Theorem flodddiv4 15137

Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4	|- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem flodddiv4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . 4 |- ( N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) -> ( N / 4 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) )
2		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> 2 e. CC )
3		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
4	2, 3	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( 2 x. M ) e. CC )
5		1cnd 10056	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> 1 e. CC )
6		4cn 11098	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
7		4ne0 11117	. . . . . . . 8 |- 4 =/= 0
8	6, 7	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 )
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
10		divdir 10710	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. M ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) = ( ( ( 2 x. M ) / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) )
11	4, 5, 9, 10	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) = ( ( ( 2 x. M ) / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) )
12		2t2e4 11177	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 2 ) = 4
13	12	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- 4 = ( 2 x. 2 )
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> 4 = ( 2 x. 2 ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / 4 ) = ( ( 2 x. M ) / ( 2 x. 2 ) ) )
16		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> 2 =/= 0 )
18	3, 2, 2, 17, 17	divcan5d 10827	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( M / 2 ) )
19	15, 18	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( 2 x. M ) / 4 ) = ( M / 2 ) )
20	19	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
21	11, 20	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) / 4 ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
22	1, 21	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( N / 4 ) = ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) )
23	22	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
24		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( M / 2 ) )
25	24	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( M / 2 ) )
26		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
27		0le1 10551	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
28		4re 11097	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
29		4pos 11116	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
30		divge0 10892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
31	26, 27, 28, 29, 30	mp4an 709	. . . . . . . 8 |- 0 <_ ( 1 / 4 )
32		1lt4 11199	. . . . . . . . 9 |- 1 < 4
33		recgt1 10919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
34	28, 29, 33	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
35	32, 34	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 4 ) < 1
36	31, 35	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 )
37		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> 2 e. ZZ )
39		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
40		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( 2 || M <-> ( M / 2 ) e. ZZ ) )
41	38, 17, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( 2 || M <-> ( M / 2 ) e. ZZ ) )
42	41	biimpac 503	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( M / 2 ) e. ZZ )
43		4nn 11187	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN
44		nnrecre 11057	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. NN -> ( 1 / 4 ) e. RR )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 4 ) e. RR
46		flbi2 12618	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M / 2 ) e. ZZ /\ ( 1 / 4 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
47	42, 45, 46	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) <-> ( 0 <_ ( 1 / 4 ) /\ ( 1 / 4 ) < 1 ) ) )
48	36, 47	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( M / 2 ) )
49	25, 48	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
50		iffalse 4095	. . . . . . 7 |- ( -. 2 || M -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( ( M - 1 ) / 2 ) )
51	50	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( ( M - 1 ) / 2 ) )
52		odd2np1 15065	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M <-> E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) )
53		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. CC
54		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
55		divcan5 10727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
56	53, 54, 54, 55	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
57		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. 1 ) = 2
58	57, 12	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 2 / 4 )
59	56, 58	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 / 2 ) = ( 2 / 4 )
60	59	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( 2 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
61		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
62	61, 53, 6, 7	divdiri 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 + 1 ) / 4 ) = ( ( 2 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
63		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 + 1 ) = 3
64	63	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 + 1 ) / 4 ) = ( 3 / 4 )
65	60, 62, 64	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 3 / 4 )
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 3 / 4 ) )
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( x + ( 3 / 4 ) ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) )
69		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. RR
70		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
71		3pos 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 3
72	70, 69, 71	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 <_ 3
73		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 3 e. RR /\ 0 <_ 3 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> 0 <_ ( 3 / 4 ) )
74	69, 72, 28, 29, 73	mp4an 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ ( 3 / 4 )
75		3lt4 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 < 4
76		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
77	43, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR+
78		divlt1lt 11899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR+ ) -> ( ( 3 / 4 ) < 1 <-> 3 < 4 ) )
79	69, 77, 78	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 / 4 ) < 1 <-> 3 < 4 )
80	75, 79	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 / 4 ) < 1
81	74, 80	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 )
82	69, 28, 7	redivcli 10792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 / 4 ) e. RR
83		flbi2 12618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( 3 / 4 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x <-> ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 ) ) )
84	82, 83	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x <-> ( 0 <_ ( 3 / 4 ) /\ ( 3 / 4 ) < 1 ) ) )
85	81, 84	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( 3 / 4 ) ) ) = x )
86	68, 85	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = x )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) = x )
88		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M = ( ( 2 x. x ) + 1 ) -> ( M / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) )
89	88	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( M / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) )
90	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> 2 e. ZZ )
91		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> x e. ZZ )
92	90, 91	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
93	92	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. CC )
94		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> 1 e. CC )
95	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
96		divdir 10710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 2 x. x ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
97	93, 94, 95, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
98		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
99		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 2 e. CC )
100	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> 2 =/= 0 )
101	98, 99, 100	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
103	97, 102	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) / 2 ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
104	89, 103	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( M / 2 ) = ( x + ( 1 / 2 ) ) )
105	104	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) )
106		halfcn 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 / 2 ) e. CC
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. CC )
108	6, 7	reccli 10755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 / 4 ) e. CC
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( 1 / 4 ) e. CC )
110	98, 107, 109	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( x + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
112	105, 111	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
113	112	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = ( |_ ` ( x + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
114		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M = ( ( 2 x. x ) + 1 ) -> ( M - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) )
115	114	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( M - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) )
116		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. x ) )
117	93, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. x ) )
118	115, 117	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( M - 1 ) = ( 2 x. x ) )
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. x ) / 2 ) )
120	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
121	119, 120	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = x )
122	87, 113, 121	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
123	122	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
124	123	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
125	124	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
126	52, 125	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( -. 2 || M -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) ) )
127	126	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
128	51, 127	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( -. 2 || M /\ M e. ZZ ) -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
129	49, 128	pm2.61ian 831	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) )
130	129	eqcomd 2628	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )
131	130	adantr 481	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( M / 2 ) + ( 1 / 4 ) ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )
132	23, 131	eqtrd 2656	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N = ( ( 2 x. M ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = if ( 2 || M , ( M / 2 ) , ( ( M - 1 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   ZZcz 11377   RR+crp 11832   |_cfl 12591   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  2lgslem1c  25118