Theorem fourierdlem58 40381

Description: The derivative of K is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem58.k	|- K = ( s e. A |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
fourierdlem58.ass	|- ( ph -> A C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem58.0nA	|- ( ph -> -. 0 e. A )
fourierdlem58.4	|- ( ph -> A e. ( topGen ` ran (,) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem58	|- ( ph -> ( RR _D K ) e. ( A -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   A, s   ph, s

Allowed substitution hint:   K( s)

Proof of Theorem fourierdlem58

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 24210	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> pi e. RR )
3	2	renegcld 10457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -u pi e. RR )
4	3, 2	iccssred 39727	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
5		fourierdlem58.ass	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( -u pi [,] pi ) )
6	5	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
7	4, 6	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. RR )
8		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> 2 e. RR )
10	7	rehalfcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( s / 2 ) e. RR )
11	10	resincld 14873	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
12	9, 11	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
13		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> 2 e. CC )
14	7	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. CC )
15	14	halfcld 11277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( s / 2 ) e. CC )
16	15	sincld 14860	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
17		2ne0 11113	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> 2 =/= 0 )
19		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = 0 <-> 0 = s )
20	19	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = 0 -> 0 = s )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. A /\ s = 0 ) -> 0 = s )
22		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. A /\ s = 0 ) -> s e. A )
23	21, 22	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. A /\ s = 0 ) -> 0 e. A )
24	23	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. A ) /\ s = 0 ) -> 0 e. A )
25		fourierdlem58.0nA	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. 0 e. A )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. A ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. A )
27	24, 26	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. s = 0 )
28	27	neqned 2801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s =/= 0 )
29		fourierdlem44 40368	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
30	6, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
31	13, 16, 18, 30	mulne0d 10679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
32	7, 12, 31	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
33		fourierdlem58.k	. . . . 5 |- K = ( s e. A |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
34	32, 33	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> K : A --> RR )
35	1	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> pi e. RR )
36	35	renegcld 10457	. . . . . 6 |- ( ph -> -u pi e. RR )
37	36, 35	iccssred 39727	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
38	5, 37	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
39		dvfre 23714	. . . 4 |- ( ( K : A --> RR /\ A C_ RR ) -> ( RR _D K ) : dom ( RR _D K ) --> RR )
40	34, 38, 39	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D K ) : dom ( RR _D K ) --> RR )
41		fourierdlem58.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. ( topGen ` ran (,) ) )
42		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. A |-> s ) = ( s e. A |-> s ) )
43		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
44	41, 7, 12, 42, 43	offval2 6914	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( s e. A |-> s ) oF / ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. A |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
45	44, 33	syl6reqr 2675	. . . . . . 7 |- ( ph -> K = ( ( s e. A |-> s ) oF / ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
46	45	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D K ) = ( RR _D ( ( s e. A |-> s ) oF / ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
47		reelprrecn 10028	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
49		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( s e. A |-> s ) = ( s e. A |-> s )
50	14, 49	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. A |-> s ) : A --> CC )
51	13, 16	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
52	31	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = 0 )
53		elsng 4191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. { 0 } <-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = 0 ) )
54	12, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. { 0 } <-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = 0 ) )
55	52, 54	mtbird 315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. { 0 } )
56	51, 55	eldifd 3585	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
57		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
58	56, 57	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : A --> ( CC \ { 0 } ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
60	59	tgioo2 22606	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
61	41, 60	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
62	48, 61	dvmptidg 40131	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. A |-> s ) ) = ( s e. A |-> 1 ) )
63		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
65	38, 64	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
66		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
67		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- CC C_ CC
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC C_ CC )
69	65, 66, 68	constcncfg 40084	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. A |-> 1 ) e. ( A -cn-> CC ) )
70	62, 69	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. A |-> s ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
71	38	resmptd 5452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` A ) = ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
72	71	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` A ) )
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` A ) ) )
74		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
75		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> 2 e. CC )
76		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR -> s e. CC )
77	76	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. CC )
78	77	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
79	75, 78	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
80	74, 79	fmpti 6383	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC )
82		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ RR
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ RR )
84	59, 60	dvres 23675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ A C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` A ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) ) )
85	64, 81, 83, 38, 84	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` A ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) ) )
86		retop 22565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
88		uniretop 22566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
89	88	isopn3 20870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ A C_ RR ) -> ( A e. ( topGen ` ran (,) ) <-> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) = A ) )
90	87, 38, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A e. ( topGen ` ran (,) ) <-> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) = A ) )
91	41, 90	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) = A )
92	91	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` A ) )
93		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( RR C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
94	63, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
95		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. CC -> s e. CC )
96		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. CC -> 2 e. CC )
97	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. CC -> 2 =/= 0 )
98	95, 96, 97	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. CC -> ( s / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. s ) )
99	98	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
100	76, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
102	101	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
103	102	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
104	94, 103	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
105	104	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) )
106		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
107		halfcn 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 / 2 ) e. CC
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
109	108, 95	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) e. CC )
110	109	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. CC -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
111	96, 110	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
112	106, 111	fmpti 6383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC
113		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
114		dvasinbx 40135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC ) -> ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
115	113, 107, 114	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
116	113, 17	recidi 10756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1 )
118	99	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. CC -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
119	117, 118	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
120		halfcl 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s e. CC -> ( s / 2 ) e. CC )
121	120	coscld 14861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. CC -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
122	121	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. CC -> ( 1 x. ( cos ` ( s / 2 ) ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
123	119, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
124	123	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
125	115, 124	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
126	125	dmeqi 5325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = dom ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
127		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. s e. CC ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC -> dom ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) = CC )
128	127, 121	mprg 2926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) = CC
129	126, 128	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = CC
130	63, 129	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
131		dvres3 23677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) )
132	47, 112, 67, 130, 131	mp4an 709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR )
133	125	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) = ( ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) |` RR )
134	105, 132, 133	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) |` RR )
135	134	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` A ) = ( ( ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) |` RR ) |` A )
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` A ) = ( ( ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) |` RR ) |` A ) )
137	38	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) |` RR ) |` A ) = ( ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) |` A ) )
138	65	resmptd 5452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) |` A ) = ( s e. A |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
139	137, 138	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( s e. CC |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) |` RR ) |` A ) = ( s e. A |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
140	92, 136, 139	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` A ) ) = ( s e. A |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
141	73, 85, 140	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. A |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
142		coscn 24199	. . . . . . . . . 10 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
144	65, 68	idcncfg 40085	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. A |-> s ) e. ( A -cn-> CC ) )
145		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. CC )
146	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
147		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
148	145, 146, 147	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
149		difssd 3738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
150	65, 148, 149	constcncfg 40084	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. A |-> 2 ) e. ( A -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
151	144, 150	divcncf 23216	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( s / 2 ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
152	143, 151	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
153	141, 152	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
154	48, 50, 58, 70, 153	dvdivcncf 40142	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( ( s e. A |-> s ) oF / ( s e. A |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
155	46, 154	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D K ) e. ( A -cn-> CC ) )
156		cncff 22696	. . . . 5 |- ( ( RR _D K ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( RR _D K ) : A --> CC )
157		fdm 6051	. . . . 5 |- ( ( RR _D K ) : A --> CC -> dom ( RR _D K ) = A )
158	155, 156, 157	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D K ) = A )
159	158	feq2d 6031	. . 3 |- ( ph -> ( ( RR _D K ) : dom ( RR _D K ) --> RR <-> ( RR _D K ) : A --> RR ) )
160	40, 159	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( RR _D K ) : A --> RR )
161		cncffvrn 22701	. . 3 |- ( ( RR C_ CC /\ ( RR _D K ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( ( RR _D K ) e. ( A -cn-> RR ) <-> ( RR _D K ) : A --> RR ) )
162	64, 155, 161	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( RR _D K ) e. ( A -cn-> RR ) <-> ( RR _D K ) : A --> RR ) )
163	160, 162	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( RR _D K ) e. ( A -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  40395