Theorem trirn 23183

Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
csbrn.1	|- ( ph -> A e. Fin )
csbrn.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
csbrn.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )

Assertion

Ref	Expression
trirn	|- ( ph -> ( sqr ` sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) <_ ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem trirn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbrn.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
2		csbrn.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
3	2	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
4		2re 11090	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
5		csbrn.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
6	2, 5	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B x. C ) e. RR )
7		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ ( B x. C ) e. RR ) -> ( 2 x. ( B x. C ) ) e. RR )
8	4, 6, 7	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( 2 x. ( B x. C ) ) e. RR )
9	3, 8	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) e. RR )
10	1, 9	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) e. RR )
11	1, 3	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B ^ 2 ) e. RR )
12	5	resqcld 13035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C ^ 2 ) e. RR )
13	1, 12	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. A ( C ^ 2 ) e. RR )
14	11, 13	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) e. RR )
15	2	sqge0d 13036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ ( B ^ 2 ) )
16	1, 3, 15	fsumge0 14527	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A ( B ^ 2 ) )
17	5	sqge0d 13036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ ( C ^ 2 ) )
18	1, 12, 17	fsumge0 14527	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A ( C ^ 2 ) )
19	11, 13, 16, 18	mulge0d 10604	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
20	14, 19	resqrtcld 14156	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) e. RR )
21		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
22	4, 20, 21	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
23	11, 22	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) e. RR )
24	3	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
25	8	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( 2 x. ( B x. C ) ) e. CC )
26	1, 24, 25	fsumadd 14470	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) = ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) + sum_ k e. A ( 2 x. ( B x. C ) ) ) )
27	1, 8	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. A ( 2 x. ( B x. C ) ) e. RR )
28		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
29	6	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B x. C ) e. CC )
30	1, 28, 29	fsummulc2 14516	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) = sum_ k e. A ( 2 x. ( B x. C ) ) )
31	1, 6	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B x. C ) e. RR )
32	31	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B x. C ) e. CC )
33	32	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A ( B x. C ) ) e. RR )
34	31	leabsd 14153	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B x. C ) <_ ( abs ` sum_ k e. A ( B x. C ) ) )
35	1, 2, 5	csbren 23182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) <_ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
36		absresq 14042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sum_ k e. A ( B x. C ) e. RR -> ( ( abs ` sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) = ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) )
37	31, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) = ( sum_ k e. A ( B x. C ) ^ 2 ) )
38		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) -> ( ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
39	14, 19, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
40	35, 37, 39	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
41	32	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. A ( B x. C ) ) )
42	14, 19	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) )
43	33, 20, 41, 42	le2sqd 13044	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` sum_ k e. A ( B x. C ) ) <_ ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. A ( B x. C ) ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
44	40, 43	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A ( B x. C ) ) <_ ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) )
45	31, 33, 20, 34, 44	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. A ( B x. C ) <_ ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) )
46	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. RR )
47		2pos 11112	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < 2 )
49		lemul2 10876	. . . . . . . . 9 |- ( ( sum_ k e. A ( B x. C ) e. RR /\ ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( sum_ k e. A ( B x. C ) <_ ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) <-> ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) <_ ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
50	31, 20, 46, 48, 49	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B x. C ) <_ ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) <-> ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) <_ ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
51	45, 50	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ k e. A ( B x. C ) ) <_ ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) )
52	30, 51	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. A ( 2 x. ( B x. C ) ) <_ ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) )
53	27, 22, 11, 52	leadd2dd 10642	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) + sum_ k e. A ( 2 x. ( B x. C ) ) ) <_ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
54	26, 53	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) <_ ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
55	10, 23, 13, 54	leadd1dd 10641	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. A ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) <_ ( ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
56	2, 5	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. RR )
57	56	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( B + C ) ^ 2 ) e. RR )
58	1, 57	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) e. RR )
59	56	sqge0d 13036	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ ( ( B + C ) ^ 2 ) )
60	1, 57, 59	fsumge0 14527	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) )
61		resqrtth 13996	. . . . 5 |- ( ( sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) )
62	58, 60, 61	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) )
63	2	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
64	5	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
65		binom2 12979	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( B + C ) ^ 2 ) = ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) + ( C ^ 2 ) ) )
66	63, 64, 65	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( B + C ) ^ 2 ) = ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) + ( C ^ 2 ) ) )
67	66	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) = sum_ k e. A ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) + ( C ^ 2 ) ) )
68	9	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) e. CC )
69	12	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C ^ 2 ) e. CC )
70	1, 68, 69	fsumadd 14470	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. A ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) + ( C ^ 2 ) ) = ( sum_ k e. A ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
71	67, 70	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) = ( sum_ k e. A ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
72	62, 71	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = ( sum_ k e. A ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. C ) ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
73	11, 16	resqrtcld 14156	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) e. RR )
74	73	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) e. CC )
75	13, 18	resqrtcld 14156	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) e. RR )
76	75	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) e. CC )
77		binom2 12979	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) e. CC /\ ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) x. ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
78	74, 76, 77	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) x. ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
79		resqrtth 13996	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. A ( B ^ 2 ) )
80	11, 16, 79	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. A ( B ^ 2 ) )
81	11, 16, 13, 18	sqrtmuld 14163	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) x. ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) )
82	81	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) x. ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) )
83	82	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) x. ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) )
84	80, 83	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) x. ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
85		resqrtth 13996	. . . . . 6 |- ( ( sum_ k e. A ( C ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. A ( C ^ 2 ) )
86	13, 18, 85	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. A ( C ^ 2 ) )
87	84, 86	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) x. ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
88	78, 87	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( sqr ` ( sum_ k e. A ( B ^ 2 ) x. sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ) ) + sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
89	55, 72, 88	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ph -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
90	58, 60	resqrtcld 14156	. . 3 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) e. RR )
91	73, 75	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) e. RR )
92	58, 60	sqrtge0d 14159	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) )
93	11, 16	sqrtge0d 14159	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) )
94	13, 18	sqrtge0d 14159	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) )
95	73, 75, 93, 94	addge0d 10603	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) )
96	90, 91, 92, 95	le2sqd 13044	. 2 |- ( ph -> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) <_ ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) <-> ( ( sqr ` sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
97	89, 96	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ k e. A ( ( B + C ) ^ 2 ) ) <_ ( ( sqr ` sum_ k e. A ( B ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. A ( C ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  rrxmet  23191  rrnmet  33628