Theorem fourierdlem78 40401

Description: G is continuous when restricted on an interval not containing 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem78.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem78.a	|- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.b	|- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem78.nxelab	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem78.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem78.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem78.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem78.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem78.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem78.u	|- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem78.n	|- ( ph -> N e. RR )
fourierdlem78.s	|- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem78.g	|- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem78	|- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   F, s   N, s   W, s   X, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hints:   S( s)   U( s)   G( s)   H( s)   K( s)

Proof of Theorem fourierdlem78

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem78.g	. . . . 5 |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
3	2	reseq1d 5395	. . 3 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
4		pire 24210	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
5	4	renegcli 10342	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi e. RR )
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. RR )
8		elioore 12205	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
9	8	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
12	10, 11	iccssred 39727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
13		fourierdlem78.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
14	12, 13	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
16	5, 4	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) )
17	16	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> -u pi <_ A )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ A )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ A )
20	15	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
21		fourierdlem78.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
22	12, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
25		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
26		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi < s )
29	6, 9, 28	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ s )
30	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
31		iooltub 39735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
33	5, 4	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) )
34	33	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) -> B <_ pi )
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B <_ pi )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ pi )
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < pi )
38	9, 7, 37	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ pi )
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 39726	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
40	39	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) ) )
41	40	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
42	41	resmptd 5452	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
43	3, 42	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
44		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
45		fourierdlem78.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : RR --> RR )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
47		fourierdlem78.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. RR )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
49	48, 9	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
50	46, 49	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
51		fourierdlem78.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. RR )
52		fourierdlem78.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W e. RR )
53	51, 52	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
55	50, 54	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
56		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
57	56	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
58	57	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
59		fourierdlem78.nxelab	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
60	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
61	58, 60	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
62	61	neqned 2801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
63	55, 9, 62	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) e. RR )
64	44, 63	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR )
65		fourierdlem78.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
66	65	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
67	39, 64, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
68	67, 64	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
69		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 1 e. RR )
70		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
72	9	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
73	72	resincld 14873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
74	71, 73	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
75	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
76	73	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
77		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
79		fourierdlem44 40368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
80	39, 62, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
81	75, 76, 78, 80	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
82	9, 74, 81	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
83	69, 82	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR )
84		fourierdlem78.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
85	84	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
86	39, 83, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
87	86, 83	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
88	68, 87	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
89		fourierdlem78.u	. . . . . . . 8 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
90	89	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
91	39, 88, 90	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
92	91, 88	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
93		fourierdlem78.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> N e. RR )
95	71, 78	rereccld 10852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
96	94, 95	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
97	96, 9	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
98	97	resincld 14873	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
99		fourierdlem78.s	. . . . . . . 8 |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
100	99	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
101	39, 98, 100	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
102	101, 98	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
103	92, 102	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
104		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
105	103, 104	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
106		ax-resscn 9993	. . . . 5 |- RR C_ CC
107	106	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR C_ CC )
108	91	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) )
109	61	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
110	55	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
111	9	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
112	110, 111, 62	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
113	67, 109, 112	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
114	113	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
115	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
116	54	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
117	115, 116	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
118	117	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) )
119	118	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) )
120	14, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
121	120	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
123	22, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
124	123	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
126	14	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. CC )
127	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. CC )
128	126, 127	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) )
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) )
130	15, 9, 48, 27	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
131	129, 130	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) )
132	9, 30, 48, 32	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
133	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. CC )
134	127, 133	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) )
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) )
136	132, 135	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) )
137	122, 125, 49, 131, 136	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) )
138		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
140	139	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) )
141	140	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
142		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC )
144		fourierdlem78.fcn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
145		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) B ) C_ CC
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
147	143, 144, 146, 127, 137	fourierdlem23 40347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
148	141, 147	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
149		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
150	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
151	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
152		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A )
153	27	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
154	149, 150, 151, 152, 153	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s )
155	154	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
156	155	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y )
157	156	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) )
158	51	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u Y e. RR )
159	158	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -u Y e. CC )
160		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC C_ CC
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC C_ CC )
162	146, 159, 161	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
164	157, 163	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
165		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ph )
166	14	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
167	166	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* )
168	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* )
169		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
170		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A )
171	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR )
172		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
173	171, 172	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) )
174	170, 173	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 )
175	174	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 )
176		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 )
177		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
178	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR )
179	177, 178	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
180	176, 179	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
181	180	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
182	167, 168, 169, 175, 181	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
183	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
184	182, 183	condan 835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 )
185	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
186		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
187	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
188	32	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
189		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 )
190	185, 187, 186, 188, 189	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 )
191	185, 186, 190	ltnsymd 10186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s )
192	191	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
193	192	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W )
194	193	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) )
195	52	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. CC )
196	195	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u W e. CC )
197	146, 196, 161	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
198	197	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
199	194, 198	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
200	165, 184, 199	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
201	164, 200	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
202	148, 201	addcncf 40086	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
203	119, 202	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
204		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) )
205		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
206	204	cdivcncf 22720	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
208		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
209	61, 208	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } )
210	111, 209	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
211	210	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
212		dfss3 3592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
213	211, 212	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
214	9, 62	rereccld 10852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR )
215	214	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC )
216	204, 207, 213, 161, 215	cncfmptssg 40083	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
217	203, 216	mulcncf 23215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
218	114, 217	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
219	61	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
220	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
221	111, 220, 81	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
222	86, 219, 221	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
223	222	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
224	219, 221	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
225	224	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
226		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
227		cncfss 22702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
228	106, 160, 227	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
229	226	fourierdlem62 40385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
231	228, 230	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
232	83	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
233	226, 231, 41, 161, 232	cncfmptssg 40083	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
234	225, 233	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
235	223, 234	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
236	218, 235	mulcncf 23215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
237	108, 236	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( U ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
238	101	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( S ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
239		sincn 24198	. . . . . . . 8 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
240	239	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
241		halfre 11246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
243	93, 242	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
244	243	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
245	146, 244, 161	constcncfg 40084	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( N + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
246	146, 161	idcncfg 40085	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
247	245, 246	mulcncf 23215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
248	240, 247	cncfmpt1f 22716	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
249	238, 248	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( S ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
250	237, 249	mulcncf 23215	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
251		cncffvrn 22701	. . . 4 |- ( ( RR C_ CC /\ ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
252	107, 250, 251	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
253	105, 252	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
254	43, 253	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   sincsin 14794   picpi 14797   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem88  40411