CC )
30	27	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. CC )
31		2ne0 11113	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 =/= 0 )
33	7	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( -u pi [,] pi ) )
34		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = 0 <-> 0 = t )
35	34	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = 0 -> 0 = t )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 = t )
37		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> t e. ( A [,] B ) )
38	36, 37	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
39	38	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
40	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
41	39, 40	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> -. t = 0 )
42	41	neqned 2801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t =/= 0 )
43		fourierdlem44 40368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( -u pi [,] pi ) /\ t =/= 0 ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
44	33, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
45	29, 30, 32, 44	mulne0d 10679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 )
46		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
47	28, 45, 46	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) )
48	47, 19	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) )
49		difss 3737	. . . . . . . . . 10 |- ( RR \ { 0 } ) C_ RR
50		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
51	49, 50	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( RR \ { 0 } ) C_ CC
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR \ { 0 } ) C_ CC )
53	24, 50	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
54		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
55		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> CC C_ CC )
57	53, 54, 56	constcncfg 40084	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
58		sincn 24198	. . . . . . . . . . 11 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
60	53, 56	idcncfg 40085	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> t ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
61		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
62	29, 32, 61	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 )
64	62, 63	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) )
65		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
66		cncffvrn 22701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
67	65, 57, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
68	64, 67	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
69	60, 68	divcncf 23216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t / 2 ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
70	59, 69	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
71	57, 70	mulcncf 23215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
72		cncffvrn 22701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
73	52, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
74	48, 73	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) )
75	19, 3, 4, 21, 74	cncficcgt0 40101	. . . . 5 |- ( ph -> E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) )
76		reelprrecn 10028	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> RR e. { RR , CC } )
78	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
79	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
80		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
82	79, 81	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
83	78, 82	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
84	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
85	83, 84	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
86	85	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
87	86	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
88	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
89	83	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
90	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
91	2, 3	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
92	91	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
94	2, 4	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
95	94	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
97	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
98	97	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
99	4	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
101		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
102		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
104	97, 81, 79, 103	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
105	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
106		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
107	98, 100, 101, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
108	81, 105, 79, 107	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
109	93, 96, 82, 104, 108	eliood 39720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
110	90, 109	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
111		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
112	1, 2, 3, 4, 111, 5	fourierdlem28 40352	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
113	84	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
114		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
115		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
116		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
117	116	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
118	115, 117	eleqtri 2699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
120	12	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
121	88, 119, 120	dvmptconst 40129	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
122	88, 89, 110, 112, 113, 114, 121	dvmptsub 23730	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
123	110	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
124	123	subid1d 10381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
125	124	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
126	122, 125	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
127	126	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
128	123	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
129		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. CC )
130	80	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. CC )
131	130	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. CC )
132	131	sincld 14860	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
133	129, 132	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
134	133	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
135		fourierdlem68.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR )
136	135	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E e. RR )
137		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
138	22, 137	remulcli 10054	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) e. RR
139	138	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
140		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> 1 e. RR )
141		fourierdlem68.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
142	120	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
143	141, 142	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
144	143	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
145		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ph )
146	145, 109	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
147		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) <-> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
148	147	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) <-> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) )
149		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
150	149	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
151	150	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
152	148, 151	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) ) )
153		fourierdlem68.fdvbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
154	152, 153	vtoclg 3266	. . . . . . . . 9 |- ( ( X + s ) e. RR -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
155	82, 146, 154	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
156	155	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
157	129, 132	absmuld 14193	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
158		0le2 11111	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 2
159		absid 14036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
160	22, 158, 159	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` 2 ) = 2
161	160	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
162	132	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
163		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 1 e. RR )
164	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. RR )
165	158	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 0 <_ 2 )
166	80	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. RR )
167		abssinbd 39509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
169	162, 163, 164, 165, 168	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
170	161, 169	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
171	157, 170	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
172	171	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
173		abscosbd 39490	. . . . . . . . 9 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
174	101, 166, 173	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
175	174	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
176	86	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
177	89	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) e. RR )
178	113	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
179	177, 178	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) e. RR )
180	141	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> D e. RR )
181	180, 178	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
182	89, 113	abs2dif2d 14197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) )
183		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( X + s ) -> ( F ` t ) = ( F ` ( X + s ) ) )
184	183	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) = ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) )
185	184	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D <-> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
186	148, 185	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) ) )
187		fourierdlem68.fbd	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
188	186, 187	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
189	109, 146, 188	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D )
190	177, 180, 178, 189	leadd1dd 10641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
191	176, 179, 181, 182, 190	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
192	191	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
193	14	simpri 478	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
194	193	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
195	131	coscld 14861	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
196	195	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
197		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> c e. RR+ )
198		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) )
199	198	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
200	199	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
201	200	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = s -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
202	201	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> ( c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
203	202	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 |- ( A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
204		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ s ph
205		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ s A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
206	204, 205	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ s ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
207		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
208	6, 101	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
209	208	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
210		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) /\ s e. ( A [,] B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
211	207, 209, 210	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
212	211	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> ( s e. ( A (,) B ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
213	206, 212	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
214	203, 213	sylan2b 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
215	214	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
216		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
217	77, 87, 127, 128, 134, 136, 139, 140, 144, 156, 172, 175, 192, 194, 196, 197, 215, 216	dvdivbd 40138	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
218	217	rexlimdv3a 3033	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
219	75, 218	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
220		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ s RR
221		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ s _D
222		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ s ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
223	13, 222	nfcxfr 2762	. . . . . . . . 9 |- F/_ s O
224	220, 221, 223	nfov 6676	. . . . . . . 8 |- F/_ s ( RR _D O )
225	224	nfdm 5367	. . . . . . 7 |- F/_ s dom ( RR _D O )
226		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ s ( A (,) B )
227	225, 226	raleqf 3134	. . . . . 6 |- ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
228	18, 227	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
229	228	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
230	219, 229	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
231	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
232	231	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
233	232	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) )
234	233	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) )
235	234	breq1d 4663	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
236	235	rexralbidv 3058	. . 3 |- ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
237	230, 236	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b )
238	18, 237	jca 554	1 |- ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   abscabs 13974   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem80  40403