Theorem fourierdlem16 40340

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem16.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem16.c	|- C = ( -u pi (,) pi )
fourierdlem16.fibl	|- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 )
fourierdlem16.a	|- A = ( n e. NN0 |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem16.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem16	|- ( ph -> ( ( ( A ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )

Distinct variable groups:   C, n, x   n, F, x   n, N, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   A( x, n)

Proof of Theorem fourierdlem16

Dummy variables b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem16.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> F : RR --> RR )
3		ioossre 12235	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi (,) pi ) C_ RR
4		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. C -> x e. C )
5		fourierdlem16.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( -u pi (,) pi )
6	4, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. C -> x e. ( -u pi (,) pi ) )
7	3, 6	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. C -> x e. RR )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. RR )
9	2, 8	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR )
10	9	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR )
11		nn0re 11301	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> n e. RR )
13	7	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> x e. RR )
14	12, 13	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( n x. x ) e. RR )
15	14	recoscld 14874	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
16	15	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
17	10, 16	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. RR )
18		ioombl 23333	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi (,) pi ) e. dom vol
19	5, 18	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- C e. dom vol
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> C e. dom vol )
21		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
22		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
23	20, 16, 10, 21, 22	offval2 6914	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) )
24	16	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. CC )
25	10	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. CC )
26	24, 25	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) = ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
27	26	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) )
28	23, 27	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) = ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) )
29		coscn 24199	. . . . . . . . . . . 12 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
31	5, 3	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C C_ RR
32		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
33	31, 32	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C C_ CC
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> C C_ CC )
35	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> n e. CC )
36		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> CC C_ CC )
38	34, 35, 37	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> n ) e. ( C -cn-> CC ) )
39		cncfmptid 22715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) )
40	33, 36, 39	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) )
42	38, 41	mulcncf 23215	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( n x. x ) ) e. ( C -cn-> CC ) )
43	30, 42	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) )
44		cnmbf 23426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. dom vol /\ ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
45	19, 43, 44	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
46	45	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
47	1	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) )
48	47	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` C ) = ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) )
49		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C C_ RR -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
50	31, 49	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
51	48, 50	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( F |` C ) )
52		fourierdlem16.fibl	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 )
53	51, 52	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
54	53	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
55		1re 10039	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
57		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x n e. NN0
58		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
59	58	nfdm 5367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
60	59	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
61	57, 60	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
62	15	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR ) )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( x e. C -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR ) )
64	61, 63	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> A. x e. C ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
65		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. C ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR -> dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = C )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = C )
67	56, 66	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. C )
68		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
69		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( n x. x ) = ( n x. y ) )
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) /\ x = y ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
72		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. C )
73	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> n e. RR )
74	31, 72	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. RR )
75	73, 74	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( n x. y ) e. RR )
76	75	recoscld 14874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( cos ` ( n x. y ) ) e. RR )
77	68, 71, 72, 76	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) = ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) )
79		abscosbd 39490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n x. y ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 )
80	75, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 )
81	78, 80	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
82	67, 81	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
83	82	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
84		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = 1 -> ( ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) )
85	84	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = 1 -> ( A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) )
86	85	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
87	55, 83, 86	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
88	87	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
89		bddmulibl 23605	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 /\ E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
90	46, 54, 88, 89	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
91	28, 90	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) e. L^1 )
92	17, 91	itgrecl 23564	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR )
93		pire 24210	. . . . . 6 |- pi e. RR
94	93	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> pi e. RR )
95		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
96		pipos 24212	. . . . . . 7 |- 0 < pi
97	95, 96	gtneii 10149	. . . . . 6 |- pi =/= 0
98	97	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> pi =/= 0 )
99	92, 94, 98	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) e. RR )
100		fourierdlem16.a	. . . 4 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
101	99, 100	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> A : NN0 --> RR )
102		fourierdlem16.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
103	101, 102	ffvelrnd 6360	. 2 |- ( ph -> ( A ` N ) e. RR )
104	102	ancli 574	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ N e. NN0 ) )
105		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( n e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
106	105	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( n = N -> ( ( ph /\ n e. NN0 ) <-> ( ph /\ N e. NN0 ) ) )
107		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> n = N )
108	107	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( n x. x ) = ( N x. x ) )
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( N x. x ) ) )
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
111	110	itgeq2dv 23548	. . . . . 6 |- ( n = N -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x = S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
112	111	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( n = N -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR <-> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )
113	106, 112	imbi12d 334	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR ) <-> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) ) )
114	113, 92	vtoclg 3266	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )
115	102, 104, 114	sylc 65	. 2 |- ( ph -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR )
116	103, 53, 115	jca31 557	1 |- ( ph -> ( ( ( A ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NN0cn0 11292   (,)cioo 12175   abscabs 13974   cosccos 14795   picpi 14797   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

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