Theorem ftc1cnnclem 33483

Description: Lemma for ftc1cnnc 33484; cf. ftc1lem4 23802. The stronger assumptions of ftc1cn 23806 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1cnnc.g	|- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
ftc1cnnc.a	|- ( ph -> A e. RR )
ftc1cnnc.b	|- ( ph -> B e. RR )
ftc1cnnc.le	|- ( ph -> A <_ B )
ftc1cnnc.f	|- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i	|- ( ph -> F e. L^1 )
ftc1cnnclem.c	|- ( ph -> c e. ( A (,) B ) )
ftc1cnnclem.h	|- H = ( z e. ( ( A [,] B ) \ { c } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` c ) ) / ( z - c ) ) )
ftc1cnnclem.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
ftc1cnnclem.r	|- ( ph -> R e. RR+ )
ftc1cnnclem.fc	|- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( y - c ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < E ) )
ftc1cnnclem.x1	|- ( ph -> X e. ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.x2	|- ( ph -> ( abs ` ( X - c ) ) < R )
ftc1cnnclem.y1	|- ( ph -> Y e. ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.y2	|- ( ph -> ( abs ` ( Y - c ) ) < R )

Assertion

Ref	Expression
ftc1cnnclem	|- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` c ) ) ) < E )

Distinct variable groups:   x, y, z, t, A   x, B, y, z, t   x, F, y, z, t   ph, x, y, z, t   y, G, z   x, c, y, z, t   x, X, z, t   y, E, t   y, H   x, Y, t   y, R

Allowed substitution hints:   ph( c)   A( c)   B( c)   R( x, z, t, c)   E( x, z, c)   F( c)   G( x, t, c)   H( x, z, t, c)   X( y, c)   Y( y, z, c)

Proof of Theorem ftc1cnnclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1cnnc.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR )
2		ftc1cnnc.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR )
3		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
5		ftc1cnnclem.x1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. ( A [,] B ) )
6	4, 5	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. RR )
7		ftc1cnnclem.y1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. ( A [,] B ) )
8	4, 7	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR )
9		ltle 10126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( X < Y -> X <_ Y ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X < Y -> X <_ Y ) )
11	10	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> X <_ Y )
12		ftc1cnnc.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
13		ftc1cnnc.le	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A <_ B )
14		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) C_ ( A (,) B )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
16		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) C_ RR
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
18		ftc1cnnc.i	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. L^1 )
19		ftc1cnnc.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
20		cncff 22696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
22	12, 1, 2, 13, 15, 17, 18, 21, 5, 7	ftc1lem1 23798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X <_ Y ) -> ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) = S. ( X (,) Y ) ( F ` t ) _d t )
23	11, 22	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) = S. ( X (,) Y ) ( F ` t ) _d t )
24	1	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
25	2	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. RR* )
26		elicc1 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( X e. ( A [,] B ) <-> ( X e. RR* /\ A <_ X /\ X <_ B ) ) )
27	26	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ X e. ( A [,] B ) ) -> ( X e. RR* /\ A <_ X /\ X <_ B ) )
28	27	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ X e. ( A [,] B ) ) -> A <_ X )
29	24, 25, 5, 28	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A <_ X )
30		iccleub 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ Y e. ( A [,] B ) ) -> Y <_ B )
31	24, 25, 7, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Y <_ B )
32		ioossioo 12265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( A <_ X /\ Y <_ B ) ) -> ( X (,) Y ) C_ ( A (,) B ) )
33	24, 25, 29, 31, 32	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ ( A (,) B ) )
34	33	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> t e. ( A (,) B ) )
35	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` t ) e. CC )
36	34, 35	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( F ` t ) e. CC )
37		ftc1cnnclem.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> c e. ( A (,) B ) )
38	21, 37	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` c ) e. CC )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( F ` c ) e. CC )
40	36, 39	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) + ( F ` c ) ) = ( F ` t ) )
41	40	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) + ( F ` c ) ) _d t = S. ( X (,) Y ) ( F ` t ) _d t )
42	36, 39	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) e. CC )
43		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X (,) Y ) e. dom vol
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X (,) Y ) e. dom vol )
45		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` t ) e. _V )
46	21	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F = ( t e. ( A (,) B ) |-> ( F ` t ) ) )
47	46, 18	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. ( A (,) B ) |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
48	33, 44, 45, 47	iblss 23571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
49		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X (,) Y ) X. { ( F ` c ) } ) = ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` c ) )
50		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X (,) Y ) e. dom vol -> ( vol ` ( X (,) Y ) ) = ( vol* ` ( X (,) Y ) ) )
51	43, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( X (,) Y ) ) = ( vol* ` ( X (,) Y ) )
52		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) )
54		iccmbl 23334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( X [,] Y ) e. dom vol )
55	6, 8, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X [,] Y ) e. dom vol )
56		mblss 23299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X [,] Y ) e. dom vol -> ( X [,] Y ) C_ RR )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
58		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X [,] Y ) e. dom vol -> ( vol ` ( X [,] Y ) ) = ( vol* ` ( X [,] Y ) ) )
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( vol ` ( X [,] Y ) ) = ( vol* ` ( X [,] Y ) ) )
60		iccvolcl 23335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( vol ` ( X [,] Y ) ) e. RR )
61	6, 8, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( vol ` ( X [,] Y ) ) e. RR )
62	59, 61	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( vol* ` ( X [,] Y ) ) e. RR )
63		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) /\ ( X [,] Y ) C_ RR /\ ( vol* ` ( X [,] Y ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( X (,) Y ) ) e. RR )
64	53, 57, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( vol* ` ( X (,) Y ) ) e. RR )
65	51, 64	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( vol ` ( X (,) Y ) ) e. RR )
66		iblconst 23584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( vol ` ( X (,) Y ) ) e. RR /\ ( F ` c ) e. CC ) -> ( ( X (,) Y ) X. { ( F ` c ) } ) e. L^1 )
67	44, 65, 38, 66	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( X (,) Y ) X. { ( F ` c ) } ) e. L^1 )
68	49, 67	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` c ) ) e. L^1 )
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
70	69	subcn 22669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
72	21, 33	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F |` ( X (,) Y ) ) = ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` t ) ) )
73		rescncf 22700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( A (,) B ) -> ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> ( F |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
74	33, 19, 73	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
75	72, 74	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` t ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
76		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( X (,) Y ) C_ RR
77		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- RR C_ CC
78	76, 77	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X (,) Y ) C_ CC
79		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC C_ CC
80		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` c ) e. CC /\ ( X (,) Y ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` c ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
81	78, 79, 80	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` c ) e. CC -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` c ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
82	38, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` c ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
83	69, 71, 75, 82	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
84		cnmbf 23426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) e. MblFn )
85	43, 83, 84	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) e. MblFn )
86	36, 48, 39, 68, 85	iblsubnc 33471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) e. L^1 )
87	40	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) + ( F ` c ) ) ) = ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( F ` t ) ) )
88	87, 72	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) + ( F ` c ) ) ) = ( F |` ( X (,) Y ) ) )
89		iblmbf 23534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. L^1 -> F e. MblFn )
90	18, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. MblFn )
91		mbfres 23411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. MblFn /\ ( X (,) Y ) e. dom vol ) -> ( F |` ( X (,) Y ) ) e. MblFn )
92	90, 43, 91	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` ( X (,) Y ) ) e. MblFn )
93	88, 92	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) + ( F ` c ) ) ) e. MblFn )
94	42, 86, 39, 68, 93	itgaddnc 33470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) + ( F ` c ) ) _d t = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t + S. ( X (,) Y ) ( F ` c ) _d t ) )
95	41, 94	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( F ` t ) _d t = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t + S. ( X (,) Y ) ( F ` c ) _d t ) )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( F ` t ) _d t = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t + S. ( X (,) Y ) ( F ` c ) _d t ) )
97		itgconst 23585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( vol ` ( X (,) Y ) ) e. RR /\ ( F ` c ) e. CC ) -> S. ( X (,) Y ) ( F ` c ) _d t = ( ( F ` c ) x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
98	44, 65, 38, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( F ` c ) _d t = ( ( F ` c ) x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( F ` c ) _d t = ( ( F ` c ) x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
100	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> X e. RR )
101	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> Y e. RR )
102		ovolioo 23336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR /\ X <_ Y ) -> ( vol* ` ( X (,) Y ) ) = ( Y - X ) )
103	100, 101, 11, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( vol* ` ( X (,) Y ) ) = ( Y - X ) )
104	51, 103	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( vol ` ( X (,) Y ) ) = ( Y - X ) )
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( F ` c ) x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) = ( ( F ` c ) x. ( Y - X ) ) )
106	99, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( F ` c ) _d t = ( ( F ` c ) x. ( Y - X ) ) )
107	106	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t + S. ( X (,) Y ) ( F ` c ) _d t ) = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t + ( ( F ` c ) x. ( Y - X ) ) ) )
108	23, 96, 107	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t + ( ( F ` c ) x. ( Y - X ) ) ) )
109	108	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) = ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t + ( ( F ` c ) x. ( Y - X ) ) ) / ( Y - X ) ) )
110		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) e. _V )
111	110, 86	itgcl 23550	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t e. CC )
112	111	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t e. CC )
113	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( F ` c ) e. CC )
114	8, 6	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y - X ) e. RR )
115	114	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y - X ) e. CC )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( Y - X ) e. CC )
117	113, 116	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( F ` c ) x. ( Y - X ) ) e. CC )
118	6, 8	posdifd 10614	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X < Y <-> 0 < ( Y - X ) ) )
119	118	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> 0 < ( Y - X ) )
120	119	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( Y - X ) =/= 0 )
121	112, 117, 116, 120	divdird 10839	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t + ( ( F ` c ) x. ( Y - X ) ) ) / ( Y - X ) ) = ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( ( ( F ` c ) x. ( Y - X ) ) / ( Y - X ) ) ) )
122	113, 116, 120	divcan4d 10807	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( F ` c ) x. ( Y - X ) ) / ( Y - X ) ) = ( F ` c ) )
123	122	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( ( ( F ` c ) x. ( Y - X ) ) / ( Y - X ) ) ) = ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( F ` c ) ) )
124	109, 121, 123	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) = ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( F ` c ) ) )
125	124	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` c ) ) = ( ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( F ` c ) ) - ( F ` c ) ) )
126	112, 116, 120	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) e. CC )
127	126, 113	pncand 10393	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) + ( F ` c ) ) - ( F ` c ) ) = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) )
128	125, 127	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` c ) ) = ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) )
129	128	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` c ) ) ) = ( abs ` ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) ) )
130	112, 116, 120	absdivd 14194	. . 3 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t / ( Y - X ) ) ) = ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) / ( abs ` ( Y - X ) ) ) )
131	114	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( Y - X ) e. RR )
132		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
133		ltle 10126	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ ( Y - X ) e. RR ) -> ( 0 < ( Y - X ) -> 0 <_ ( Y - X ) ) )
134	132, 131, 133	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( 0 < ( Y - X ) -> 0 <_ ( Y - X ) ) )
135	119, 134	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> 0 <_ ( Y - X ) )
136	131, 135	absidd 14161	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( Y - X ) ) = ( Y - X ) )
137	136	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) / ( abs ` ( Y - X ) ) ) = ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) / ( Y - X ) ) )
138	129, 130, 137	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` c ) ) ) = ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) / ( Y - X ) ) )
139	112	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) e. RR )
140	42	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) e. RR )
141		cncfss 22702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) )
142	77, 79, 141	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC )
143		abscncf 22704	. . . . . . . . . . 11 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
144	142, 143	sselii 3600	. . . . . . . . . 10 |- abs e. ( CC -cn-> CC )
145	144	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> abs e. ( CC -cn-> CC ) )
146	145, 83	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
147		cnmbf 23426	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. MblFn )
148	43, 146, 147	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. MblFn )
149	110, 86, 148	iblabsnc 33474	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. L^1 )
150	140, 149	itgrecl 23564	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t e. RR )
151	150	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t e. RR )
152		ftc1cnnclem.e	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
153	152	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
154	114, 153	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Y - X ) x. E ) e. RR )
155	154	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( Y - X ) x. E ) e. RR )
156	111	cjcld 13936	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( * ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) e. CC )
157		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( * ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) e. CC /\ ( X (,) Y ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( * ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
158	78, 79, 157	mp3an23 1416	. . . . . . . . 9 |- ( ( * ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) e. CC -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( * ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
159	156, 158	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( * ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
160		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( F ` t ) - ( F ` c ) )
161		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t [_ x / t ]_ ( ( F ` t ) - ( F ` c ) )
162		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( t = x -> ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) = [_ x / t ]_ ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) )
163	160, 161, 162	cbvmpt 4749	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> [_ x / t ]_ ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) )
164	163, 83	syl5eqelr 2706	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> [_ x / t ]_ ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
165	159, 164	mulcncf 23215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( * ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) x. [_ x / t ]_ ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
166		cnmbf 23426	. . . . . . 7 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( * ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) x. [_ x / t ]_ ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( * ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) x. [_ x / t ]_ ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. MblFn )
167	43, 165, 166	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( ( * ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) x. [_ x / t ]_ ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. MblFn )
168	42, 86, 148, 167	itgabsnc 33479	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) <_ S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t )
169	168	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) <_ S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t )
170		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> X < Y )
171	153	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> E e. RR )
172		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X (,) Y ) X. { E } ) = ( t e. ( X (,) Y ) |-> E )
173	152	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. CC )
174		iblconst 23584	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( vol ` ( X (,) Y ) ) e. RR /\ E e. CC ) -> ( ( X (,) Y ) X. { E } ) e. L^1 )
175	44, 65, 173, 174	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X (,) Y ) X. { E } ) e. L^1 )
176	172, 175	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. L^1 )
177		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E e. CC /\ ( X (,) Y ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
178	78, 79, 177	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. CC -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
179	173, 178	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
180	69, 71, 179, 146	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
181		cnmbf 23426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) ) e. MblFn )
182	43, 180, 181	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) ) e. MblFn )
183	171, 176, 140, 149, 182	iblsubnc 33471	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) ) e. L^1 )
184	183	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) ) e. L^1 )
185		ftc1cnnclem.fc	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( y - c ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < E ) )
186	185	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( y - c ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < E ) )
187	186	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> A. y e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( y - c ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < E ) )
188	16, 37	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> c e. RR )
189		ftc1cnnclem.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> R e. RR+ )
190	189	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. RR )
191	188, 190	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( c - R ) e. RR )
192	191	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( c - R ) e. RR )
193	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> X e. RR )
194		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( X (,) Y ) -> t e. RR )
195	194	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> t e. RR )
196		ftc1cnnclem.x2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( X - c ) ) < R )
197	6, 188, 190	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( X - c ) ) < R <-> ( ( c - R ) < X /\ X < ( c + R ) ) ) )
198	196, 197	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( c - R ) < X /\ X < ( c + R ) ) )
199	198	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( c - R ) < X )
200	199	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( c - R ) < X )
201		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( X (,) Y ) -> ( X < t /\ t < Y ) )
202	201	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( X < t /\ t < Y ) )
203	202	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> X < t )
204	192, 193, 195, 200, 203	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( c - R ) < t )
205	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> Y e. RR )
206	188, 190	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( c + R ) e. RR )
207	206	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( c + R ) e. RR )
208	202	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> t < Y )
209		ftc1cnnclem.y2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( Y - c ) ) < R )
210	8, 188, 190	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Y - c ) ) < R <-> ( ( c - R ) < Y /\ Y < ( c + R ) ) ) )
211	209, 210	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( c - R ) < Y /\ Y < ( c + R ) ) )
212	211	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y < ( c + R ) )
213	212	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> Y < ( c + R ) )
214	195, 205, 207, 208, 213	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> t < ( c + R ) )
215	188	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> c e. RR )
216	190	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> R e. RR )
217	195, 215, 216	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( abs ` ( t - c ) ) < R <-> ( ( c - R ) < t /\ t < ( c + R ) ) ) )
218	204, 214, 217	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( abs ` ( t - c ) ) < R )
219		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = t -> ( y - c ) = ( t - c ) )
220	219	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = t -> ( abs ` ( y - c ) ) = ( abs ` ( t - c ) ) )
221	220	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = t -> ( ( abs ` ( y - c ) ) < R <-> ( abs ` ( t - c ) ) < R ) )
222		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = t -> ( F ` y ) = ( F ` t ) )
223	222	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = t -> ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) = ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) )
224	223	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = t -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) )
225	224	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = t -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < E <-> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) < E ) )
226	221, 225	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = t -> ( ( ( abs ` ( y - c ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < E ) <-> ( ( abs ` ( t - c ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) < E ) ) )
227	226	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( A (,) B ) -> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( y - c ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` c ) ) ) < E ) -> ( ( abs ` ( t - c ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) < E ) ) )
228	34, 187, 218, 227	syl3c 66	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) < E )
229		difrp 11868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) e. RR /\ E e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) < E <-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. RR+ ) )
230	140, 171, 229	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) < E <-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. RR+ ) )
231	228, 230	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. RR+ )
232	231	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X < Y ) /\ t e. ( X (,) Y ) ) -> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) e. RR+ )
233	180	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( t e. ( X (,) Y ) |-> ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
234	170, 184, 232, 233	itggt0cn 33482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> 0 < S. ( X (,) Y ) ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) _d t )
235	171, 176, 140, 149, 182	itgsubnc 33472	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) _d t = ( S. ( X (,) Y ) E _d t - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t ) )
236	235	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) _d t = ( S. ( X (,) Y ) E _d t - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t ) )
237		itgconst 23585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X (,) Y ) e. dom vol /\ ( vol ` ( X (,) Y ) ) e. RR /\ E e. CC ) -> S. ( X (,) Y ) E _d t = ( E x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
238	44, 65, 173, 237	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) E _d t = ( E x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
239	238	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) E _d t = ( E x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) )
240	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( E x. ( vol ` ( X (,) Y ) ) ) = ( E x. ( Y - X ) ) )
241	173, 115	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E x. ( Y - X ) ) = ( ( Y - X ) x. E ) )
242	241	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( E x. ( Y - X ) ) = ( ( Y - X ) x. E ) )
243	239, 240, 242	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) E _d t = ( ( Y - X ) x. E ) )
244	243	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( S. ( X (,) Y ) E _d t - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t ) = ( ( ( Y - X ) x. E ) - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t ) )
245	236, 244	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( E - ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) ) _d t = ( ( ( Y - X ) x. E ) - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t ) )
246	234, 245	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> 0 < ( ( ( Y - X ) x. E ) - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t ) )
247	150, 154	posdifd 10614	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t < ( ( Y - X ) x. E ) <-> 0 < ( ( ( Y - X ) x. E ) - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t ) ) )
248	247	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < ( ( ( Y - X ) x. E ) - S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t ) ) -> S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t < ( ( Y - X ) x. E ) )
249	246, 248	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> S. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) ) _d t < ( ( Y - X ) x. E ) )
250	139, 151, 155, 169, 249	lelttrd 10195	. . 3 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) < ( ( Y - X ) x. E ) )
251	153	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> E e. RR )
252		ltdivmul 10898	. . . 4 |- ( ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) e. RR /\ E e. RR /\ ( ( Y - X ) e. RR /\ 0 < ( Y - X ) ) ) -> ( ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) / ( Y - X ) ) < E <-> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) < ( ( Y - X ) x. E ) ) )
253	139, 251, 131, 119, 252	syl112anc 1330	. . 3 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) / ( Y - X ) ) < E <-> ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) < ( ( Y - X ) x. E ) ) )
254	250, 253	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( ( abs ` S. ( X (,) Y ) ( ( F ` t ) - ( F ` c ) ) _d t ) / ( Y - X ) ) < E )
255	138, 254	eqbrtrd 4675	1 |- ( ( ph /\ X < Y ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) / ( Y - X ) ) - ( F ` c ) ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   *ccj 13836   abscabs 13974   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679   vol*covol 23231   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  ftc1cnnc  33484