Theorem emcllem2 24723

Description: Lemma for emcl 24729. F is increasing, and G is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	|- F = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` n ) ) )
emcl.2	|- G = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
emcllem2	|- ( N e. NN -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) <_ ( F ` N ) /\ ( G ` N ) <_ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )

Distinct variable group:   m, n, N

Allowed substitution hints:   F( m, n)   G( m, n)

Proof of Theorem emcllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 11032	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
2	1	nnrecred 11066	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( N + 1 ) ) e. RR )
3	1	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. RR+ )
4	3	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( log ` ( N + 1 ) ) e. RR )
5		nnrp 11842	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
6	5	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( log ` N ) e. RR )
7	4, 6	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( log ` ( N + 1 ) ) - ( log ` N ) ) e. RR )
8		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
9		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... N ) -> m e. NN )
10	9	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> m e. NN )
11	10	nnrecred 11066	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ m e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
12	8, 11	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) e. RR )
13	3	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( N + 1 ) ) e. RR+ )
14	13	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 1 / ( N + 1 ) ) )
15		1div1e1 10717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 1 ) = 1
16		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
17		ltaddrp 11867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + N ) )
18	16, 5, 17	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 1 < ( 1 + N ) )
19		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
20		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. CC )
21		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 + N ) = ( N + 1 ) )
22	19, 20, 21	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( 1 + N ) = ( N + 1 ) )
23	18, 22	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 1 < ( N + 1 ) )
24	15, 23	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) < ( N + 1 ) )
25	1	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. RR )
26	1	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 0 < ( N + 1 ) )
27		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
28		ltrec1 10910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 < ( N + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 1 ) < ( N + 1 ) <-> ( 1 / ( N + 1 ) ) < 1 ) )
29	16, 27, 28	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 < ( N + 1 ) ) -> ( ( 1 / 1 ) < ( N + 1 ) <-> ( 1 / ( N + 1 ) ) < 1 ) )
30	25, 26, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 1 ) < ( N + 1 ) <-> ( 1 / ( N + 1 ) ) < 1 ) )
31	24, 30	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( N + 1 ) ) < 1 )
32	2, 14, 31	eflegeo 14851	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( exp ` ( 1 / ( N + 1 ) ) ) <_ ( 1 / ( 1 - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) )
33	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
34		nnne0 11053	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
35	1	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) =/= 0 )
36	20, 33, 34, 35	recdivd 10818	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( N / ( N + 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
37		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
38	33, 37, 33, 35	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) - 1 ) / ( N + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) / ( N + 1 ) ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) )
39		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
40	20, 19, 39	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) - 1 ) / ( N + 1 ) ) = ( N / ( N + 1 ) ) )
42	33, 35	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / ( N + 1 ) ) = 1 )
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / ( N + 1 ) ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) )
44	38, 41, 43	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 1 - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) = ( N / ( N + 1 ) ) )
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( 1 - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 1 / ( N / ( N + 1 ) ) ) )
46	3, 5	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) e. RR+ )
47	46	reeflogd 24370	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( exp ` ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
48	36, 45, 47	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( 1 - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) = ( exp ` ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
49	32, 48	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( exp ` ( 1 / ( N + 1 ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
50	3, 5	relogdivd 24372	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( log ` ( N + 1 ) ) - ( log ` N ) ) )
51	50, 7	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) e. RR )
52		efle 14848	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) e. RR ) -> ( ( 1 / ( N + 1 ) ) <_ ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) <-> ( exp ` ( 1 / ( N + 1 ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) ) )
53	2, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( N + 1 ) ) <_ ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) <-> ( exp ` ( 1 / ( N + 1 ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) ) )
54	49, 53	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( N + 1 ) ) <_ ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )
55	54, 50	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( N + 1 ) ) <_ ( ( log ` ( N + 1 ) ) - ( log ` N ) ) )
56	2, 7, 12, 55	leadd2dd 10642	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( N + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) + ( ( log ` ( N + 1 ) ) - ( log ` N ) ) ) )
57		id 22	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN )
58		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
59	57, 58	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> m e. NN )
61	60	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> m e. NN )
62	61	nnrecred 11066	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
63	62	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( 1 / m ) e. CC )
64		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = ( N + 1 ) -> ( 1 / m ) = ( 1 / ( N + 1 ) ) )
65	59, 63, 64	fsump1 14487	. . . . 5 |- ( N e. NN -> sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) = ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( N + 1 ) ) ) )
66	4	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( N + 1 ) ) e. CC )
67	12	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) e. CC )
68	6	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` N ) e. CC )
69	66, 67, 68	addsub12d 10415	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( log ` ( N + 1 ) ) + ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` N ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) + ( ( log ` ( N + 1 ) ) - ( log ` N ) ) ) )
70	56, 65, 69	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( N + 1 ) ) + ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` N ) ) ) )
71		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. Fin )
72	71, 62	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( N e. NN -> sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) e. RR )
73	12, 6	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` N ) ) e. RR )
74	72, 4, 73	lesubadd2d 10626	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` N ) ) <-> sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( N + 1 ) ) + ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` N ) ) ) ) )
75	70, 74	mpbird 247	. . 3 |- ( N e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` N ) ) )
76		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
77	76	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) = sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) )
78		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( log ` n ) = ( log ` ( N + 1 ) ) )
79	77, 78	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` n ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) )
80		emcl.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` n ) ) )
81		ovex 6678	. . . . 5 |- ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) e. _V
82	79, 80, 81	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) )
83	1, 82	syl 17	. . 3 |- ( N e. NN -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) )
84		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... N ) )
85	84	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( n = N -> sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) = sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) )
86		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( n = N -> ( log ` n ) = ( log ` N ) )
87	85, 86	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( n = N -> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` n ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` N ) ) )
88		ovex 6678	. . . 4 |- ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` N ) ) e. _V
89	87, 80, 88	fvmpt 6282	. . 3 |- ( N e. NN -> ( F ` N ) = ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` N ) ) )
90	75, 83, 89	3brtr4d 4685	. 2 |- ( N e. NN -> ( F ` ( N + 1 ) ) <_ ( F ` N ) )
91		peano2nn 11032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) + 1 ) e. NN )
92	1, 91	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) + 1 ) e. NN )
93	92	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) + 1 ) e. RR+ )
94	93	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) e. RR )
95	94, 4	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
96		logdifbnd 24720	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. RR+ -> ( ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) <_ ( 1 / ( N + 1 ) ) )
97	3, 96	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) <_ ( 1 / ( N + 1 ) ) )
98	95, 2, 12, 97	leadd2dd 10642	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) + ( ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) + ( 1 / ( N + 1 ) ) ) )
99	94	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) e. CC )
100	67, 66, 99	subadd23d 10414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) + ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) + ( ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) ) )
101	98, 100, 65	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) + ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) )
102	12, 4	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
103		leaddsub 10504	. . . . 5 |- ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) e. RR /\ ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) e. RR /\ sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) e. RR ) -> ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) + ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) <-> ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
104	102, 94, 72, 103	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) + ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) <-> ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
105	101, 104	mpbid 222	. . 3 |- ( N e. NN -> ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) )
106		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( n + 1 ) = ( N + 1 ) )
107	106	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( n = N -> ( log ` ( n + 1 ) ) = ( log ` ( N + 1 ) ) )
108	85, 107	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( n = N -> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` ( n + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) )
109		emcl.2	. . . 4 |- G = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` ( n + 1 ) ) ) )
110		ovex 6678	. . . 4 |- ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) e. _V
111	108, 109, 110	fvmpt 6282	. . 3 |- ( N e. NN -> ( G ` N ) = ( sum_ m e. ( 1 ... N ) ( 1 / m ) - ( log ` ( N + 1 ) ) ) )
112		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( n + 1 ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) )
113	112	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( log ` ( n + 1 ) ) = ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
114	77, 113	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` ( n + 1 ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) )
115		ovex 6678	. . . . 5 |- ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) e. _V
116	114, 109, 115	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( G ` ( N + 1 ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) )
117	1, 116	syl 17	. . 3 |- ( N e. NN -> ( G ` ( N + 1 ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) )
118	105, 111, 117	3brtr4d 4685	. 2 |- ( N e. NN -> ( G ` N ) <_ ( G ` ( N + 1 ) ) )
119	90, 118	jca 554	1 |- ( N e. NN -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) <_ ( F ` N ) /\ ( G ` N ) <_ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   sum_csu 14416   expce 14792   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  emcllem6  24727  emcllem7  24728