Theorem itgsincmulx 40190

Description: Exercise: the integral of x |-> sin a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsincmulx.a	|- ( ph -> A e. CC )
itgsincmulx.an0	|- ( ph -> A =/= 0 )
itgsincmulx.b	|- ( ph -> B e. RR )
itgsincmulx.c	|- ( ph -> C e. RR )
itgsincmulx.blec	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
itgsincmulx	|- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x

Proof of Theorem itgsincmulx

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) )
2		itgsincmulx.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> y e. CC )
5	3, 4	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. y ) e. CC )
6	5	coscld 14861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
7	6	negcld 10379	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
8		itgsincmulx.an0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A =/= 0 )
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A =/= 0 )
10	7, 3, 9	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) e. CC )
11		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . 10 |- CC e. { RR , CC }
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
13	5	sincld 14860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
14	13	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
15	3, 14	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
16	15	negcld 10379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
17		dvcosax 40141	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
19	12, 6, 15, 18	dvmptneg 23729	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> -u ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
20	12, 7, 16, 19, 2, 8	dvmptdivc 23728	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) )
21	15, 3, 9	divnegd 10814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) )
22	21	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) )
23	14, 3, 9	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u ( sin ` ( A x. y ) ) )
24	23	negeqd 10275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u -u ( sin ` ( A x. y ) ) )
25	13	negnegd 10383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u -u ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
26	22, 24, 25	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
27	26	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
28	20, 27	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
29		itgsincmulx.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
30		itgsincmulx.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
31	1, 10, 28, 13, 29, 30	dvmptresicc 40134	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
32	31	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) )
33	32	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) )
34		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
35		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( A x. y ) = ( A x. x ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
37	36	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) /\ y = x ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
38		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( B (,) C ) )
39	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> A e. CC )
40		ioosscn 39716	. . . . . . . 8 |- ( B (,) C ) C_ CC
41	40, 38	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. CC )
42	39, 41	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( A x. x ) e. CC )
43	42	sincld 14860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) e. CC )
44	34, 37, 38, 43	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
45	33, 44	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) = ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) )
46	45	itgeq2dv 23548	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x )
47		itgsincmulx.blec	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
48		sincn 24198	. . . . . 6 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
49	48	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
50	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ CC )
51		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC C_ CC )
53	50, 2, 52	constcncfg 40084	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> A ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
54	50, 52	idcncfg 40085	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> y ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
55	53, 54	mulcncf 23215	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
56	49, 55	cncfmpt1f 22716	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
57	31, 56	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
58		ioossicc 12259	. . . . . 6 |- ( B (,) C ) C_ ( B [,] C )
59	58	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( B [,] C ) )
60		ioombl 23333	. . . . . 6 |- ( B (,) C ) e. dom vol
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) e. dom vol )
62	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> A e. CC )
63	29, 30	iccssred 39727	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
64		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
65	63, 64	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ CC )
66	65	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y e. CC )
67	62, 66	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
68	67	sincld 14860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
69	65, 2, 52	constcncfg 40084	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
70	65, 52	idcncfg 40085	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> y ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
71	69, 70	mulcncf 23215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
72	49, 71	cncfmpt1f 22716	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
73		cniccibl 23607	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) ) -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
74	29, 30, 72, 73	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
75	59, 61, 68, 74	iblss 23571	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
76	31, 75	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. L^1 )
77		coscn 24199	. . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
78	77	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
79	78, 71	cncfmpt1f 22716	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
80	79	negcncfg 40094	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> -u ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
81	8	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. A = 0 )
82		elsng 4191	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A e. { 0 } <-> A = 0 ) )
83	2, 82	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A e. { 0 } <-> A = 0 ) )
84	81, 83	mtbird 315	. . . . . 6 |- ( ph -> -. A e. { 0 } )
85	2, 84	eldifd 3585	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( CC \ { 0 } ) )
86		difssd 3738	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
87	65, 85, 86	constcncfg 40084	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
88	80, 87	divcncf 23216	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
89	29, 30, 47, 57, 76, 88	ftc2 23807	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) )
90		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) )
91		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( y = C -> ( A x. y ) = ( A x. C ) )
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( y = C -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. C ) ) )
93	92	negeqd 10275	. . . . . . . 8 |- ( y = C -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) = -u ( cos ` ( A x. C ) ) )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
95	94	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = C ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
96	29	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
97	30	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR* )
98		ubicc2 12289	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> C e. ( B [,] C ) )
99	96, 97, 47, 98	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( B [,] C ) )
100		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. _V )
101	90, 95, 99, 100	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
102		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( A x. y ) = ( A x. B ) )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. B ) ) )
104	103	negeqd 10275	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) = -u ( cos ` ( A x. B ) ) )
105	104	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
106	105	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
107		lbicc2 12288	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> B e. ( B [,] C ) )
108	96, 97, 47, 107	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( B [,] C ) )
109		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. _V )
110	90, 106, 108, 109	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
111	101, 110	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
112	29	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. CC )
113	2, 112	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. B ) e. CC )
114	113	coscld 14861	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( cos ` ( A x. B ) ) e. CC )
115	114, 2, 8	divnegd 10814	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
116	115	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) = -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
117	116	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
118	30	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
119	2, 118	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. C ) e. CC )
120	119	coscld 14861	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( cos ` ( A x. C ) ) e. CC )
121	120	negcld 10379	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( cos ` ( A x. C ) ) e. CC )
122	121, 2, 8	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
123	114, 2, 8	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. CC )
124	122, 123	subnegd 10399	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
125	111, 117, 124	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
126	122, 123	addcomd 10238	. . 3 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
127	120, 2, 8	divnegd 10814	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
128	127	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) = -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
129	128	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
130	120, 2, 8	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
131	123, 130	negsubd 10398	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
132	114, 120, 2, 8	divsubdird 10840	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
133	132	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
134	129, 131, 133	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
135	125, 126, 134	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
136	46, 89, 135	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   sincsin 14794   cosccos 14795   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  sqwvfourb  40446