Theorem eflegeo 14851

Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eflegeo.1	|- ( ph -> A e. RR )
eflegeo.2	|- ( ph -> 0 <_ A )
eflegeo.3	|- ( ph -> A < 1 )

Assertion

Ref	Expression
eflegeo	|- ( ph -> ( exp ` A ) <_ ( 1 / ( 1 - A ) ) )

Proof of Theorem eflegeo

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 11389	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
4	3	eftval 14807	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
5	4	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
6		eflegeo.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
7		reeftcl 14805	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
8	6, 7	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
9		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
11		ovex 6678	. . . . 5 |- ( A ^ k ) e. _V
12	9, 10, 11	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
13	12	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
14		reexpcl 12877	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
15	6, 14	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
16		faccl 13070	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
17	16	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
18	17	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
19	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> A e. RR )
20		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
21		eflegeo.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
22	21	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ A )
23	19, 20, 22	expge0d 13026	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
24	17	nnge1d 11063	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` k ) )
25	15, 18, 23, 24	lemulge12d 10962	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) <_ ( ( ! ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
26	17	nngt0d 11064	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ! ` k ) )
27		ledivmul 10899	. . . . 5 |- ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ ( A ^ k ) e. RR /\ ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) ) -> ( ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) <_ ( A ^ k ) <-> ( A ^ k ) <_ ( ( ! ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
28	15, 15, 18, 26, 27	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) <_ ( A ^ k ) <-> ( A ^ k ) <_ ( ( ! ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
29	25, 28	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )
30	6	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
31	3	efcllem 14808	. . . 4 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
32	30, 31	syl 17	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
33	6, 21	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) = A )
34		eflegeo.3	. . . . . 6 |- ( ph -> A < 1 )
35	33, 34	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
36	30, 35, 13	geolim 14601	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - A ) ) )
37		seqex 12803	. . . . 5 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ) e. _V
38		ovex 6678	. . . . 5 |- ( 1 / ( 1 - A ) ) e. _V
39	37, 38	breldm 5329	. . . 4 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - A ) ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
40	36, 39	syl 17	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ) e. dom ~~> )
41	1, 2, 5, 8, 13, 15, 29, 32, 40	isumle 14576	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) <_ sum_ k e. NN0 ( A ^ k ) )
42		efval 14810	. . 3 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) = sum_ k e. NN0 ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
43	30, 42	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( exp ` A ) = sum_ k e. NN0 ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
44		expcl 12878	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
45	30, 44	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
46	1, 2, 13, 45, 36	isumclim 14488	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 ( A ^ k ) = ( 1 / ( 1 - A ) ) )
47	46	eqcomd 2628	. 2 |- ( ph -> ( 1 / ( 1 - A ) ) = sum_ k e. NN0 ( A ^ k ) )
48	41, 43, 47	3brtr4d 4685	1 |- ( ph -> ( exp ` A ) <_ ( 1 / ( 1 - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   seqcseq 12801   ^cexp 12860   !cfa 13060   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   expce 14792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  24680  logdiflbnd  24721  emcllem2  24723