Theorem itgcoscmulx 40185

Description: Exercise: the integral of x |-> cos a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcoscmulx.a	|- ( ph -> A e. CC )
itgcoscmulx.b	|- ( ph -> B e. RR )
itgcoscmulx.c	|- ( ph -> C e. RR )
itgcoscmulx.blec	|- ( ph -> B <_ C )
itgcoscmulx.an0	|- ( ph -> A =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
itgcoscmulx	|- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( cos ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( sin ` ( A x. C ) ) - ( sin ` ( A x. B ) ) ) / A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x

Proof of Theorem itgcoscmulx

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcoscmulx.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR )
2		itgcoscmulx.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
3	1, 2	iccssred 39727	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
4	3	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) |` ( B [,] C ) ) = ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) )
5	4	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) |` ( B [,] C ) ) )
6	5	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) |` ( B [,] C ) ) ) )
7		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ CC )
9	8	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
10		itgcoscmulx.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. CC )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A e. CC )
12		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> y e. CC )
13	11, 12	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. y ) e. CC )
14	13	sincld 14860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
15		itgcoscmulx.an0	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A =/= 0 )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A =/= 0 )
17	14, 11, 16	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) e. CC )
18	9, 17	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) e. CC )
19		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) )
20	18, 19	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) : RR --> CC )
21		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ RR )
23		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
24	23	tgioo2 22606	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
25	23, 24	dvres 23675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( B [,] C ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) |` ( B [,] C ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B [,] C ) ) ) )
26	8, 20, 22, 3, 25	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) |` ( B [,] C ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B [,] C ) ) ) )
27		reelprrecn 10028	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. { RR , CC }
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
29	9, 14	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
30	10	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A e. CC )
31	30, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A x. y ) e. CC )
32	31	coscld 14861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
33	30, 32	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
34	8	resmptd 5452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) |` RR ) = ( y e. RR |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
35	34	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) = ( ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) |` RR ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) = ( RR _D ( ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) |` RR ) ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) )
38	14, 37	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) : CC --> CC )
39		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> CC C_ CC )
41		dvsinax 40127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) )
42	10, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) )
43	42	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) = dom ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) )
44	13	coscld 14861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
45	11, 44	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
46	45	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. y e. CC ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
47		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. CC ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. CC -> dom ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = CC )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = CC )
49	43, 48	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> CC = dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
50	7, 49	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> RR C_ dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
51		dvres3 23677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) |` RR ) )
52	28, 38, 40, 50, 51	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) |` RR ) )
53	42	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) |` RR ) = ( ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) |` RR ) )
54	8	resmptd 5452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) |` RR ) = ( y e. RR |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) )
55	52, 53, 54	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) |` RR ) ) = ( y e. RR |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) )
56	36, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. RR |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) )
57	28, 29, 33, 56, 10, 15	dvmptdivc 23728	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. RR |-> ( ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) )
58		iccntr 22624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B [,] C ) ) = ( B (,) C ) )
59	1, 2, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B [,] C ) ) = ( B (,) C ) )
60	57, 59	reseq12d 5397	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B [,] C ) ) ) = ( ( y e. RR |-> ( ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) |` ( B (,) C ) ) )
61		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 |- ( B (,) C ) C_ RR
62		resmpt 5449	. . . . . . . . 9 |- ( ( B (,) C ) C_ RR -> ( ( y e. RR |-> ( ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) |` ( B (,) C ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) )
63	61, 62	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) |` ( B (,) C ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) )
64		elioore 12205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( B (,) C ) -> y e. RR )
65	64	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( B (,) C ) -> y e. CC )
66	65, 44	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( B (,) C ) ) -> ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
67	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( B (,) C ) ) -> A e. CC )
68	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( B (,) C ) ) -> A =/= 0 )
69	66, 67, 68	divcan3d 10806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( B (,) C ) ) -> ( ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( cos ` ( A x. y ) ) )
70	69	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) )
71	60, 63, 70	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( B [,] C ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) )
72	6, 26, 71	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) )
73	72	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) )
74		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( A x. y ) = ( A x. x ) )
75	74	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. x ) ) )
76	75	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) /\ y = x ) -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. x ) ) )
77		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( B (,) C ) )
78	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> A e. CC )
79	61, 8	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ CC )
80	79	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. CC )
81	78, 80	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( A x. x ) e. CC )
82	81	coscld 14861	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( cos ` ( A x. x ) ) e. CC )
83	73, 76, 77, 82	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( cos ` ( A x. x ) ) )
84	83	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( cos ` ( A x. x ) ) = ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) )
85	84	itgeq2dv 23548	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( cos ` ( A x. x ) ) _d x = S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x )
86		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) )
87		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = C -> ( A x. y ) = ( A x. C ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. C ) ) )
89	88	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) = ( ( sin ` ( A x. C ) ) / A ) )
90	89	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = C ) -> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) = ( ( sin ` ( A x. C ) ) / A ) )
91	1	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR* )
92	2	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR* )
93		itgcoscmulx.blec	. . . . . 6 |- ( ph -> B <_ C )
94		ubicc2 12289	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> C e. ( B [,] C ) )
95	91, 92, 93, 94	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ( B [,] C ) )
96	2	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. CC )
97	10, 96	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A x. C ) e. CC )
98	97	sincld 14860	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` ( A x. C ) ) e. CC )
99	98, 10, 15	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
100	86, 90, 95, 99	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) = ( ( sin ` ( A x. C ) ) / A ) )
101		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( A x. y ) = ( A x. B ) )
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. B ) ) )
103	102	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) = ( ( sin ` ( A x. B ) ) / A ) )
104	103	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) = ( ( sin ` ( A x. B ) ) / A ) )
105		lbicc2 12288	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> B e. ( B [,] C ) )
106	91, 92, 93, 105	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( B [,] C ) )
107	1	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
108	10, 107	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A x. B ) e. CC )
109	108	sincld 14860	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` ( A x. B ) ) e. CC )
110	109, 10, 15	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( A x. B ) ) / A ) e. CC )
111	86, 104, 106, 110	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) = ( ( sin ` ( A x. B ) ) / A ) )
112	100, 111	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( ( sin ` ( A x. C ) ) / A ) - ( ( sin ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
113		coscn 24199	. . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
114	113	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
115	79, 10, 40	constcncfg 40084	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> A ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
116	79, 40	idcncfg 40085	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> y ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
117	115, 116	mulcncf 23215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
118	114, 117	cncfmpt1f 22716	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
119	72, 118	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
120		ioossicc 12259	. . . . . . 7 |- ( B (,) C ) C_ ( B [,] C )
121	120	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( B [,] C ) )
122		ioombl 23333	. . . . . . 7 |- ( B (,) C ) e. dom vol
123	122	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B (,) C ) e. dom vol )
124	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> A e. CC )
125	3, 7	syl6ss 3615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ CC )
126	125	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y e. CC )
127	124, 126	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
128	127	coscld 14861	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
129	125, 10, 40	constcncfg 40084	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
130	125, 40	idcncfg 40085	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> y ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
131	129, 130	mulcncf 23215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
132	114, 131	cncfmpt1f 22716	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
133		cniccibl 23607	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ ( y e. ( B [,] C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) ) -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
134	1, 2, 132, 133	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
135	121, 123, 128, 134	iblss 23571	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
136	72, 135	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. L^1 )
137		sincn 24198	. . . . . . 7 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
138	137	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
139	138, 131	cncfmpt1f 22716	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
140		neneq 2800	. . . . . . . 8 |- ( A =/= 0 -> -. A = 0 )
141		elsni 4194	. . . . . . . . 9 |- ( A e. { 0 } -> A = 0 )
142	141	con3i 150	. . . . . . . 8 |- ( -. A = 0 -> -. A e. { 0 } )
143	15, 140, 142	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. A e. { 0 } )
144	10, 143	eldifd 3585	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( CC \ { 0 } ) )
145		difssd 3738	. . . . . 6 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
146	125, 144, 145	constcncfg 40084	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
147	139, 146	divcncf 23216	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
148	1, 2, 93, 119, 136, 147	ftc2 23807	. . 3 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) )
149	98, 109, 10, 15	divsubdird 10840	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sin ` ( A x. C ) ) - ( sin ` ( A x. B ) ) ) / A ) = ( ( ( sin ` ( A x. C ) ) / A ) - ( ( sin ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
150	112, 148, 149	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( ( sin ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( sin ` ( A x. C ) ) - ( sin ` ( A x. B ) ) ) / A ) )
151	85, 150	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( cos ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( sin ` ( A x. C ) ) - ( sin ` ( A x. B ) ) ) / A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   sincsin 14794   cosccos 14795   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  sqwvfoura  40445