Theorem climexp 39837

Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climexp.1	|- F/ k ph
climexp.2	|- F/_ k F
climexp.3	|- F/_ k H
climexp.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climexp.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
climexp.6	|- ( ph -> F : Z --> CC )
climexp.7	|- ( ph -> F ~~> A )
climexp.8	|- ( ph -> N e. NN0 )
climexp.9	|- ( ph -> H e. V )
climexp.10	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) )

Assertion

Ref	Expression
climexp	|- ( ph -> H ~~> ( A ^ N ) )

Distinct variable groups:   k, N   k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   F( k)   H( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climexp

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climexp.4	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climexp.5	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climexp.8	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	expcn 22675	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
7	4	cncfcn1 22713	. . . . 5 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
8	6, 7	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
9		climexp.6	. . . 4 |- ( ph -> F : Z --> CC )
10		climexp.7	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
11		climcl 14230	. . . . 5 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
13	1, 2, 8, 9, 10, 12	climcncf 22703	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` A ) )
14		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
15		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> x = A )
16	15	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( x ^ N ) = ( A ^ N ) )
17	12, 3	expcld 13008	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. CC )
18	14, 16, 12, 17	fvmptd 6288	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` A ) = ( A ^ N ) )
19	13, 18	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( A ^ N ) )
20		climexp.9	. . 3 |- ( ph -> H e. V )
21		cnex 10017	. . . . 5 |- CC e. _V
22	21	mptex 6486	. . . 4 |- ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. _V
23		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
24	1, 23	eqeltri 2697	. . . . 5 |- Z e. _V
25		fex 6490	. . . . 5 |- ( ( F : Z --> CC /\ Z e. _V ) -> F e. _V )
26	9, 24, 25	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
27		coexg 7117	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) e. _V )
28	22, 26, 27	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) e. _V )
29		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
30		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ x = ( F ` j ) ) -> x = ( F ` j ) )
31	30	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ x = ( F ` j ) ) -> ( x ^ N ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
32	9	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. CC )
33	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> N e. NN0 )
34	32, 33	expcld 13008	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F ` j ) ^ N ) e. CC )
35	29, 31, 32, 34	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
36		fvco3 6275	. . . . 5 |- ( ( F : Z --> CC /\ j e. Z ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) = ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) )
37	9, 36	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) = ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) )
38		climexp.1	. . . . . . 7 |- F/ k ph
39		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ k j e. Z
40	38, 39	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ j e. Z )
41		climexp.3	. . . . . . . 8 |- F/_ k H
42		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k j
43	41, 42	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ k ( H ` j )
44		climexp.2	. . . . . . . . 9 |- F/_ k F
45	44, 42	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( F ` j )
46		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k ^
47		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k N
48	45, 46, 47	nfov 6676	. . . . . . 7 |- F/_ k ( ( F ` j ) ^ N )
49	43, 48	nfeq 2776	. . . . . 6 |- F/ k ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N )
50	40, 49	nfim 1825	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
51		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
52	51	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ j e. Z ) ) )
53		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( H ` k ) = ( H ` j ) )
54		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) ^ N ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
56	53, 55	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) <-> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) ) )
57	52, 56	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) ) <-> ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) ) ) )
58		climexp.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) )
59	50, 57, 58	chvar 2262	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
60	35, 37, 59	3eqtr4rd 2667	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) )
61	1, 20, 28, 2, 60	climeq 14298	. 2 |- ( ph -> ( H ~~> ( A ^ N ) <-> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( A ^ N ) ) )
62	19, 61	mpbird 247	1 |- ( ph -> H ~~> ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   ~~> cli 14215   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Cn ccn 21028   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  stirlinglem8  40298