Theorem taylthlem2 24128

Description: Lemma for taylth 24129. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylth.f	|- ( ph -> F : A --> RR )
taylth.a	|- ( ph -> A C_ RR )
taylth.d	|- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` N ) = A )
taylth.n	|- ( ph -> N e. NN )
taylth.b	|- ( ph -> B e. A )
taylth.t	|- T = ( N ( RR Tayl F ) B )
taylthlem2.m	|- ( ph -> M e. ( 1..^ N ) )
taylthlem2.i	|- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ M ) ) ) lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
taylthlem2	|- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, M   x, T   x, N   ph, x

Proof of Theorem taylthlem2

Dummy variables y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylth.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
2		taylth.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A --> RR )
3		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
4		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
6		taylthlem2.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( 1..^ N ) )
7		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 1..^ N ) -> ( M + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
9	5, 8	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
10		fznn0sub2 12446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N - ( M + 1 ) ) e. ( 0 ... N ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - ( M + 1 ) ) e. ( 0 ... N ) )
12		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - ( M + 1 ) ) e. ( 0 ... N ) -> ( N - ( M + 1 ) ) e. NN0 )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - ( M + 1 ) ) e. NN0 )
14		dvnfre 23715	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> RR /\ A C_ RR /\ ( N - ( M + 1 ) ) e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) --> RR )
15	2, 1, 13, 14	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) --> RR )
16		reelprrecn 10028	. . . . . . . . . . . 12 |- RR e. { RR , CC }
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
18		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
20		reex 10027	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. _V )
22		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
23		fss 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : A --> CC )
24	2, 22, 23	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> CC )
25		elpm2r 7875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC e. _V /\ RR e. _V ) /\ ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
26	19, 21, 24, 1, 25	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
27		dvnbss 23691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( N - ( M + 1 ) ) e. NN0 ) -> dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) C_ dom F )
28	17, 26, 13, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) C_ dom F )
29		fdm 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> RR -> dom F = A )
30	2, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom F = A )
31	28, 30	sseqtrd 3641	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) C_ A )
32		taylth.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` N ) = A )
33		dvn2bss 23693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( N - ( M + 1 ) ) e. ( 0 ... N ) ) -> dom ( ( RR Dn F ) ` N ) C_ dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) )
34	17, 26, 11, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` N ) C_ dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) )
35	32, 34	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) )
36	31, 35	eqssd 3620	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) = A )
37	36	feq2d 6031	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) --> RR <-> ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : A --> RR ) )
38	15, 37	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : A --> RR )
39	38	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) e. RR )
40	1	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. RR )
41		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) |` RR ) ` y ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) |` RR ) ` y ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) )
43		resubdrg 19954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
44	43	simpli 474	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. (SubRing ` ℂfld ) )
46		taylth.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
47	46	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN0 )
48		taylth.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. A )
49	48, 32	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. dom ( ( RR Dn F ) ` N ) )
50		taylth.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( N ( RR Tayl F ) B )
51	1, 48	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
52	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> F : A --> RR )
53	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A C_ RR )
54		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
56		dvnfre 23715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : A --> RR /\ A C_ RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` k ) : dom ( ( RR Dn F ) ` k ) --> RR )
57	52, 53, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` k ) : dom ( ( RR Dn F ) ` k ) --> RR )
58	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
59	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
61		dvn2bss 23693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( RR e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm RR ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> dom ( ( RR Dn F ) ` N ) C_ dom ( ( RR Dn F ) ` k ) )
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> dom ( ( RR Dn F ) ` N ) C_ dom ( ( RR Dn F ) ` k ) )
63	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B e. dom ( ( RR Dn F ) ` N ) )
64	62, 63	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B e. dom ( ( RR Dn F ) ` k ) )
65	57, 64	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` k ) ` B ) e. RR )
66		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
67	55, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
68	65, 67	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
69	17, 24, 1, 47, 49, 50, 45, 51, 68	taylply2 24122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T e. (Poly ` RR ) /\ (deg ` T ) <_ N ) )
70	69	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T e. (Poly ` RR ) )
71		dvnply2 24042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ T e. (Poly ` RR ) /\ ( N - ( M + 1 ) ) e. NN0 ) -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) e. (Poly ` RR ) )
72	45, 70, 13, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) e. (Poly ` RR ) )
73		plyreres 24038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) e. (Poly ` RR ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) |` RR ) : RR --> RR )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) |` RR ) : RR --> RR )
75	74	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) |` RR ) ` y ) e. RR )
76	42, 75	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) e. RR )
77	40, 76	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) e. RR )
78	39, 77	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) e. RR )
79		eqid 2622	. . . 4 |- ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) )
80	78, 79	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) : A --> RR )
81	51	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> B e. RR )
82	40, 81	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y - B ) e. RR )
83		elfzouz 12474	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 1..^ N ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
84	6, 83	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
85		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
86	84, 85	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
87	86	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
88	87	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> M e. NN0 )
89		1nn0 11308	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
90	89	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> 1 e. NN0 )
91	88, 90	nn0addcld 11355	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( M + 1 ) e. NN0 )
92	82, 91	reexpcld 13025	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
93		eqid 2622	. . . 4 |- ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
94	92, 93	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) : A --> RR )
95		retop 22565	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
96		uniretop 22566	. . . . . . 7 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
97	96	ntrss2 20861	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ A C_ RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) C_ A )
98	95, 1, 97	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) C_ A )
99	46	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
100	86	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
101		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
102	99, 100, 101	nppcan2d 10418	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N - ( M + 1 ) ) + 1 ) = ( N - M ) )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( ( N - ( M + 1 ) ) + 1 ) ) = ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) )
104	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
105		dvnp1 23688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR C_ CC /\ F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( N - ( M + 1 ) ) e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( ( N - ( M + 1 ) ) + 1 ) ) = ( RR _D ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) )
106	104, 26, 13, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( ( N - ( M + 1 ) ) + 1 ) ) = ( RR _D ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) )
107	103, 106	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) = ( RR _D ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) )
108	107	dmeqd 5326	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) = dom ( RR _D ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) )
109		fzonnsub 12493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 1..^ N ) -> ( N - M ) e. NN )
110	6, 109	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N - M ) e. NN )
111	110	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - M ) e. NN0 )
112		dvnbss 23691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) C_ dom F )
113	17, 26, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) C_ dom F )
114	113, 30	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) C_ A )
115		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 1..^ N ) -> M e. ( 1 ... N ) )
116	6, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( 1 ... N ) )
117	5, 116	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( 0 ... N ) )
118		fznn0sub2 12446	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N - M ) e. ( 0 ... N ) )
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - M ) e. ( 0 ... N ) )
120		dvn2bss 23693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( N - M ) e. ( 0 ... N ) ) -> dom ( ( RR Dn F ) ` N ) C_ dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) )
121	17, 26, 119, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` N ) C_ dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) )
122	32, 121	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) )
123	114, 122	eqssd 3620	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) = A )
124	108, 123	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( RR _D ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) = A )
125		fss 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : A --> CC )
126	38, 22, 125	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : A --> CC )
127		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
128	127	tgioo2 22606	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
129	104, 126, 1, 128, 127	dvbssntr 23664	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( RR _D ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) C_ ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) )
130	124, 129	eqsstr3d 3640	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) )
131	98, 130	eqssd 3620	. . . 4 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) = A )
132	96	isopn3 20870	. . . . 5 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ A C_ RR ) -> ( A e. ( topGen ` ran (,) ) <-> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) = A ) )
133	95, 1, 132	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. ( topGen ` ran (,) ) <-> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) = A ) )
134	131, 133	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> A e. ( topGen ` ran (,) ) )
135		eqid 2622	. . 3 |- ( A \ { B } ) = ( A \ { B } )
136		difss 3737	. . . 4 |- ( A \ { B } ) C_ A
137	39	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) e. CC )
138		dvnf 23690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) : dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) --> CC )
139	17, 26, 111, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) : dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) --> CC )
140	123	feq2d 6031	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) : dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) --> CC <-> ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) : A --> CC ) )
141	139, 140	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) : A --> CC )
142	141	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) e. CC )
143		dvnfre 23715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> RR /\ A C_ RR /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) : dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) --> RR )
144	2, 1, 111, 143	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) : dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) --> RR )
145	123	feq2d 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) : dom ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) --> RR <-> ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) : A --> RR ) )
146	144, 145	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) : A --> RR )
147	146	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) )
148	38	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) )
149	148	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) = ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) )
150	107, 147, 149	3eqtr3rd 2665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) )
151	77	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) e. CC )
152		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) e. _V )
153	76	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) e. CC )
154		recn 10026	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> y e. CC )
155		dvnply2 24042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ T e. (Poly ` RR ) /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) e. (Poly ` RR ) )
156	45, 70, 111, 155	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) e. (Poly ` RR ) )
157		plyf 23954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) e. (Poly ` RR ) -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) : CC --> CC )
158	156, 157	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) : CC --> CC )
159	158	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) e. CC )
160	154, 159	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) e. CC )
161	127	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
162		toponmax 20730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
163	161, 162	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
164		df-ss 3588	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ CC <-> ( RR i^i CC ) = RR )
165	104, 164	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR i^i CC ) = RR )
166		plyf 23954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) e. (Poly ` RR ) -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : CC --> CC )
167	72, 166	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : CC --> CC )
168	167	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) e. CC )
169	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( ( N - ( M + 1 ) ) + 1 ) ) = ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) )
170		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC C_ CC )
172		mapsspm 7891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC ^m CC ) C_ ( CC ^pm CC )
173		plyf 23954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T e. (Poly ` RR ) -> T : CC --> CC )
174	70, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T : CC --> CC )
175	18, 18	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T e. ( CC ^m CC ) <-> T : CC --> CC )
176	174, 175	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. ( CC ^m CC ) )
177	172, 176	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. ( CC ^pm CC ) )
178		dvnp1 23688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( CC C_ CC /\ T e. ( CC ^pm CC ) /\ ( N - ( M + 1 ) ) e. NN0 ) -> ( ( CC Dn T ) ` ( ( N - ( M + 1 ) ) + 1 ) ) = ( CC _D ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) )
179	171, 177, 13, 178	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( ( N - ( M + 1 ) ) + 1 ) ) = ( CC _D ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) )
180	169, 179	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) = ( CC _D ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) )
181	158	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) = ( y e. CC |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) )
182	167	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) )
183	182	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) = ( CC _D ( y e. CC |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) )
184	180, 181, 183	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) )
185	127, 17, 163, 165, 168, 159, 184	dvmptres3 23719	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) = ( y e. RR |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) )
186	17, 153, 160, 185, 1, 128, 127, 134	dvmptres 23726	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) )
187	17, 137, 142, 150, 151, 152, 186	dvmptsub 23730	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) ) )
188	187	dmeqd 5326	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) = dom ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) ) )
189		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) e. _V
190		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) )
191	189, 190	dmmpti 6023	. . . . 5 |- dom ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) ) = A
192	188, 191	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) = A )
193	136, 192	syl5sseqr 3654	. . 3 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ dom ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) )
194		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> y e. CC )
195	51	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> B e. RR )
196	195	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> B e. CC )
197	194, 196	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( y - B ) e. CC )
198	87	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> M e. NN0 )
199	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> 1 e. NN0 )
200	198, 199	nn0addcld 11355	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( M + 1 ) e. NN0 )
201	197, 200	expcld 13008	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
202	154, 201	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
203	100	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> M e. CC )
204		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> 1 e. CC )
205	203, 204	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( M + 1 ) e. CC )
206	197, 198	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( y - B ) ^ M ) e. CC )
207	205, 206	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) e. CC )
208	154, 207	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) e. CC )
209	18	prid2 4298	. . . . . . . . . . 11 |- CC e. { RR , CC }
210	209	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
211		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> x e. CC )
212		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M + 1 ) e. ( 1 ... N ) -> ( M + 1 ) e. NN )
213	8, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
214	213	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
215	214	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( M + 1 ) e. NN0 )
216	211, 215	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
217		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( M + 1 ) x. ( x ^ M ) ) e. _V )
218	210	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) = ( y e. CC |-> 1 ) )
219		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> 0 e. CC )
220	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. CC )
221	210, 220	dvmptc 23721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> B ) ) = ( y e. CC |-> 0 ) )
222	210, 194, 204, 218, 196, 219, 221	dvmptsub 23730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( y - B ) ) ) = ( y e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
223		1m0e1 11131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 - 0 ) = 1
224	223	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( y e. CC |-> 1 )
225	222, 224	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( y - B ) ) ) = ( y e. CC |-> 1 ) )
226		dvexp 23716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( M + 1 ) x. ( x ^ ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
227	213, 226	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( M + 1 ) x. ( x ^ ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
228	100, 101	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
229	228	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x ^ ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( x ^ M ) )
230	229	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. ( x ^ ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( M + 1 ) x. ( x ^ M ) ) )
231	230	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( M + 1 ) x. ( x ^ ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( M + 1 ) x. ( x ^ M ) ) ) )
232	227, 231	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( M + 1 ) x. ( x ^ M ) ) ) )
233		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y - B ) -> ( x ^ ( M + 1 ) ) = ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
234		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y - B ) -> ( x ^ M ) = ( ( y - B ) ^ M ) )
235	234	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y - B ) -> ( ( M + 1 ) x. ( x ^ M ) ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) )
236	210, 210, 197, 204, 216, 217, 225, 232, 233, 235	dvmptco 23735	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) x. 1 ) ) )
237	207	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) x. 1 ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) )
238	237	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) x. 1 ) ) = ( y e. CC |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) )
239	236, 238	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) )
240	127, 17, 163, 165, 201, 207, 239	dvmptres3 23719	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( y e. RR |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) )
241	17, 202, 208, 240, 1, 128, 127, 134	dvmptres 23726	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) )
242	241	dmeqd 5326	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) = dom ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) )
243		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) e. _V
244		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) = ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) )
245	243, 244	dmmpti 6023	. . . . 5 |- dom ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) = A
246	242, 245	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) = A )
247	136, 246	syl5sseqr 3654	. . 3 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ dom ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
248	17, 24, 1, 11, 49, 50	dvntaylp0 24126	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) = ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) )
249	248	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) - ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) ) )
250	126, 48	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) e. CC )
251	250	subidd 10380	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) - ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) ) = 0 )
252	249, 251	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) ) = 0 )
253	127	subcn 22669	. . . . . . 7 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
254	253	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
255		dvcn 23684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ dom ( RR _D ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ) = A ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
256	104, 126, 1, 124, 255	syl31anc 1329	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
257	148, 256	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
258		plycn 24017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) e. (Poly ` RR ) -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
259	72, 258	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
260	1, 22	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ CC )
261		cncfmptid 22715	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( y e. A |-> y ) e. ( A -cn-> CC ) )
262	260, 170, 261	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. A |-> y ) e. ( A -cn-> CC ) )
263	259, 262	cncfmpt1f 22716	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
264	127, 254, 257, 263	cncfmpt2f 22717	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
265		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) = ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) )
266		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) )
267	265, 266	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) ) )
268	264, 48, 267	cnmptlimc 23654	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` B ) ) e. ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) lim CC B ) )
269	252, 268	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) lim CC B ) )
270	220	subidd 10380	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B - B ) = 0 )
271	270	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B - B ) ^ ( M + 1 ) ) = ( 0 ^ ( M + 1 ) ) )
272	213	0expd 13024	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ^ ( M + 1 ) ) = 0 )
273	271, 272	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B - B ) ^ ( M + 1 ) ) = 0 )
274	260	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. CC )
275	274, 201	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
276	275, 93	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) : A --> CC )
277		dvcn 23684	. . . . . 6 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ dom ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) = A ) -> ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
278	104, 276, 1, 246, 277	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
279		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( y - B ) = ( B - B ) )
280	279	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) = ( ( B - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
281	278, 48, 280	cnmptlimc 23654	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B - B ) ^ ( M + 1 ) ) e. ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) lim CC B ) )
282	273, 281	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) lim CC B ) )
283	260	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ CC )
284	283	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> y e. CC )
285	220	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> B e. CC )
286	284, 285	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> ( y - B ) e. CC )
287		eldifsni 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( A \ { B } ) -> y =/= B )
288	287	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> y =/= B )
289	284, 285, 288	subne0d 10401	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> ( y - B ) =/= 0 )
290	213	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> ( M + 1 ) e. NN )
291	290	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
292	286, 289, 291	expne0d 13014	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) =/= 0 )
293	292	necomd 2849	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> 0 =/= ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
294	293	neneqd 2799	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> -. 0 = ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
295	294	nrexdv 3001	. . . 4 |- ( ph -> -. E. y e. ( A \ { B } ) 0 = ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
296		df-ima 5127	. . . . . 6 |- ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) " ( A \ { B } ) ) = ran ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) |` ( A \ { B } ) )
297	296	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( 0 e. ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) " ( A \ { B } ) ) <-> 0 e. ran ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) )
298		resmpt 5449	. . . . . . 7 |- ( ( A \ { B } ) C_ A -> ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) = ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) )
299	136, 298	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) = ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
300		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) e. _V
301	299, 300	elrnmpti 5376	. . . . 5 |- ( 0 e. ran ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) <-> E. y e. ( A \ { B } ) 0 = ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
302	297, 301	bitri 264	. . . 4 |- ( 0 e. ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) " ( A \ { B } ) ) <-> E. y e. ( A \ { B } ) 0 = ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
303	295, 302	sylnibr 319	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) " ( A \ { B } ) ) )
304	100	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> M e. CC )
305		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> 1 e. CC )
306	304, 305	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> ( M + 1 ) e. CC )
307	284, 206	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( y - B ) ^ M ) e. CC )
308	290	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> ( M + 1 ) =/= 0 )
309	86	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> M e. NN )
310	309	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> M e. ZZ )
311	286, 289, 310	expne0d 13014	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( y - B ) ^ M ) =/= 0 )
312	306, 307, 308, 311	mulne0d 10679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) =/= 0 )
313	312	necomd 2849	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> 0 =/= ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) )
314	313	neneqd 2799	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A \ { B } ) ) -> -. 0 = ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) )
315	314	nrexdv 3001	. . . 4 |- ( ph -> -. E. y e. ( A \ { B } ) 0 = ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) )
316	241	imaeq1d 5465	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) " ( A \ { B } ) ) = ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) " ( A \ { B } ) ) )
317		df-ima 5127	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) " ( A \ { B } ) ) = ran ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) |` ( A \ { B } ) )
318	316, 317	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) " ( A \ { B } ) ) = ran ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) )
319	318	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) " ( A \ { B } ) ) <-> 0 e. ran ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) ) )
320		resmpt 5449	. . . . . . 7 |- ( ( A \ { B } ) C_ A -> ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) = ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) )
321	136, 320	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) = ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) )
322	321, 243	elrnmpti 5376	. . . . 5 |- ( 0 e. ran ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) <-> E. y e. ( A \ { B } ) 0 = ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) )
323	319, 322	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 e. ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) " ( A \ { B } ) ) <-> E. y e. ( A \ { B } ) 0 = ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) )
324	315, 323	mtbird 315	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) " ( A \ { B } ) ) )
325		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A \ { B } ) -> x e. A )
326	141	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) e. CC )
327	325, 326	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) e. CC )
328	1	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ RR )
329	328	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> x e. RR )
330	329	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> x e. CC )
331	158	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) e. CC )
332	330, 331	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) e. CC )
333	327, 332	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) e. CC )
334	51	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> B e. RR )
335	329, 334	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( x - B ) e. RR )
336	87	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> M e. NN0 )
337	335, 336	reexpcld 13025	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( x - B ) ^ M ) e. RR )
338	337	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( x - B ) ^ M ) e. CC )
339	334	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> B e. CC )
340	330, 339	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( x - B ) e. CC )
341		eldifsni 4320	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ { B } ) -> x =/= B )
342	341	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> x =/= B )
343	330, 339, 342	subne0d 10401	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( x - B ) =/= 0 )
344	336	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> M e. ZZ )
345	340, 343, 344	expne0d 13014	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( x - B ) ^ M ) =/= 0 )
346	333, 338, 345	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ M ) ) e. CC )
347	213	nnrecred 11066	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR )
348	347	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. CC )
349	348	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. CC )
350		txtopon 21394	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
351	161, 161, 350	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
352	351	toponunii 20721	. . . . . . . 8 |- ( CC X. CC ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) )
353	352	restid 16094	. . . . . . 7 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
354	351, 353	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) )
355	354	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) ↾t ( CC X. CC ) )
356		taylthlem2.i	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ M ) ) ) lim CC B ) )
357		limcresi 23649	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) lim CC B ) C_ ( ( ( x e. A |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) lim CC B )
358		resmpt 5449	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ { B } ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) )
359	136, 358	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) )
360	359	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) lim CC B )
361	357, 360	sseqtri 3637	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) lim CC B ) C_ ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) lim CC B )
362		cncfmptc 22714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR /\ A C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. A |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) e. ( A -cn-> RR ) )
363	347, 260, 104, 362	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) e. ( A -cn-> RR ) )
364		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( 1 / ( M + 1 ) ) = ( 1 / ( M + 1 ) ) )
365	363, 48, 364	cnmptlimc 23654	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. ( ( x e. A |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) lim CC B ) )
366	361, 365	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( 1 / ( M + 1 ) ) ) lim CC B ) )
367	127	mulcn 22670	. . . . . 6 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
368		0cn 10032	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
369		opelxpi 5148	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. CC /\ ( 1 / ( M + 1 ) ) e. CC ) -> <. 0 , ( 1 / ( M + 1 ) ) >. e. ( CC X. CC ) )
370	368, 348, 369	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> <. 0 , ( 1 / ( M + 1 ) ) >. e. ( CC X. CC ) )
371	352	cncnpi 21082	. . . . . 6 |- ( ( x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) /\ <. 0 , ( 1 / ( M + 1 ) ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` <. 0 , ( 1 / ( M + 1 ) ) >. ) )
372	367, 370, 371	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> x. e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` <. 0 , ( 1 / ( M + 1 ) ) >. ) )
373	346, 349, 171, 171, 127, 355, 356, 366, 372	limccnp2 23656	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 x. ( 1 / ( M + 1 ) ) ) e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ M ) ) x. ( 1 / ( M + 1 ) ) ) ) lim CC B ) )
374	348	mul02d 10234	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 x. ( 1 / ( M + 1 ) ) ) = 0 )
375	187	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) ` x ) = ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) ) ` x ) )
376		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) = ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) )
377		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) )
378	376, 377	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) )
379		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) e. _V
380	378, 190, 379	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) )
381	325, 380	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ { B } ) -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` y ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) )
382	375, 381	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) )
383	241	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) ` x ) = ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) ` x ) )
384		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( y - B ) = ( x - B ) )
385	384	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( ( y - B ) ^ M ) = ( ( x - B ) ^ M ) )
386	385	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( x - B ) ^ M ) ) )
387		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) x. ( ( x - B ) ^ M ) ) e. _V
388	386, 244, 387	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) ` x ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( x - B ) ^ M ) ) )
389	325, 388	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ { B } ) -> ( ( y e. A |-> ( ( M + 1 ) x. ( ( y - B ) ^ M ) ) ) ` x ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( x - B ) ^ M ) ) )
390	383, 389	sylan9eq 2676	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) ` x ) = ( ( M + 1 ) x. ( ( x - B ) ^ M ) ) )
391	213	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( M + 1 ) e. NN )
392	391	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( M + 1 ) e. CC )
393	392, 338	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( M + 1 ) x. ( ( x - B ) ^ M ) ) = ( ( ( x - B ) ^ M ) x. ( M + 1 ) ) )
394	390, 393	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) ` x ) = ( ( ( x - B ) ^ M ) x. ( M + 1 ) ) )
395	382, 394	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) ` x ) / ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( ( x - B ) ^ M ) x. ( M + 1 ) ) ) )
396	391	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( M + 1 ) =/= 0 )
397	333, 338, 392, 345, 396	divdiv1d 10832	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ M ) ) / ( M + 1 ) ) = ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( ( x - B ) ^ M ) x. ( M + 1 ) ) ) )
398	346, 392, 396	divrecd 10804	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ M ) ) / ( M + 1 ) ) = ( ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ M ) ) x. ( 1 / ( M + 1 ) ) ) )
399	395, 397, 398	3eqtr2rd 2663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ M ) ) x. ( 1 / ( M + 1 ) ) ) = ( ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) ` x ) / ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) ` x ) ) )
400	399	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ M ) ) x. ( 1 / ( M + 1 ) ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) ` x ) / ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) ` x ) ) ) )
401	400	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - M ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - M ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ M ) ) x. ( 1 / ( M + 1 ) ) ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) ` x ) / ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) ` x ) ) ) lim CC B ) )
402	373, 374, 401	3eltr3d 2715	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ) ` x ) / ( ( RR _D ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) ` x ) ) ) lim CC B ) )
403	1, 80, 94, 134, 48, 135, 193, 247, 269, 282, 303, 324, 402	lhop 23779	. 2 |- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ` x ) / ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) ) lim CC B ) )
404	325	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> x e. A )
405		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) = ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) )
406		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) )
407	405, 406	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) )
408		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) e. _V
409	407, 79, 408	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) )
410	404, 409	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ` x ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) )
411	384	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) = ( ( x - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
412		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( x - B ) ^ ( M + 1 ) ) e. _V
413	411, 93, 412	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ` x ) = ( ( x - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
414	404, 413	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ` x ) = ( ( x - B ) ^ ( M + 1 ) ) )
415	410, 414	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ` x ) / ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) = ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) )
416	415	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ` x ) / ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
417	416	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( y e. A |-> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` y ) ) ) ` x ) / ( ( y e. A |-> ( ( y - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) ) lim CC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) lim CC B ) )
418	403, 417	eleqtrd 2703	1 |- ( ph -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( M + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( M + 1 ) ) ) ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   !cfa 13060   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   DivRingcdr 18747  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746  RRfldcrefld 19950   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626   _D cdv 23627   Dncdvn 23628  Polycply 23940  degcdgr 23943   Tayl ctayl 24107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-tayl 24109

This theorem is referenced by:  taylth  24129