Theorem csbren 23182

Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
csbrn.1	|- ( ph -> A e. Fin )
csbrn.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
csbrn.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )

Assertion

Ref	Expression
csbren	|- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) <_ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem csbren

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11091	. . . . 5 |- 2 e. CC
2		csbrn.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. Fin )
3		csbrn.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
4		csbrn.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
5	3, 4	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B x. C ) e. RR )
6	2, 5	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B x. C ) e. RR )
7	6	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B x. C ) e. CC )
8		sqmul 12926	. . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ sum_ k e. A ( B x. C ) e. CC ) -> ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) ) )
9	1, 7, 8	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) ) )
10		sq2 12960	. . . . 5 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
11	10	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) )
12	9, 11	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) ) )
13	3	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
14	2, 13	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B ^ 2 ) e. RR )
15		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
16		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ sum_ k e. A ( B x. C ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) e. RR )
17	15, 6, 16	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) e. RR )
18	4	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C ^ 2 ) e. RR )
19	2, 18	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( C ^ 2 ) e. RR )
20	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. Fin )
21	13	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
22		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> x e. RR )
23	22	resqcld 13035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
24	21, 23	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) e. RR )
25		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( B x. C ) e. RR ) -> ( 2 x. ( B x. C ) ) e. RR )
26	15, 5, 25	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( 2 x. ( B x. C ) ) e. RR )
27	26	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( 2 x. ( B x. C ) ) e. RR )
28	27, 22	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) e. RR )
29	24, 28	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) e. RR )
30	18	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( C ^ 2 ) e. RR )
31	29, 30	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) + ( C ^ 2 ) ) e. RR )
32	3	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> B e. RR )
33	32, 22	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( B x. x ) e. RR )
34	4	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> C e. RR )
35	33, 34	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( B x. x ) + C ) e. RR )
36	35	sqge0d 13036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> 0 <_ ( ( ( B x. x ) + C ) ^ 2 ) )
37	33	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( B x. x ) e. CC )
38	34	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
39		binom2 12979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B x. x ) e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( B x. x ) + C ) ^ 2 ) = ( ( ( ( B x. x ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( B x. x ) x. C ) ) ) + ( C ^ 2 ) ) )
40	37, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( ( B x. x ) + C ) ^ 2 ) = ( ( ( ( B x. x ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( B x. x ) x. C ) ) ) + ( C ^ 2 ) ) )
41	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
42	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> x e. CC )
43	41, 42	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( B x. x ) ^ 2 ) = ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) )
44	41, 42, 38	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( B x. x ) x. C ) = ( ( B x. C ) x. x ) )
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( 2 x. ( ( B x. x ) x. C ) ) = ( 2 x. ( ( B x. C ) x. x ) ) )
46		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> 2 e. CC )
47	5	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( B x. C ) e. RR )
48	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( B x. C ) e. CC )
49	46, 48, 42	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) = ( 2 x. ( ( B x. C ) x. x ) ) )
50	45, 49	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( 2 x. ( ( B x. x ) x. C ) ) = ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) )
51	43, 50	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( ( B x. x ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( B x. x ) x. C ) ) ) = ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) )
52	51	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( ( ( B x. x ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( B x. x ) x. C ) ) ) + ( C ^ 2 ) ) = ( ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) + ( C ^ 2 ) ) )
53	40, 52	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( ( B x. x ) + C ) ^ 2 ) = ( ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) + ( C ^ 2 ) ) )
54	36, 53	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> 0 <_ ( ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) + ( C ^ 2 ) ) )
55	20, 31, 54	fsumge0 14527	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ sum_ k e. A ( ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) + ( C ^ 2 ) ) )
56	24	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) e. CC )
57	28	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) e. CC )
58	56, 57	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) e. CC )
59	30	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( C ^ 2 ) e. CC )
60	20, 58, 59	fsumadd 14470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ k e. A ( ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) + ( C ^ 2 ) ) = ( sum_ k e. A ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
61	20, 56, 57	fsumadd 14470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ k e. A ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) = ( sum_ k e. A ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + sum_ k e. A ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) )
62		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR )
63	62	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
64	63	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
65	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
66	20, 64, 65	fsummulc1 14517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) = sum_ k e. A ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) )
67		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 2 e. CC )
68	20, 67, 48	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) = sum_ k e. A ( 2 x. ( B x. C ) ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) x. x ) = ( sum_ k e. A ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) )
70	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( 2 x. ( B x. C ) ) e. CC )
71	70	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. A ) -> ( 2 x. ( B x. C ) ) e. CC )
72	20, 63, 71	fsummulc1 14517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sum_ k e. A ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) = sum_ k e. A ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) )
73	69, 72	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) x. x ) = sum_ k e. A ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) )
74	66, 73	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) x. x ) ) = ( sum_ k e. A ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + sum_ k e. A ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) )
75	61, 74	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ k e. A ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) x. x ) ) )
76	75	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sum_ k e. A ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) x. x ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
77	60, 76	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ k e. A ( ( ( ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( B x. C ) ) x. x ) ) + ( C ^ 2 ) ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) x. x ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
78	55, 77	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( ( ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. ( x ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) x. x ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
79	14, 17, 19, 78	discr 13001	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) <_ 0 )
80	17	resqcld 13035	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) e. RR )
81		4re 11097	. . . . . 6 |- 4 e. RR
82	14, 19	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) e. RR )
83		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) e. RR ) -> ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) e. RR )
84	81, 82, 83	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) e. RR )
85	80, 84	suble0d 10618	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) <_ 0 <-> ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) )
86	79, 85	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) )
87	12, 86	eqbrtrrd 4677	. 2 |- ( ph -> ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) )
88	6	resqcld 13035	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) e. RR )
89	81	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 4 e. RR )
90		4pos 11116	. . . 4 |- 0 < 4
91	90	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 < 4 )
92		lemul2 10876	. . 3 |- ( ( ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) e. RR /\ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) <_ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) <-> ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) )
93	88, 82, 89, 91, 92	syl112anc 1330	. 2 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) <_ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) <-> ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) )
94	87, 93	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) <_ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   4c4 11072   ^cexp 12860   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  trirn  23183