Theorem fmtnoprmfac2lem1 41478

Description: Lemma for fmtnoprmfac2 41479. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoprmfac2lem1	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( 2 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = 1 )

Proof of Theorem fmtnoprmfac2lem1

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 11726	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
2		eldifi 3732	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
3		id 22	. . 3 |- ( P || (FermatNo ` N ) -> P || (FermatNo ` N ) )
4		fmtnoprmfac1 41477	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> E. n e. NN P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1368	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> E. n e. NN P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) )
6		2z 11409	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
7		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
8		lgsvalmod 25041	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( 2 /L P ) mod P ) = ( ( 2 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) )
9	8	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( 2 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( 2 /L P ) mod P ) )
10	6, 7, 9	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( 2 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( 2 /L P ) mod P ) )
11	10	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) /\ n e. NN ) /\ P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) ) -> ( ( 2 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( 2 /L P ) mod P ) )
12		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. CC )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> n e. CC )
14		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. NN
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. NN )
16		eluzge2nn0 11727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
17		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
19	15, 18	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. NN )
20	19	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. CC )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. CC )
22	13, 21	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) x. n ) )
23		8cn 11106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 8 e. CC
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> 8 e. CC )
25		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
26		8pos 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 8
27	25, 26	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 8 =/= 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> 8 =/= 0 )
29	21, 24, 28	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( 8 x. ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
30	29	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( 8 x. ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) ) )
31	30	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) x. n ) = ( ( 8 x. ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) ) x. n ) )
32	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 8 e. CC )
33	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 8 =/= 0 )
34	20, 32, 33	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) e. CC )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) e. CC )
36	24, 35, 13	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( ( 8 x. ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) ) x. n ) = ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) )
37	22, 31, 36	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) = ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) )
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) = ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) )
39	38	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) <-> P = ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) ) )
40		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P = ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) -> ( P mod 8 ) = ( ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) mod 8 ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) /\ P = ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) ) -> ( P mod 8 ) = ( ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) mod 8 ) )
42		3m1e2 11137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 3 - 1 ) = 2
43		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
44	42, 43	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 3 - 1 ) <_ N )
45		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 3 e. RR
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 3 e. RR )
47		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
48		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
49	46, 47, 48	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 3 - 1 ) <_ N <-> 3 <_ ( N + 1 ) ) )
50	44, 49	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 3 <_ ( N + 1 ) )
51		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 3 e. NN0
52		nn0sub 11343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 3 e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( 3 <_ ( N + 1 ) <-> ( ( N + 1 ) - 3 ) e. NN0 ) )
53	51, 18, 52	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 3 <_ ( N + 1 ) <-> ( ( N + 1 ) - 3 ) e. NN0 ) )
54	50, 53	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N + 1 ) - 3 ) e. NN0 )
55	15, 54	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) e. NN )
56	55	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) e. ZZ )
57		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) -> ( 8 x. k ) = ( 8 x. ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) ) )
58	57	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) -> ( ( 8 x. k ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <-> ( 8 x. ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ k = ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) ) -> ( ( 8 x. k ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <-> ( 8 x. ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
60		cu2 12963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 ^ 3 ) = 8
61	60	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 8 = ( 2 ^ 3 )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 8 = ( 2 ^ 3 ) )
63		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
65		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
66	65	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
67		3z 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 3 e. ZZ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 3 e. ZZ )
69		expsub 12908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) ) -> ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 3 ) ) )
70	64, 66, 68, 69	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 3 ) ) )
71	62, 70	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 8 x. ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) ) = ( ( 2 ^ 3 ) x. ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 3 ) ) ) )
72		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 2 e. NN /\ 3 e. NN0 ) -> ( 2 ^ 3 ) e. NN )
73	14, 51, 72	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 ^ 3 ) e. NN
74	73	nncni 11030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 ^ 3 ) e. CC
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ 3 ) e. CC )
76		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. CC
77		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 =/= 0
78		expne0i 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 /\ 3 e. ZZ ) -> ( 2 ^ 3 ) =/= 0 )
79	76, 77, 67, 78	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 ^ 3 ) =/= 0
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ 3 ) =/= 0 )
81	20, 75, 80	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ 3 ) x. ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 3 ) ) ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
82	71, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 8 x. ( 2 ^ ( ( N + 1 ) - 3 ) ) ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
83	56, 59, 82	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. k e. ZZ ( 8 x. k ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
84		8nn 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 8 e. NN
85		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN0
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. NN0 )
87	86, 18	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. NN0 )
88	87	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. ZZ )
89		zdiv 11447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 8 e. NN /\ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( E. k e. ZZ ( 8 x. k ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <-> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) e. ZZ ) )
90	84, 88, 89	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. k e. ZZ ( 8 x. k ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <-> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) e. ZZ ) )
91	83, 90	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) e. ZZ )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) e. ZZ )
93		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> n e. ZZ )
95	92, 94	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) e. ZZ )
96	84	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 8 e. ZZ
97		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
98		8re 11105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 8 e. RR
99		2lt8 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 < 8
100	97, 98, 99	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 <_ 8
101		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 8 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 8 e. ZZ /\ 2 <_ 8 ) )
102	6, 96, 100, 101	mpbir3an 1244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. ( ZZ>= ` 2 )
103		mulp1mod1 12711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) e. ZZ /\ 8 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) mod 8 ) = 1 )
104	95, 102, 103	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) mod 8 ) = 1 )
105		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN
106		prid1g 4295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. NN -> 1 e. { 1 , 7 } )
107	105, 106	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> 1 e. { 1 , 7 } )
108	104, 107	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) /\ P = ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) ) -> ( ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
110	41, 109	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) /\ P = ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) ) -> ( P mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
111	110	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( P = ( ( 8 x. ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / 8 ) x. n ) ) + 1 ) -> ( P mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
112	39, 111	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN ) -> ( P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) -> ( P mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
113	112	3ad2antl1 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) /\ n e. NN ) -> ( P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) -> ( P mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
114	113	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) /\ n e. NN ) /\ P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) ) -> ( P mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
115		2lgs 25132	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> ( ( 2 /L P ) = 1 <-> ( P mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
116	2, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 /L P ) = 1 <-> ( P mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
117	116	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( 2 /L P ) = 1 <-> ( P mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
118	117	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) /\ n e. NN ) /\ P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) ) -> ( ( 2 /L P ) = 1 <-> ( P mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
119	114, 118	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) /\ n e. NN ) /\ P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) ) -> ( 2 /L P ) = 1 )
120	119	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) /\ n e. NN ) /\ P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) ) -> ( ( 2 /L P ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
121		prmuz2 15408	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
122		eluzelre 11698	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
123		eluz2gt1 11760	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
124	122, 123	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P e. RR /\ 1 < P ) )
125	121, 124	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> ( P e. RR /\ 1 < P ) )
126		1mod 12702	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. RR /\ 1 < P ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
127	2, 125, 126	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
128	127	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
129	128	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) /\ n e. NN ) /\ P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
130	11, 120, 129	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) /\ n e. NN ) /\ P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) ) -> ( ( 2 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = 1 )
131	130	ex 450	. . 3 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) /\ n e. NN ) -> ( P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) -> ( ( 2 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = 1 ) )
132	131	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> ( E. n e. NN P = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) -> ( ( 2 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = 1 ) )
133	5, 132	mpd 15	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( 2 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   7c7 11075   8c8 11076   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385   /Lclgs 25019  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-odz 15470  df-phi 15471  df-pc 15542  df-lgs 25020  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2  41479