Theorem fourierdlem25 40349

Description: If C is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem25.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem25.qf	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem25.cel	|- ( ph -> C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
fourierdlem25.cnel	|- ( ph -> -. C e. ran Q )
fourierdlem25.i	|- I = sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem25	|- ( ph -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, k   C, j   j, I   k, I   k, M   j, M   Q, k   Q, j

Allowed substitution hints:   ph( j, k)

Proof of Theorem fourierdlem25

Dummy variables h m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem25.i	. . 3 |- I = sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < )
2		ssrab2 3687	. . . 4 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ( 0..^ M )
3		ltso 10118	. . . . . 6 |- < Or RR
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> < Or RR )
5		fzofi 12773	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) e. Fin
6		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ( 0..^ M ) ) -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin )
7	5, 2, 6	mp2an 708	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin )
9		0zd 11389	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
10		fourierdlem25.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
11	10	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
12	10	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < M )
13		fzolb 12476	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
14	9, 11, 12, 13	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
15		fourierdlem25.qf	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
16		elfzofz 12485	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
18	15, 17	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
19	10	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN0 )
20		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
21	19, 20	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
22		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
24	15, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
25	18, 24	iccssred 39727	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) C_ RR )
26		fourierdlem25.cel	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
27	25, 26	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
28	18	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR* )
29	24	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR* )
30		iccgelb 12230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q ` 0 ) e. RR* /\ ( Q ` M ) e. RR* /\ C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ C )
31	28, 29, 26, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ C )
32		fourierdlem25.cnel	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. C e. ran Q )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> C = ( Q ` 0 ) )
34		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
35	15, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
37	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
38		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
39	36, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
40	33, 39	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> C e. ran Q )
41	32, 40	mtand 691	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. C = ( Q ` 0 ) )
42	41	neqned 2801	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C =/= ( Q ` 0 ) )
43	18, 27, 31, 42	leneltd 10191	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) < C )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( Q ` k ) = ( Q ` 0 ) )
45	44	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` 0 ) < C ) )
46	45	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( 0 e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` 0 ) < C ) )
47	14, 43, 46	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
48		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) )
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) )
50		fzossfz 12488	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
51		fzssz 12343	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... M ) C_ ZZ
52		zssre 11384	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
53	51, 52	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... M ) C_ RR
54	50, 53	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) C_ RR
55	2, 54	sstri 3612	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR
56	55	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR )
57		fisupcl 8375	. . . . 5 |- ( ( < Or RR /\ ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR ) ) -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
58	4, 8, 49, 56, 57	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ph -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
59	2, 58	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) )
60	1, 59	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
61	50, 60	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
62	15, 61	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
63	62	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR* )
64		fzofzp1 12565	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
65	60, 64	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
66	15, 65	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
67	66	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
68	1, 58	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> I e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
69		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = I -> ( Q ` k ) = ( Q ` I ) )
70	69	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( k = I -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` I ) < C ) )
71	70	elrab 3363	. . . . 5 |- ( I e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` I ) < C ) )
72	68, 71	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` I ) < C ) )
73	72	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` I ) < C )
74	54, 60	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. RR )
75		ltp1 10861	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> I < ( I + 1 ) )
76		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. RR -> I e. RR )
77		peano2re 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
78	76, 77	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> ( I < ( I + 1 ) <-> -. ( I + 1 ) <_ I ) )
79	75, 78	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( I e. RR -> -. ( I + 1 ) <_ I )
80	74, 79	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( I + 1 ) <_ I )
81	50, 51	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ M ) C_ ZZ
82	2, 81	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ )
84		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> h e. ( 0..^ M ) )
85		elfzo0le 12511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h <_ M )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> h <_ M )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } ) -> h <_ M )
88	87	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M )
89		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = M -> ( h <_ m <-> h <_ M ) )
90	89	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = M -> ( A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m <-> A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M ) )
91	90	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M ) -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
92	11, 88, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
94		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
95	65, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
97	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M e. ZZ )
98	53, 65	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. RR )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. RR )
100	97	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M e. RR )
101		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( I + 1 ) <_ M )
102	65, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( I + 1 ) <_ M )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ M )
104		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < C )
105	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
106	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> C e. RR )
107	105, 106	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C <-> -. C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
108	104, 107	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> -. C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
109		iccleub 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Q ` 0 ) e. RR* /\ ( Q ` M ) e. RR* /\ C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) ) -> C <_ ( Q ` M ) )
110	28, 29, 26, 109	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C <_ ( Q ` M ) )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` M ) )
112		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M = ( I + 1 ) -> ( Q ` M ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> ( Q ` M ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
114	111, 113	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
115	114	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
116	108, 115	mtand 691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> -. M = ( I + 1 ) )
117	116	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M =/= ( I + 1 ) )
118	99, 100, 103, 117	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) < M )
119		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) <-> ( ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ ( I + 1 ) < M ) )
120	96, 97, 118, 119	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) )
121		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( Q ` k ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
122	121	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) )
123	122	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) )
124	120, 104, 123	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
125		suprzub 11779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ /\ E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m /\ ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) )
126	83, 93, 124, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) )
127	126, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ I )
128	80, 127	mtand 691	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C )
129		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = C <-> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
130	129	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = C -> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
131	130	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
132	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
133	65	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
134		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
135	132, 133, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
136	131, 135	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> C e. ran Q )
137	32, 136	mtand 691	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C )
138	128, 137	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
139		pm4.56 516	. . . . . 6 |- ( ( -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) <-> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
140	138, 139	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
141	66, 27	leloed 10180	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C <-> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) ) )
142	140, 141	mtbird 315	. . . 4 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C )
143	27, 66	ltnled 10184	. . . 4 |- ( ph -> ( C < ( Q ` ( I + 1 ) ) <-> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C ) )
144	142, 143	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> C < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
145	63, 67, 27, 73, 144	eliood 39720	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
146		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( j = I -> ( Q ` j ) = ( Q ` I ) )
147		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( j = I -> ( j + 1 ) = ( I + 1 ) )
148	147	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( j = I -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
149	146, 148	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( j = I -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
150	149	eleq2d 2687	. . 3 |- ( j = I -> ( C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) <-> C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
151	150	rspcev 3309	. 2 |- ( ( I e. ( 0..^ M ) /\ C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )
152	60, 145, 151	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  fourierdlem41  40365  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem70  40393  fourierdlem71  40394  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427