Theorem fourierdlem26 40350

Description: Periodic image of a point Y that's in the period that begins with the point X. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem26.1	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem26.2	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem26.3	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem26.4	|- T = ( B - A )
fourierdlem26.5	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem26.6	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem26.7	|- ( ph -> ( E ` X ) = B )
fourierdlem26.8	|- ( ph -> Y e. ( X (,] ( X + T ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem26	|- ( ph -> ( E ` Y ) = ( A + ( Y - X ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, T   x, X   x, Y   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   E( x)

Proof of Theorem fourierdlem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem26.5	. . . 4 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
3		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> x = Y )
4	3	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( B - x ) = ( B - Y ) )
5	4	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - Y ) / T ) )
6	5	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
7	6	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) )
8	3, 7	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
9		fourierdlem26.8	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( X (,] ( X + T ) ) )
10		fourierdlem26.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. RR )
11	10	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR* )
12		fourierdlem26.4	. . . . . . . 8 |- T = ( B - A )
13		fourierdlem26.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
14		fourierdlem26.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
15	13, 14	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
16	12, 15	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. RR )
17	10, 16	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X + T ) e. RR )
18		elioc2 12236	. . . . . 6 |- ( ( X e. RR* /\ ( X + T ) e. RR ) -> ( Y e. ( X (,] ( X + T ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( X + T ) ) ) )
19	11, 17, 18	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y e. ( X (,] ( X + T ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( X + T ) ) ) )
20	9, 19	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( X + T ) ) )
21	20	simp1d 1073	. . 3 |- ( ph -> Y e. RR )
22	13, 21	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - Y ) e. RR )
23		fourierdlem26.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A < B )
24	14, 13	posdifd 10614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
25	23, 24	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
26	25, 12	syl6breqr 4695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < T )
27	26	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T =/= 0 )
28	22, 16, 27	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) e. RR )
29	28	flcld 12599	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. ZZ )
30	29	zred 11482	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. RR )
31	30, 16	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) e. RR )
32	21, 31	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
33	2, 8, 21, 32	fvmptd 6288	. 2 |- ( ph -> ( E ` Y ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
34	10	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. CC )
35	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. CC )
36	34, 35	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + ( Y - X ) ) = Y )
37	36	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y = ( X + ( Y - X ) ) )
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - Y ) = ( B - ( X + ( Y - X ) ) ) )
39	13	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
40	35, 34	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y - X ) e. CC )
41	39, 34, 40	subsub4d 10423	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) = ( B - ( X + ( Y - X ) ) ) )
42	38, 41	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - Y ) = ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) )
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) = ( ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) / T ) )
44	13, 10	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR )
45	44	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - X ) e. CC )
46	16	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
47	45, 40, 46, 27	divsubdird 10840	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) / T ) = ( ( ( B - X ) / T ) - ( ( Y - X ) / T ) ) )
48	40, 46, 27	divnegd 10814	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( Y - X ) / T ) = ( -u ( Y - X ) / T ) )
49	35, 34	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( Y - X ) = ( X - Y ) )
50	49	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u ( Y - X ) / T ) = ( ( X - Y ) / T ) )
51	48, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( Y - X ) / T ) = ( ( X - Y ) / T ) )
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + -u ( ( Y - X ) / T ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
53	44, 16, 27	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. RR )
54	53	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. CC )
55	40, 46, 27	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - X ) / T ) e. CC )
56	54, 55	negsubd 10398	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + -u ( ( Y - X ) / T ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - ( ( Y - X ) / T ) ) )
57		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
58	54, 57	npcand 10396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) = ( ( B - X ) / T ) )
59	58	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
61	54, 57	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) e. CC )
62	34, 35	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X - Y ) e. CC )
63	62, 46, 27	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X - Y ) / T ) e. CC )
64	61, 57, 63	addassd 10062	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
65	60, 64	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
66	52, 56, 65	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - ( ( Y - X ) / T ) ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
67	43, 47, 66	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) )
69	10, 21	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X - Y ) e. RR )
70	16, 69	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T + ( X - Y ) ) e. RR )
71	16, 26	elrpd 11869	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. RR+ )
72	34, 46	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + T ) = ( T + X ) )
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X (,] ( X + T ) ) = ( X (,] ( T + X ) ) )
74	9, 73	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. ( X (,] ( T + X ) ) )
75	16, 10	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T + X ) e. RR )
76		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. RR* /\ ( T + X ) e. RR ) -> ( Y e. ( X (,] ( T + X ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( T + X ) ) ) )
77	11, 75, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Y e. ( X (,] ( T + X ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( T + X ) ) ) )
78	74, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( T + X ) ) )
79	78	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y <_ ( T + X ) )
80	21, 10, 16	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y - X ) <_ T <-> Y <_ ( T + X ) ) )
81	79, 80	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y - X ) <_ T )
82	21, 10	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y - X ) e. RR )
83	16, 82	subge0d 10617	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 <_ ( T - ( Y - X ) ) <-> ( Y - X ) <_ T ) )
84	81, 83	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( T - ( Y - X ) ) )
85	46, 35, 34	subsub2d 10421	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T - ( Y - X ) ) = ( T + ( X - Y ) ) )
86	84, 85	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( T + ( X - Y ) ) )
87	70, 71, 86	divge0d 11912	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( T + ( X - Y ) ) / T ) )
88	46, 62, 46, 27	divdird 10839	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T + ( X - Y ) ) / T ) = ( ( T / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
89	46, 27	dividd 10799	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T / T ) = 1 )
90	89	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 = ( T / T ) )
91	90	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( T / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
92	88, 91	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T + ( X - Y ) ) / T ) = ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) )
93	87, 92	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) )
94	20	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X < Y )
95	10, 21	sublt0d 10653	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X - Y ) < 0 <-> X < Y ) )
96	94, 95	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X - Y ) < 0 )
97	69, 71, 96	divlt0gt0d 39498	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X - Y ) / T ) < 0 )
98	69, 16, 27	redivcld 10853	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X - Y ) / T ) e. RR )
99		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
100		ltaddneg 10251	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X - Y ) / T ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( X - Y ) / T ) < 0 <-> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) )
101	98, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X - Y ) / T ) < 0 <-> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) )
102	97, 101	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 )
103	53	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
104	103	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. CC )
105	104, 46	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) e. CC )
106	34, 105	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
107	106	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) = ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) )
108	107	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) / T ) )
109	104, 46, 27	divcan4d 10807	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
110		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = X -> x = X )
111		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = X -> ( B - x ) = ( B - X ) )
112	111	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = X -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
113	112	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = X -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
114	113	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = X -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
115	110, 114	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = X -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
117		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B - X ) / T ) e. RR -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. RR )
118	53, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. RR )
119	118, 16	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) e. RR )
120	10, 119	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
121	2, 116, 10, 120	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` X ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
122	121	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) = ( E ` X ) )
123	122	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) = ( ( E ` X ) - X ) )
124	123	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) / T ) = ( ( ( E ` X ) - X ) / T ) )
125		fourierdlem26.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ` X ) = B )
126	125	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` X ) - X ) = ( B - X ) )
127	126	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) - X ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
128	124, 127	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
129	108, 109, 128	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) = ( ( B - X ) / T ) )
130	129, 103	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. ZZ )
131		1zzd 11408	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
132	130, 131	zsubcld 11487	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) e. ZZ )
133	99, 98	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) e. RR )
134		flbi2 12618	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) e. ZZ /\ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) <-> ( 0 <_ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) /\ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) ) )
135	132, 133, 134	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) <-> ( 0 <_ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) /\ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) ) )
136	93, 102, 135	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) )
137	129	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
138	137	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) )
139	68, 136, 138	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) )
140	139	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) )
141	140	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) )
142	37	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( Y + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) )
143	104, 57, 46	subdird 10487	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) )
144	143	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) ) )
145	34, 40	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X + ( Y - X ) ) e. CC )
146	57, 46	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. T ) e. CC )
147	145, 105, 146	addsubassd 10412	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) ) )
148	147	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) ) = ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) )
149	34, 40, 105	add32d 10263	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) )
150	149	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) - ( 1 x. T ) ) )
151	122	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) = ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) )
152	46	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. T ) = T )
153	151, 152	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) - T ) )
154	125, 13	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ` X ) e. RR )
155	154	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ` X ) e. CC )
156	155, 40, 46	addsubd 10413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) - T ) = ( ( ( E ` X ) - T ) + ( Y - X ) ) )
157	125	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` X ) - T ) = ( B - T ) )
158	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T = ( B - A ) )
159	158	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - T ) = ( B - ( B - A ) ) )
160	14	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
161	39, 160	nncand 10397	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - ( B - A ) ) = A )
162	157, 159, 161	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ` X ) - T ) = A )
163	162	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) - T ) + ( Y - X ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
164	156, 163	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) - T ) = ( A + ( Y - X ) ) )
165	150, 153, 164	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
166	144, 148, 165	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
167	142, 166	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( Y + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
168	33, 141, 167	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( E ` Y ) = ( A + ( Y - X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   ZZcz 11377   (,]cioc 12176   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioc 12180  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  fourierdlem65  40388  fourierdlem79  40402