itgexpif - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem itgexpif 30684

Description: The basis for the circle method in the form of trigonometric sums. Proposition of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
itgexpif

Distinct variable group:

Proof of Theorem itgexpif Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
2	1	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
3	2	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
4		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16
5		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . 16
6	4, 5	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15
7	6	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . 14
8	7	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
10		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . 14
11		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . 15
12		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	11, 12	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . 14
14	10, 13	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	mul01i 10226	. . . . . . . . . . . 12
16	9, 15	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11
17	16	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
18		ef0 14821	. . . . . . . . . 10
19	17, 18	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
20	3, 19	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 $/\$
21	20	ralrimiva 2966	. . . . . . 7
22		itgeq2 23544	. . . . . . 7
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6
24		ioombl 23333	. . . . . . . 8
25		0re 10040	. . . . . . . . 9
26		1re 10039	. . . . . . . . 9
27		ioovolcl 23338	. . . . . . . . 9 $/\$
28	25, 26, 27	mp2an 708	. . . . . . . 8
29		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8
30		itgconst 23585	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31	24, 28, 29, 30	mp3an 1424	. . . . . . 7
32		0le1 10551	. . . . . . . . . 10
33		volioo 23337	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
34	25, 26, 32, 33	mp3an 1424	. . . . . . . . 9
35	29	subid1i 10353	. . . . . . . . 9
36	34, 35	eqtri 2644	. . . . . . . 8
37	36	oveq2i 6661	. . . . . . 7
38	29	mulid1i 10042	. . . . . . 7
39	31, 37, 38	3eqtri 2648	. . . . . 6
40	23, 39	syl6eq 2672	. . . . 5
41	40	adantl 482	. . . 4 $/\$
42	41	eqcomd 2628	. . 3 $/\$
43		ioomax 12248	. . . . . . 7
44	43	eqcomi 2631	. . . . . 6
45		0red 10041	. . . . . 6 $/\$
46		1red 10055	. . . . . 6 $/\$
47	32	a1i 11	. . . . . 6 $/\$
48	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	48	sselda 3603	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
51		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
52	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
53	51, 52	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
54	50, 53	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
55		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
56	55	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
57	54, 56	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
60	58, 59	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
61	60	efcld 30669	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	49, 61	syldan 487	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
63	57	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
64		ine0 10465	. . . . . . . . . . . 12
65		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . 13
66		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . 14
67	25, 66	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . 13
68	11, 12, 65, 67	mulne0i 10670	. . . . . . . . . . . 12
69	10, 13, 64, 68	mulne0i 10670	. . . . . . . . . . 11
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
71		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$
72	71	neqned 2801	. . . . . . . . . 10 $/\$
73	54, 56, 70, 72	mulne0d 10679	. . . . . . . . 9 $/\$
74	73	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
75	62, 63, 74	divcld 10801	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
76		eqid 2622	. . . . . . 7
77	75, 76	fmptd 6385	. . . . . 6 $/\$
78		reelprrecn 10028	. . . . . . . . . 10
79	78	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
80		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . 10
81	80	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
82	63, 49	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
83		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	83	efcld 30669	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
85	57	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
86	73	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
87	84, 85, 86	divcld 10801	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
89	79	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . 11 $/\$
90	79, 49, 88, 89, 57	dvmptcmul 23727	. . . . . . . . . 10 $/\$
91	63	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	91	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	90, 92	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$
94		dvef 23743	. . . . . . . . . . 11
95		eff 14812	. . . . . . . . . . . . . 14
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	96	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	94, 98, 97	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . 10 $/\$
100	81, 84, 84, 99, 57, 73	dvmptdivc 23728	. . . . . . . . 9 $/\$
101		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
103	79, 81, 82, 63, 87, 87, 93, 100, 102, 102	dvmptco 23735	. . . . . . . 8 $/\$
104	62, 63, 74	divcan1d 10802	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
105	104	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 $/\$
106	103, 105	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
107		efcn 24197	. . . . . . . . 9
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
109		resmpt 5449	. . . . . . . . . 10
110	5, 109	mp1i 13	. . . . . . . . 9 $/\$
111		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
112	111	mulc1cncf 22708	. . . . . . . . . . 11
113	57, 112	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
114		rescncf 22700	. . . . . . . . . . 11
115	5, 114	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 $/\$
116	113, 115	mpd 15	. . . . . . . . 9 $/\$
117	110, 116	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 $/\$
118	108, 117	cncfmpt1f 22716	. . . . . . 7 $/\$
119	106, 118	eqeltrd 2701	. . . . . 6 $/\$
120	44, 45, 46, 47, 77, 119	ftc2re 30676	. . . . 5 $/\$
121	4	sseli 3599	. . . . . . . 8
122	106	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
123	122	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
124		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
125	124	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
126	125	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
128	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
129	48	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
130	128, 129	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
131	130	efcld 30669	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
132	127, 131	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
133	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
134	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
135	133, 134, 129	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
136	135	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
137	132, 136	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
138	123, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
139	121, 138	sylan2 491	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
140	139	ralrimiva 2966	. . . . . 6 $/\$
141		itgeq2 23544	. . . . . 6
142	140, 141	syl 17	. . . . 5 $/\$
143		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 $/\$
144		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
146	145	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
147	146	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
148	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
149	57, 148	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 $/\$
150	149	efcld 30669	. . . . . . . . . 10 $/\$
151	150, 57, 73	divcld 10801	. . . . . . . . 9 $/\$
152	143, 147, 46, 151	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 $/\$
153	57	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 $/\$
154	153	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$
155		ef2kpi 24230	. . . . . . . . . . 11
156	55, 155	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
157	154, 156	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$
158	157	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$
159	152, 158	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
160		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
161	160	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
162	161	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
163	162	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
164	5, 45	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
165	57, 164	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 $/\$
166	165	efcld 30669	. . . . . . . . . 10 $/\$
167	166, 57, 73	divcld 10801	. . . . . . . . 9 $/\$
168	143, 163, 45, 167	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 $/\$
169	57	mul01d 10235	. . . . . . . . . . 11 $/\$
170	169	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$
171	170, 18	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 $/\$
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$
173	168, 172	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
174	159, 173	oveq12d 6668	. . . . . 6 $/\$
175	158, 151	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 $/\$
176	175	subidd 10380	. . . . . 6 $/\$
177	174, 176	eqtrd 2656	. . . . 5 $/\$
178	120, 142, 177	3eqtr3d 2664	. . . 4 $/\$
179	178	eqcomd 2628	. . 3 $/\$
180	42, 179	ifeqda 4121	. 2
181	180	eqcomd 2628	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wss 3574

cif 4086

cpr 4179 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

cres 5116

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

cmul 9941

cpnf 10071

cmnf 10072

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

c2 11070

cz 11377

cioo 12175

ce 14792

cpi 14797

ccncf 22679

cvol 23232

citg 23387

cdv 23627

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390 df-ibl 23391 df-itg 23392 df-0p 23437 df-limc 23630 df-dv 23631

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