Theorem fourierdlem39 40363

Description: Integration by parts of S. ( A (,) B ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) _d x (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem39.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem39.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem39.aleb	|- ( ph -> A <_ B )
fourierdlem39.f	|- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
fourierdlem39.g	|- G = ( RR _D F )
fourierdlem39.gcn	|- ( ph -> G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
fourierdlem39.gbd	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y )
fourierdlem39.r	|- ( ph -> R e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem39	|- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) _d x = ( ( ( ( F ` B ) x. -u ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) ) - ( ( F ` A ) x. -u ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) ) ) - S. ( A (,) B ) ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) _d x ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, F, y   x, G, y   x, R, y   ph, x, y

Proof of Theorem fourierdlem39

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem39.a	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem39.b	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		fourierdlem39.aleb	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
4		fourierdlem39.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
5		cncff 22696	. . . . . 6 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
7	6	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( ph -> F = ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) )
8	7	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) = F )
9	8, 4	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
10		coscn 24199	. . . . . 6 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
12	1, 2	iccssred 39727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
13		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
14	12, 13	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
15		fourierdlem39.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. RR+ )
16	15	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. CC )
18		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC C_ CC )
20	14, 17, 19	constcncfg 40084	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> R ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
21	14, 19	idcncfg 40085	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> x ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
22	20, 21	mulcncf 23215	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( R x. x ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
23	11, 22	cncfmpt1f 22716	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( cos ` ( R x. x ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
24	15	rpcnne0d 11881	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R e. CC /\ R =/= 0 ) )
25		eldifsn 4317	. . . . . 6 |- ( R e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( R e. CC /\ R =/= 0 ) )
26	24, 25	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> R e. ( CC \ { 0 } ) )
27		difssd 3738	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
28	14, 26, 27	constcncfg 40084	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> R ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
29	23, 28	divcncf 23216	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
30	29	negcncfg 40094	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
31		fourierdlem39.gcn	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
32		cncff 22696	. . . . . 6 |- ( G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> G : ( A (,) B ) --> CC )
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> CC )
34	33	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( ph -> G = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
35	34	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) = G )
36	35, 31	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
37		sincn 24198	. . . 4 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
38	37	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
39		ioosscn 39716	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ CC
40	39	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
41	40, 17, 19	constcncfg 40084	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> R ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
42	40, 19	idcncfg 40085	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> x ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
43	41, 42	mulcncf 23215	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( R x. x ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
44	38, 43	cncfmpt1f 22716	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( R x. x ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
45		ioombl 23333	. . . 4 |- ( A (,) B ) e. dom vol
46	45	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol )
47		volioo 23337	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` ( A (,) B ) ) = ( B - A ) )
48	1, 2, 3, 47	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( vol ` ( A (,) B ) ) = ( B - A ) )
49	2, 1	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
50	48, 49	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR )
51		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) )
52		ioossicc 12259	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
53	52	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) )
54	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
55	53	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
56	54, 55	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
57	51, 9, 53, 19, 56	cncfmptssg 40083	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
58	57, 44	mulcncf 23215	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
59		cniccbdd 23230	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> E. y e. RR A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
60	1, 2, 4, 59	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
61		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ z A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y
62	52	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( A (,) B ) -> z e. ( A [,] B ) )
63		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
64	62, 63	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
65	64	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> ( z e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) )
66	61, 65	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
67	66	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) )
68	67	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> E. y e. RR A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) )
69	60, 68	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
70		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ z ( ph /\ y e. RR )
71		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ z A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y
72	70, 71	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
73		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> ( ph /\ y e. RR ) )
74		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) )
75	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> R e. RR )
76		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. RR )
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. RR )
78	75, 77	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( R x. x ) e. RR )
79	78	resincld 14873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( R x. x ) ) e. RR )
80	79	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( R x. x ) ) e. CC )
81	56, 80	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) e. CC )
82	81	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) e. CC )
83		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( A (,) B ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) e. CC -> dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) = ( A (,) B ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) = ( A (,) B ) )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) = ( A (,) B ) )
86	74, 85	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> z e. ( A (,) B ) )
87	86	ad4ant14 1293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> z e. ( A (,) B ) )
88		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
89	86	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> z e. ( A (,) B ) )
90		rspa 2930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
91	88, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
92	91	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
93		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) )
94		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
95		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( R x. x ) = ( R x. z ) )
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( sin ` ( R x. x ) ) = ( sin ` ( R x. z ) ) )
97	94, 96	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) = ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ x = z ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) = ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) )
99		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. ( A (,) B ) )
100	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
101	52, 99	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. ( A [,] B ) )
102	100, 101	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
103	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R e. CC )
104	39, 99	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. CC )
105	103, 104	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( R x. z ) e. CC )
106	105	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( R x. z ) ) e. CC )
107	102, 106	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) e. CC )
108	93, 98, 99, 107	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) )
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) )
110	102, 106	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) )
111	109, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) )
112	111	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) )
114		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ph )
115		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> z e. ( A (,) B ) )
116	114, 115, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( F ` z ) e. CC )
117	116	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR )
118	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> R e. CC )
119	39, 115	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> z e. CC )
120	118, 119	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( R x. z ) e. CC )
121	120	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( sin ` ( R x. z ) ) e. CC )
122	121	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) e. RR )
123	117, 122	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) e. RR )
124		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> 1 e. RR )
125	117, 124	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. 1 ) e. RR )
126		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> y e. RR )
127	126, 124	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( y x. 1 ) e. RR )
128	106	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) e. RR )
129		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> 1 e. RR )
130	102	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR )
131	102	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
132	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R e. RR )
133		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( A (,) B ) -> z e. RR )
134	133	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. RR )
135	132, 134	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( R x. z ) e. RR )
136		abssinbd 39509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R x. z ) e. RR -> ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) <_ 1 )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) <_ 1 )
138	128, 129, 130, 131, 137	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. 1 ) )
139	138	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. 1 ) )
140	139	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. 1 ) )
141		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 1
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> 0 <_ 1 )
143		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y )
144	117, 126, 124, 142, 143	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. 1 ) <_ ( y x. 1 ) )
145	123, 125, 127, 140, 144	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) <_ ( y x. 1 ) )
146	113, 145	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( y x. 1 ) )
147	126	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> y e. CC )
148	147	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( y x. 1 ) = y )
149	146, 148	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y )
150	73, 87, 92, 149	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y )
151	150	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y ) )
152	72, 151	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y )
153	152	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y ) )
154	153	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> E. y e. RR A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y ) )
155	69, 154	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. y e. RR A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y )
156	46, 50, 58, 155	cnbdibl 40178	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) e. L^1 )
157	11, 43	cncfmpt1f 22716	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( R x. x ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
158	40, 26, 27	constcncfg 40084	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> R ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
159	157, 158	divcncf 23216	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
160	159	negcncfg 40094	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
161	36, 160	mulcncf 23215	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
162		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
163	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> R e. RR )
164	15	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R =/= 0 )
165	164	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> R =/= 0 )
166	162, 163, 165	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y / R ) e. RR )
167	166	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) -> ( y / R ) e. RR )
168		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) )
169	33	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
170	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> R e. CC )
171	76	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. CC )
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. CC )
173	170, 172	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( R x. x ) e. CC )
174	173	coscld 14861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( R x. x ) ) e. CC )
175	164	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> R =/= 0 )
176	174, 170, 175	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) e. CC )
177	176	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) e. CC )
178	169, 177	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. CC )
179	178	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. CC )
180	179	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> A. x e. ( A (,) B ) ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. CC )
181		dmmptg 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( A (,) B ) ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. CC -> dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( A (,) B ) )
182	180, 181	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( A (,) B ) )
183	168, 182	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> z e. ( A (,) B ) )
184	183	ad4ant14 1293	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> z e. ( A (,) B ) )
185		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) )
186		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
187	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( cos ` ( R x. x ) ) = ( cos ` ( R x. z ) ) )
188	187	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) )
189	188	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) )
190	186, 189	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) )
191	190	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ x = z ) -> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) )
192	33	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
193	105	coscld 14861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( R x. z ) ) e. CC )
194	164	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R =/= 0 )
195	193, 103, 194	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) e. CC )
196	195	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) e. CC )
197	192, 196	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) e. CC )
198	185, 191, 99, 197	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) = ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) )
199	198	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) )
200	199	ad4ant14 1293	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) )
201	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) -> G : ( A (,) B ) --> CC )
202	201	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
203	202	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
204		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> y e. RR )
205	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R e. CC )
206	104	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. CC )
207	205, 206	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( R x. z ) e. CC )
208	207	coscld 14861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( R x. z ) ) e. CC )
209	164	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R =/= 0 )
210	208, 205, 209	divcld 10801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) e. CC )
211	210	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) e. CC )
212	211	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) e. RR )
213	15	rprecred 11883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / R ) e. RR )
214	213	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / R ) e. RR )
215	202	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) )
216	211	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) )
217	186	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( abs ` ( G ` x ) ) = ( abs ` ( G ` z ) ) )
218	217	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
219	218	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y )
220	219	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y )
221	195	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) = ( abs ` ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) )
222	193, 103, 194	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) = ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / ( abs ` R ) ) )
223	15	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ R )
224	16, 223	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` R ) = R )
225	224	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / ( abs ` R ) ) = ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / R ) )
226	225	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / ( abs ` R ) ) = ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / R ) )
227	221, 222, 226	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) = ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / R ) )
228	193	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) e. RR )
229	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R e. RR+ )
230		abscosbd 39490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R x. z ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) <_ 1 )
231	135, 230	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) <_ 1 )
232	228, 129, 229, 231	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / R ) <_ ( 1 / R ) )
233	227, 232	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) <_ ( 1 / R ) )
234	233	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) <_ ( 1 / R ) )
235	203, 204, 212, 214, 215, 216, 220, 234	lemul12ad 10966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) x. ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) <_ ( y x. ( 1 / R ) ) )
236	192, 196	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) = ( ( abs ` ( G ` z ) ) x. ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) )
237	236	ad4ant14 1293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) = ( ( abs ` ( G ` z ) ) x. ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) )
238	204	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> y e. CC )
239	238, 205, 209	divrecd 10804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( y / R ) = ( y x. ( 1 / R ) ) )
240	235, 237, 239	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) <_ ( y / R ) )
241	200, 240	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) )
242	184, 241	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) )
243	242	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) -> A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) )
244		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( w = ( y / R ) -> ( ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ w <-> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) ) )
245	244	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( w = ( y / R ) -> ( A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ w <-> A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) ) )
246	245	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( y / R ) e. RR /\ A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) ) -> E. w e. RR A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ w )
247	167, 243, 246	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) -> E. w e. RR A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ w )
248		fourierdlem39.gbd	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y )
249	247, 248	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ph -> E. w e. RR A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ w )
250	46, 50, 161, 249	cnbdibl 40178	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) e. L^1 )
251	8	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( RR _D F ) )
252		fourierdlem39.g	. . . . 5 |- G = ( RR _D F )
253	252	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( RR _D F ) = G
254	253	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D F ) = G )
255	251, 254, 34	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
256		reelprrecn 10028	. . . . 5 |- RR e. { RR , CC }
257	256	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
258	17	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R e. CC )
259		recn 10026	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. CC )
260	259	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
261	258, 260	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( R x. x ) e. CC )
262	261	coscld 14861	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( cos ` ( R x. x ) ) e. CC )
263	164	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R =/= 0 )
264	262, 258, 263	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) e. CC )
265	264	negcld 10379	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) e. CC )
266	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R e. RR )
267		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR )
268	266, 267	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( R x. x ) e. RR )
269	268	resincld 14873	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( R x. x ) ) e. RR )
270	269	renegcld 10457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` ( R x. x ) ) e. RR )
271	270, 266	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) e. RR )
272	271, 266, 263	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) e. RR )
273	272	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) e. RR )
274		recoscl 14871	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( cos ` y ) e. RR )
275	274	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( cos ` y ) e. RR )
276	275	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( cos ` y ) e. CC )
277		resincl 14870	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( sin ` y ) e. RR )
278	277	renegcld 10457	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> -u ( sin ` y ) e. RR )
279	278	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> -u ( sin ` y ) e. RR )
280		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. RR )
281	257	dvmptid 23720	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> x ) ) = ( x e. RR |-> 1 ) )
282	257, 260, 280, 281, 17	dvmptcmul 23727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( R x. x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( R x. 1 ) ) )
283	258	mulid1d 10057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( R x. 1 ) = R )
284	283	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( R x. 1 ) ) = ( x e. RR |-> R ) )
285	282, 284	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( R x. x ) ) ) = ( x e. RR |-> R ) )
286		dvcosre 40126	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( y e. RR |-> ( cos ` y ) ) ) = ( y e. RR |-> -u ( sin ` y ) )
287	286	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( cos ` y ) ) ) = ( y e. RR |-> -u ( sin ` y ) ) )
288		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = ( R x. x ) -> ( cos ` y ) = ( cos ` ( R x. x ) ) )
289		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = ( R x. x ) -> ( sin ` y ) = ( sin ` ( R x. x ) ) )
290	289	negeqd 10275	. . . . . . 7 |- ( y = ( R x. x ) -> -u ( sin ` y ) = -u ( sin ` ( R x. x ) ) )
291	257, 257, 268, 266, 276, 279, 285, 287, 288, 290	dvmptco 23735	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` ( R x. x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) ) )
292	257, 262, 271, 291, 17, 164	dvmptdivc 23728	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) )
293	257, 264, 272, 292	dvmptneg 23729	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) )
294		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
295	294	tgioo2 22606	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
296		iccntr 22624	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
297	1, 2, 296	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
298	257, 265, 273, 293, 12, 295, 294, 297	dvmptres2 23725	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A [,] B ) |-> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) )
299	80, 170	mulneg1d 10483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) = -u ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) )
300	299	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = ( -u ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) )
301	80, 170	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) e. CC )
302	301, 170, 175	divnegd 10814	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = ( -u ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) )
303	300, 302	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = -u ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) )
304	303	negeqd 10275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = -u -u ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) )
305	301, 170, 175	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) e. CC )
306	305	negnegd 10383	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -u -u ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) )
307	80, 170, 175	divcan4d 10807	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = ( sin ` ( R x. x ) ) )
308	304, 306, 307	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = ( sin ` ( R x. x ) ) )
309	308	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( R x. x ) ) ) )
310	298, 309	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A [,] B ) |-> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( R x. x ) ) ) )
311		fveq2 6191	. . . 4 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
312		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( R x. x ) = ( R x. A ) )
313	312	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( cos ` ( R x. x ) ) = ( cos ` ( R x. A ) ) )
314	313	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) )
315	314	negeqd 10275	. . . 4 |- ( x = A -> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = -u ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) )
316	311, 315	oveq12d 6668	. . 3 |- ( x = A -> ( ( F ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( F ` A ) x. -u ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) ) )
317	316	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ( F ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( F ` A ) x. -u ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) ) )
318		fveq2 6191	. . . 4 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
319		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( R x. x ) = ( R x. B ) )
320	319	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( cos ` ( R x. x ) ) = ( cos ` ( R x. B ) ) )
321	320	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) )
322	321	negeqd 10275	. . . 4 |- ( x = B -> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = -u ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) )
323	318, 322	oveq12d 6668	. . 3 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( F ` B ) x. -u ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) ) )
324	323	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ x = B ) -> ( ( F ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( F ` B ) x. -u ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) ) )
325	1, 2, 3, 9, 30, 36, 44, 156, 250, 255, 310, 317, 324	itgparts 23810	1 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) _d x = ( ( ( ( F ` B ) x. -u ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) ) - ( ( F ` A ) x. -u ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) ) ) - S. ( A (,) B ) ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   sincsin 14794   cosccos 14795   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   S.citg 23387   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  40396