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Theorem dvsinax 40127
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvsinax |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) )
Distinct variable group:   y, A
Proof of Theorem dvsinax
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sinf 14854 . . . . . 6 |- sin : CC --> CC
21a1i 11 . . . . 5 |- ( A e. CC -> sin : CC --> CC )
3 mulcl 10020 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( A x. y ) e. CC )
4 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. y ) )
53, 4fmptd 6385 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) : CC --> CC )
6 fcompt 6400 . . . . 5 |- ( ( sin : CC --> CC /\ ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) : CC --> CC ) -> ( sin o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = ( w e. CC |-> ( sin ` ( ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ` w ) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 693 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( sin o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = ( w e. CC |-> ( sin ` ( ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ` w ) ) ) )
8 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) )
9 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( A x. y ) = ( A x. w ) )
109adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ w e. CC ) /\ y = w ) -> ( A x. y ) = ( A x. w ) )
11 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> w e. CC )
12 mulcl 10020 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( A x. w ) e. CC )
138, 10, 11, 12fvmptd 6288 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ` w ) = ( A x. w ) )
1413fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( sin ` ( ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ` w ) ) = ( sin ` ( A x. w ) ) )
1514mpteq2dva 4744 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( w e. CC |-> ( sin ` ( ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ` w ) ) ) = ( w e. CC |-> ( sin ` ( A x. w ) ) ) )
16 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( w = y -> ( A x. w ) = ( A x. y ) )
1716fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( w = y -> ( sin ` ( A x. w ) ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
1817cbvmptv 4750 . . . . 5 |- ( w e. CC |-> ( sin ` ( A x. w ) ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) )
1918a1i 11 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( w e. CC |-> ( sin ` ( A x. w ) ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
207, 15, 193eqtrrd 2661 . . 3 |- ( A e. CC -> ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) = ( sin o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) )
2120oveq2d 6666 . 2 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) = ( CC _D ( sin o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) )
22 cnelprrecn 10029 . . . 4 |- CC e. { RR , CC }
2322a1i 11 . . 3 |- ( A e. CC -> CC e. { RR , CC } )
24 dvsin 23745 . . . . . 6 |- ( CC _D sin ) = cos
2524dmeqi 5325 . . . . 5 |- dom ( CC _D sin ) = dom cos
26 cosf 14855 . . . . . 6 |- cos : CC --> CC
2726fdmi 6052 . . . . 5 |- dom cos = CC
2825, 27eqtri 2644 . . . 4 |- dom ( CC _D sin ) = CC
2928a1i 11 . . 3 |- ( A e. CC -> dom ( CC _D sin ) = CC )
30 id 22 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> y = w )
3130cbvmptv 4750 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. CC |-> y ) = ( w e. CC |-> w )
3231oveq2i 6661 . . . . . . . . 9 |- ( ( CC X. { A } ) oF x. ( y e. CC |-> y ) ) = ( ( CC X. { A } ) oF x. ( w e. CC |-> w ) )
3332a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( CC X. { A } ) oF x. ( y e. CC |-> y ) ) = ( ( CC X. { A } ) oF x. ( w e. CC |-> w ) ) )
34 cnex 10017 . . . . . . . . . . 11 |- CC e. _V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> CC e. _V )
36 snex 4908 . . . . . . . . . . 11 |- { A } e. _V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> { A } e. _V )
38 xpexg 6960 . . . . . . . . . 10 |- ( ( CC e. _V /\ { A } e. _V ) -> ( CC X. { A } ) e. _V )
3935, 37, 38syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( CC X. { A } ) e. _V )
4034mptex 6486 . . . . . . . . . 10 |- ( w e. CC |-> w ) e. _V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( w e. CC |-> w ) e. _V )
42 offval3 7162 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( CC X. { A } ) e. _V /\ ( w e. CC |-> w ) e. _V ) -> ( ( CC X. { A } ) oF x. ( w e. CC |-> w ) ) = ( y e. ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( w e. CC |-> w ) ) |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` y ) x. ( ( w e. CC |-> w ) ` y ) ) ) )
4339, 41, 42syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( CC X. { A } ) oF x. ( w e. CC |-> w ) ) = ( y e. ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( w e. CC |-> w ) ) |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` y ) x. ( ( w e. CC |-> w ) ` y ) ) ) )
44 fconst6g 6094 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( CC X. { A } ) : CC --> CC )
45 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC X. { A } ) : CC --> CC -> dom ( CC X. { A } ) = CC )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> dom ( CC X. { A } ) = CC )
47 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. CC |-> w ) = ( w e. CC |-> w )
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. CC -> w e. CC )
4947, 48fmpti 6383 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. CC |-> w ) : CC --> CC
5049fdmi 6052 . . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( w e. CC |-> w ) = CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> dom ( w e. CC |-> w ) = CC )
5246, 51ineq12d 3815 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( w e. CC |-> w ) ) = ( CC i^i CC ) )
53 inidm 3822 . . . . . . . . . . . 12 |- ( CC i^i CC ) = CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( CC i^i CC ) = CC )
5552, 54eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( w e. CC |-> w ) ) = CC )
5655mpteq1d 4738 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( y e. ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( w e. CC |-> w ) ) |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` y ) x. ( ( w e. CC |-> w ) ` y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` y ) x. ( ( w e. CC |-> w ) ` y ) ) ) )
57 fvconst2g 6467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( CC X. { A } ) ` y ) = A )
58 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. CC -> ( w e. CC |-> w ) = ( w e. CC |-> w ) )
59 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ w = y ) -> w = y )
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. CC -> y e. CC )
6158, 59, 60, 60fvmptd 6288 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. CC -> ( ( w e. CC |-> w ) ` y ) = y )
6261adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( w e. CC |-> w ) ` y ) = y )
6357, 62oveq12d 6668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( CC X. { A } ) ` y ) x. ( ( w e. CC |-> w ) ` y ) ) = ( A x. y ) )
6463mpteq2dva 4744 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( y e. CC |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` y ) x. ( ( w e. CC |-> w ) ` y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) )
6556, 64eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( y e. ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( w e. CC |-> w ) ) |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` y ) x. ( ( w e. CC |-> w ) ` y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) )
6633, 43, 653eqtrrd 2661 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) = ( ( CC X. { A } ) oF x. ( y e. CC |-> y ) ) )
6766oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = ( CC _D ( ( CC X. { A } ) oF x. ( y e. CC |-> y ) ) ) )
68 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( y e. CC |-> y ) = ( y e. CC |-> y )
6968, 60fmpti 6383 . . . . . . . 8 |- ( y e. CC |-> y ) : CC --> CC
7069a1i 11 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( y e. CC |-> y ) : CC --> CC )
71 id 22 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> A e. CC )
7222a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> CC e. { RR , CC } )
7372dvmptid 23720 . . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) = ( y e. CC |-> 1 ) )
7473trud 1493 . . . . . . . . . 10 |- ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) = ( y e. CC |-> 1 )
7574dmeqi 5325 . . . . . . . . 9 |- dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) = dom ( y e. CC |-> 1 )
76 ax-1cn 9994 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
7776rgenw 2924 . . . . . . . . . . 11 |- A. y e. CC 1 e. CC
78 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. CC |-> 1 ) = ( y e. CC |-> 1 )
7978fmpt 6381 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. CC 1 e. CC <-> ( y e. CC |-> 1 ) : CC --> CC )
8077, 79mpbi 220 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. CC |-> 1 ) : CC --> CC
8180fdmi 6052 . . . . . . . . 9 |- dom ( y e. CC |-> 1 ) = CC
8275, 81eqtri 2644 . . . . . . . 8 |- dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) = CC
8382a1i 11 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) = CC )
8423, 70, 71, 83dvcmulf 23708 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { A } ) oF x. ( y e. CC |-> y ) ) ) = ( ( CC X. { A } ) oF x. ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) )
8567, 84eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = ( ( CC X. { A } ) oF x. ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) )
8685dmeqd 5326 . . . 4 |- ( A e. CC -> dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = dom ( ( CC X. { A } ) oF x. ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) )
87 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) e. _V )
88 offval3 7162 . . . . . 6 |- ( ( ( CC X. { A } ) e. _V /\ ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) e. _V ) -> ( ( CC X. { A } ) oF x. ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) = ( w e. ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) ) )
8939, 87, 88syl2anc 693 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( CC X. { A } ) oF x. ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) = ( w e. ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) ) )
9089dmeqd 5326 . . . 4 |- ( A e. CC -> dom ( ( CC X. { A } ) oF x. ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) = dom ( w e. ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) ) )
9146, 83ineq12d 3815 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) = ( CC i^i CC ) )
9291, 54eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) = CC )
9392mpteq1d 4738 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( w e. ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) ) = ( w e. CC |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) ) )
9493dmeqd 5326 . . . . 5 |- ( A e. CC -> dom ( w e. ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) ) = dom ( w e. CC |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) ) )
95 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( w e. CC |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) ) = ( w e. CC |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) )
96 fvconst2g 6467 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( CC X. { A } ) ` w ) = A )
9774fveq1i 6192 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) = ( ( y e. CC |-> 1 ) ` w )
9897a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( w e. CC -> ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) = ( ( y e. CC |-> 1 ) ` w ) )
99 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( w e. CC -> ( y e. CC |-> 1 ) = ( y e. CC |-> 1 ) )
100 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. CC /\ y = w ) -> 1 = 1 )
10176a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( w e. CC -> 1 e. CC )
10299, 100, 48, 101fvmptd 6288 . . . . . . . . . 10 |- ( w e. CC -> ( ( y e. CC |-> 1 ) ` w ) = 1 )
10398, 102eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( w e. CC -> ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) = 1 )
104103adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) = 1 )
10596, 104oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) = ( A x. 1 ) )
106 mulcl 10020 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A x. 1 ) e. CC )
10776, 106mpan2 707 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A x. 1 ) e. CC )
108107adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( A x. 1 ) e. CC )
109105, 108eqeltrd 2701 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) e. CC )
11095, 109dmmptd 6024 . . . . 5 |- ( A e. CC -> dom ( w e. CC |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) ) = CC )
11194, 110eqtrd 2656 . . . 4 |- ( A e. CC -> dom ( w e. ( dom ( CC X. { A } ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ) |-> ( ( ( CC X. { A } ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) ` w ) ) ) = CC )
11286, 90, 1113eqtrd 2660 . . 3 |- ( A e. CC -> dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = CC )
11323, 23, 2, 5, 29, 112dvcof 23711 . 2 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( sin o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) = ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) oF x. ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) )
11424a1i 11 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( CC _D sin ) = cos )
115 coscn 24199 . . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
116115a1i 11 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
117114, 116eqeltrd 2701 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( CC _D sin ) e. ( CC -cn-> CC ) )
11834mptex 6486 . . . . . 6 |- ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) e. _V
119118a1i 11 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) e. _V )
120 coexg 7117 . . . . 5 |- ( ( ( CC _D sin ) e. ( CC -cn-> CC ) /\ ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) e. _V ) -> ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) e. _V )
121117, 119, 120syl2anc 693 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) e. _V )
122 ovexd 6680 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) e. _V )
123 offval3 7162 . . . 4 |- ( ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) e. _V /\ ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) e. _V ) -> ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) oF x. ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) = ( w e. ( dom ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) |-> ( ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) ) ) )
124121, 122, 123syl2anc 693 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) oF x. ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) = ( w e. ( dom ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) |-> ( ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) ) ) )
125 frn 6053 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) : CC --> CC -> ran ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) C_ CC )
1265, 125syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ran ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) C_ CC )
127126, 29sseqtr4d 3642 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ran ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) C_ dom ( CC _D sin ) )
128 dmcosseq 5387 . . . . . . . 8 |- ( ran ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) C_ dom ( CC _D sin ) -> dom ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = dom ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) )
129127, 128syl 17 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> dom ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = dom ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) )
130 ovex 6678 . . . . . . . . 9 |- ( A x. y ) e. _V
131130, 4dmmpti 6023 . . . . . . . 8 |- dom ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) = CC
132131a1i 11 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> dom ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) = CC )
133129, 132eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> dom ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = CC )
134133, 112ineq12d 3815 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( dom ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) = ( CC i^i CC ) )
135134, 54eqtrd 2656 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( dom ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) = CC )
136135mpteq1d 4738 . . 3 |- ( A e. CC -> ( w e. ( dom ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) i^i dom ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) |-> ( ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) ) ) = ( w e. CC |-> ( ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) ) ) )
13712coscld 14861 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( cos ` ( A x. w ) ) e. CC )
138 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> A e. CC )
139137, 138mulcomd 10061 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( cos ` ( A x. w ) ) x. A ) = ( A x. ( cos ` ( A x. w ) ) ) )
140139mpteq2dva 4744 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( w e. CC |-> ( ( cos ` ( A x. w ) ) x. A ) ) = ( w e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. w ) ) ) ) )
14124coeq1i 5281 . . . . . . . . 9 |- ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = ( cos o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) )
142141a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = ( cos o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) )
143142fveq1d 6193 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) = ( ( cos o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) )
144 ffun 6048 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) : CC --> CC -> Fun ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) )
1455, 144syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> Fun ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) )
146145adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> Fun ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) )
14711, 131syl6eleqr 2712 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> w e. dom ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) )
148 fvco 6274 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) /\ w e. dom ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) -> ( ( cos o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) = ( cos ` ( ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ` w ) ) )
149146, 147, 148syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( cos o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) = ( cos ` ( ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ` w ) ) )
15013fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( cos ` ( ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ` w ) ) = ( cos ` ( A x. w ) ) )
151143, 149, 1503eqtrd 2660 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) = ( cos ` ( A x. w ) ) )
152 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> A e. CC )
153 0cnd 10033 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> 0 e. CC )
15423, 71dvmptc 23721 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> A ) ) = ( y e. CC |-> 0 ) )
155 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> y e. CC )
15676a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> 1 e. CC )
15774a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> y ) ) = ( y e. CC |-> 1 ) )
15823, 152, 153, 154, 155, 156, 157dvmptmul 23724 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( 0 x. y ) + ( 1 x. A ) ) ) )
159155mul02d 10234 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 x. y ) = 0 )
160152mulid2d 10058 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 x. A ) = A )
161159, 160oveq12d 6668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( 0 x. y ) + ( 1 x. A ) ) = ( 0 + A ) )
162152addid2d 10237 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 + A ) = A )
163161, 162eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( 0 x. y ) + ( 1 x. A ) ) = A )
164163mpteq2dva 4744 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( y e. CC |-> ( ( 0 x. y ) + ( 1 x. A ) ) ) = ( y e. CC |-> A ) )
165158, 164eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = ( y e. CC |-> A ) )
166165adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) = ( y e. CC |-> A ) )
167 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ w e. CC ) /\ y = w ) -> A = A )
168166, 167, 11, 138fvmptd 6288 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) = A )
169151, 168oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ w e. CC ) -> ( ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) ) = ( ( cos ` ( A x. w ) ) x. A ) )
170169mpteq2dva 4744 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( w e. CC |-> ( ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) ) ) = ( w e. CC |-> ( ( cos ` ( A x. w ) ) x. A ) ) )
1719fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( y = w -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. w ) ) )
172171oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( y = w -> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) = ( A x. ( cos ` ( A x. w ) ) ) )
173172cbvmptv 4750 . . . . 5 |- ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( w e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. w ) ) ) )
174173a1i 11 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( w e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. w ) ) ) ) )
175140, 170, 1743eqtr4d 2666 . . 3 |- ( A e. CC -> ( w e. CC |-> ( ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) x. ( ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ` w ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) )
176124, 136, 1753eqtrd 2660 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( CC _D sin ) o. ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) oF x. ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) )
17721, 113, 1763eqtrd 2660 1 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   sincsin 14794   cosccos 14795   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631
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