Theorem dirkeritg 40319

Description: The definite integral of the Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkeritg.d	|- D = ( n e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) ) )
dirkeritg.n	|- ( ph -> N e. NN )
dirkeritg.f	|- F = ( D ` N )
dirkeritg.a	|- ( ph -> A e. RR )
dirkeritg.b	|- ( ph -> B e. RR )
dirkeritg.aleb	|- ( ph -> A <_ B )
dirkeritg.g	|- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( x / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. x ) ) / k ) ) / pi ) )

Assertion

Ref	Expression
dirkeritg	|- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( F ` x ) _d x = ( ( G ` B ) - ( G ` A ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k, x   x, F   k, N, x   ph, k   x, n

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   A( n)   B( n)   D( x, k, n)   F( k, n)   G( x, k, n)   N( n)

Proof of Theorem dirkeritg

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( x = s -> ( F ` x ) = ( F ` s ) )
2	1	cbvitgv 23543	. . 3 |- S. ( A (,) B ) ( F ` x ) _d x = S. ( A (,) B ) ( F ` s ) _d s
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( F ` x ) _d x = S. ( A (,) B ) ( F ` s ) _d s )
4		elioore 12205	. . . . . 6 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
5	4	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
6		halfre 11246	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) e. RR
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( s e. RR -> ( 1 / 2 ) e. RR )
8		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> ( 1 ... N ) e. Fin )
9		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. ZZ )
10	9	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. RR )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. RR )
12		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> s e. RR )
13	11, 12	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k x. s ) e. RR )
14	13	recoscld 14874	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( k x. s ) ) e. RR )
15	8, 14	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( s e. RR -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) e. RR )
16	7, 15	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. RR )
17		pire 24210	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( s e. RR -> pi e. RR )
19		pipos 24212	. . . . . . . . 9 |- 0 < pi
20	17, 19	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . 8 |- pi =/= 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( s e. RR -> pi =/= 0 )
22	16, 18, 21	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( s e. RR -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) e. RR )
23	5, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) e. RR )
24		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) = ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) )
25	24	fvmpt2 6291	. . . . 5 |- ( ( s e. RR /\ ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) e. RR ) -> ( ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) ` s ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) )
26	5, 23, 25	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) ` s ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) )
27		dirkeritg.d	. . . . . . . 8 |- D = ( n e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) ) )
28		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = s -> ( x mod ( 2 x. pi ) ) = ( s mod ( 2 x. pi ) ) )
29	28	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) )
30		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = s -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. x ) = ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = s -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
32		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = s -> ( x / 2 ) = ( s / 2 ) )
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = s -> ( sin ` ( x / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = s -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
35	31, 34	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
36	29, 35	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
37	36	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
38	37	mpteq2i 4741	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( ( x mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( x / 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
39	27, 38	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
40		dirkeritg.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
41		dirkeritg.f	. . . . . . 7 |- F = ( D ` N )
42	39, 40, 41, 24	dirkertrigeq 40318	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) )
43	42	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` s ) = ( ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) ` s ) )
44	43	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` s ) = ( ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) ` s ) )
45		dirkeritg.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( x / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. x ) ) / k ) ) / pi ) )
46		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = s -> ( k x. x ) = ( k x. s ) )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = s -> ( sin ` ( k x. x ) ) = ( sin ` ( k x. s ) ) )
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = s -> ( ( sin ` ( k x. x ) ) / k ) = ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) )
49	48	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. x ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) )
50	32, 49	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> ( ( x / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. x ) ) / k ) ) = ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) )
51	50	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( x = s -> ( ( ( x / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. x ) ) / k ) ) / pi ) = ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / pi ) )
52	51	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( x / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. x ) ) / k ) ) / pi ) ) = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / pi ) )
53	45, 52	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- G = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / pi ) )
54	53	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( RR _D G ) = ( RR _D ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / pi ) ) )
55		reelprrecn 10028	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
57		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> s e. CC )
58	57	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. CC )
59	9	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. CC )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. CC )
61	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> s e. CC )
62	60, 61	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k x. s ) e. CC )
63	62	sincld 14860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) e. CC )
64		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> 0 e. RR )
65		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> 1 e. RR )
66		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> 0 < 1 )
68		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ k )
69	64, 65, 10, 67, 68	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> 0 < k )
70	69	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k =/= 0 )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k =/= 0 )
72	63, 60, 71	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) e. CC )
73	8, 72	fsumcl 14464	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) e. CC )
74	58, 73	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) e. CC )
75		picn 24211	. . . . . . . . . 10 |- pi e. CC
76	75	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> pi e. CC )
77	74, 76, 21	divcld 10801	. . . . . . . 8 |- ( s e. RR -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / pi ) e. CC )
78	77	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / pi ) e. CC )
79	22	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) e. RR )
80	74	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) e. CC )
81	16	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. RR )
82	58	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( s / 2 ) e. CC )
83	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
84	57	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. CC )
85		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 1 e. RR )
86	56	dvmptid 23720	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> s ) ) = ( s e. RR |-> 1 ) )
87		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
88		2ne0 11113	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
90	56, 84, 85, 86, 87, 89	dvmptdivc 23728	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> ( s / 2 ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 1 / 2 ) ) )
91	73	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) e. CC )
92	15	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) e. RR )
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
94	93	tgioo2 22606	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
95		reopn 39501	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. ( topGen ` ran (,) )
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. ( topGen ` ran (,) ) )
97		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
98	72	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. RR ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) e. CC )
99	98	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) /\ s e. RR ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) e. CC )
100	14	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. RR ) -> ( cos ` ( k x. s ) ) e. RR )
101	100	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. RR ) -> ( cos ` ( k x. s ) ) e. CC )
102	101	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) /\ s e. RR ) -> ( cos ` ( k x. s ) ) e. CC )
103	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> RR e. { RR , CC } )
104	63	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. RR ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) e. CC )
105	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. CC ) -> k e. CC )
106		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. CC ) -> s e. CC )
107	105, 106	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. CC ) -> ( k x. s ) e. CC )
108	107	coscld 14861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. CC ) -> ( cos ` ( k x. s ) ) e. CC )
109	105, 108	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. CC ) -> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. CC )
110	57, 109	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. RR ) -> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. CC )
111		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- RR C_ CC
112		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( RR C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) )
113	111, 112	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) )
114	113	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( s e. RR |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) = ( ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) |` RR ) )
115	114	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( RR _D ( s e. RR |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) |` RR ) ) )
116	107	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. CC ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) e. CC )
117		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) = ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) )
118	116, 117	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) : CC --> CC )
119	109	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> A. s e. CC ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. CC )
120		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. s e. CC ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. CC -> dom ( s e. CC |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) = CC )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> dom ( s e. CC |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) = CC )
122	111, 121	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> RR C_ dom ( s e. CC |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) )
123		dvsinax 40127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. CC -> ( CC _D ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) )
124	59, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( CC _D ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) )
125	124	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) = dom ( s e. CC |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) )
126	122, 125	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) )
127		dvcnre 40130	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) : CC --> CC /\ RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) |` RR ) )
128	118, 126, 127	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) |` RR ) )
129	124	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( ( s e. CC |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) |` RR ) )
130		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( RR C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) )
131	111, 130	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. CC |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) )
132	129, 131	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) )
133	115, 128, 132	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( RR _D ( s e. RR |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) )
134	103, 104, 110, 133, 59, 70	dvmptdivc 23728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( RR _D ( s e. RR |-> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) ) = ( s e. RR |-> ( ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) / k ) ) )
135	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. RR ) -> k e. CC )
136	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. RR ) -> k =/= 0 )
137	101, 135, 136	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. RR ) -> ( ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) / k ) = ( cos ` ( k x. s ) ) )
138	137	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( s e. RR |-> ( ( k x. ( cos ` ( k x. s ) ) ) / k ) ) = ( s e. RR |-> ( cos ` ( k x. s ) ) ) )
139	134, 138	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( RR _D ( s e. RR |-> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) ) = ( s e. RR |-> ( cos ` ( k x. s ) ) ) )
140	139	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( RR _D ( s e. RR |-> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) ) = ( s e. RR |-> ( cos ` ( k x. s ) ) ) )
141	94, 93, 56, 96, 97, 99, 102, 140	dvmptfsum 23738	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) ) = ( s e. RR |-> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) )
142	56, 82, 83, 90, 91, 92, 141	dvmptadd 23723	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) )
143	75	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. CC )
144	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi =/= 0 )
145	56, 80, 81, 142, 143, 144	dvmptdivc 23728	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / pi ) ) ) = ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) )
146		dirkeritg.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
147		dirkeritg.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
148	146, 147	iccssred 39727	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
149		iccntr 22624	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
150	146, 147, 149	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
151	56, 78, 79, 145, 148, 94, 93, 150	dvmptres2 23725	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / pi ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) )
152	54, 151	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D G ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) )
153	152, 23	fvmpt2d 6293	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D G ) ` s ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) )
154	26, 44, 153	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` s ) = ( ( RR _D G ) ` s ) )
155	154	itgeq2dv 23548	. 2 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( F ` s ) _d s = S. ( A (,) B ) ( ( RR _D G ) ` s ) _d s )
156		dirkeritg.aleb	. . 3 |- ( ph -> A <_ B )
157		ioosscn 39716	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ CC
158	157	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
159		halfcn 11247	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. CC
160	159	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
161		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
162	161	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC C_ CC )
163	158, 160, 162	constcncfg 40084	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / 2 ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
164		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( s e. CC |-> ( cos ` ( k x. s ) ) ) = ( s e. CC |-> ( cos ` ( k x. s ) ) )
165		coscn 24199	. . . . . . . . . . 11 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
167		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC |-> ( k x. s ) ) = ( s e. CC |-> ( k x. s ) )
168	167	mulc1cncf 22708	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. CC -> ( s e. CC |-> ( k x. s ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
169	59, 168	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( s e. CC |-> ( k x. s ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
170	166, 169	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( s e. CC |-> ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
171	157	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A (,) B ) C_ CC )
172	161	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> CC C_ CC )
173	4, 101	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( 1 ... N ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( k x. s ) ) e. CC )
174	164, 170, 171, 172, 173	cncfmptssg 40083	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
175	174	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
176	158, 97, 175	fsumcncf 40091	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
177	163, 176	addcncf 40086	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
178		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( s e. CC |-> pi ) = ( s e. CC |-> pi )
179		cncfmptc 22714	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. CC /\ CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( s e. CC |-> pi ) e. ( CC -cn-> CC ) )
180	75, 161, 161, 179	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( s e. CC |-> pi ) e. ( CC -cn-> CC )
181	180	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. CC |-> pi ) e. ( CC -cn-> CC ) )
182		difssd 3738	. . . . . 6 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
183		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 |- ( pi e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( pi e. CC /\ pi =/= 0 ) )
184	75, 20, 183	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- pi e. ( CC \ { 0 } )
185	184	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. ( CC \ { 0 } ) )
186	178, 181, 158, 182, 185	cncfmptssg 40083	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> pi ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
187	177, 186	divcncf 23216	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
188	152, 187	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D G ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
189		ioossicc 12259	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
190	189	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) )
191		ioombl 23333	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) e. dom vol
192	191	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol )
193	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
194		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
195	10	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. RR )
196	148	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s e. RR )
197	196	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> s e. RR )
198	195, 197	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k x. s ) e. RR )
199	198	recoscld 14874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( k x. s ) ) e. RR )
200	194, 199	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) e. RR )
201	193, 200	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. RR )
202	17	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> pi e. RR )
203	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> pi =/= 0 )
204	201, 202, 203	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) e. RR )
205	148, 111	syl6ss 3615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
206	205, 160, 162	constcncfg 40084	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> ( 1 / 2 ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
207		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( s e. CC |-> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) = ( s e. CC |-> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) )
208	170	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( s e. CC |-> ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
209	162, 97, 208	fsumcncf 40091	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. CC |-> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
210	200	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) e. CC )
211	207, 209, 205, 162, 210	cncfmptssg 40083	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
212	206, 211	addcncf 40086	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
213	184	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. ( CC \ { 0 } ) )
214	205, 213, 182	constcncfg 40084	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> pi ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
215	212, 214	divcncf 23216	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
216		cniccibl 23607	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) e. L^1 )
217	146, 147, 215, 216	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) e. L^1 )
218	190, 192, 204, 217	iblss 23571	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) e. L^1 )
219	152, 218	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D G ) e. L^1 )
220	205, 162	idcncfg 40085	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> s ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
221		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
222		eldifsn 4317	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
223	221, 88, 222	mpbir2an 955	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ( CC \ { 0 } )
224	223	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
225	205, 224, 182	constcncfg 40084	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
226	220, 225	divcncf 23216	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> ( s / 2 ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
227		sincn 24198	. . . . . . . . . . . 12 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
229	228, 169	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
230	229	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( s e. CC |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
231	205	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A [,] B ) C_ CC )
232	161	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> CC C_ CC )
233	59	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) /\ s e. ( A [,] B ) ) -> k e. CC )
234	196	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s e. CC )
235	234	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s e. CC )
236	233, 235	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( k x. s ) e. CC )
237	236	sincld 14860	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) e. CC )
238	117, 230, 231, 232, 237	cncfmptssg 40083	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( s e. ( A [,] B ) |-> ( sin ` ( k x. s ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
239		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
240	59, 70, 239	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. ( CC \ { 0 } ) )
241	240	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. ( CC \ { 0 } ) )
242		difssd 3738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
243	231, 241, 242	constcncfg 40084	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( s e. ( A [,] B ) |-> k ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
244	238, 243	divcncf 23216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
245	205, 97, 244	fsumcncf 40091	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
246	226, 245	addcncf 40086	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
247	246, 214	divcncf 23216	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / pi ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
248	53, 247	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> G e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
249	146, 147, 156, 188, 219, 248	ftc2 23807	. 2 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( RR _D G ) ` s ) _d s = ( ( G ` B ) - ( G ` A ) ) )
250	3, 155, 249	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( F ` x ) _d x = ( ( G ` B ) - ( G ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   mod cmo 12668   sum_csu 14416   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427