Theorem fourierdlem37 40361

Description: I is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem37.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem37.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem37.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem37.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem37.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem37.l	|- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem37.i	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem37	|- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, p   x, A, y   B, m, p   x, B, y   i, E   y, E   i, L   i, M, m, p   x, M, i   Q, i, p   x, T   ph, i, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( i)   B( i)   P( x, y, i, m, p)   Q( x, y, m)   T( y, i, m, p)   E( x, m, p)   I( x, y, i, m, p)   L( x, y, m, p)   M( y)

Proof of Theorem fourierdlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . 4 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0..^ M )
2		ltso 10118	. . . . . 6 |- < Or RR
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> < Or RR )
4		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 0 ... M ) e. Fin
5		fzossfz 12488	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
6	1, 5	sstri 3612	. . . . . . 7 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0 ... M )
7		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ... M ) e. Fin /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0 ... M ) ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin )
8	4, 6, 7	mp2an 708	. . . . . 6 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin )
10		0zd 11389	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
11		fourierdlem37.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
12	11	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
13	11	nngt0d 11064	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < M )
14		fzolb 12476	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. ( 0..^ M ) )
17		fourierdlem37.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
18		fourierdlem37.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
19	18	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
21	17, 20	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
22	21	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
23	22	simplld 791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
24	18, 11, 17	fourierdlem11 40335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
25	24	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR )
26	23, 25	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
27	26, 23	eqled 10140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ A )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ A )
29		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E ` x ) = B -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) = A )
30	29	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` x ) = B -> A = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> A = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
32	28, 31	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
33	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
34	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. RR )
35	34	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. RR* )
36	24	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> B e. RR )
38		iocssre 12253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
39	35, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
40	24	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A < B )
41		fourierdlem37.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( B - A )
42		fourierdlem37.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
43	25, 36, 40, 41, 42	fourierdlem4 40328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
44	43	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) e. ( A (,] B ) )
45	39, 44	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) e. RR )
46	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) = A )
47		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) ) )
48	35, 37, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) ) )
49	44, 48	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) )
50	49	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A < ( E ` x ) )
51	46, 50	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) < ( E ` x ) )
52	33, 45, 51	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( E ` x ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( E ` x ) )
54		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( E ` x ) = B -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) = ( E ` x ) )
55	54	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( E ` x ) = B -> ( E ` x ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( E ` x ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
57	53, 56	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
58	32, 57	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
59		fourierdlem37.l	. . . . . . . . . 10 |- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) ) )
61		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( E ` x ) -> ( y = B <-> ( E ` x ) = B ) )
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( E ` x ) -> y = ( E ` x ) )
63	61, 62	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( E ` x ) -> if ( y = B , A , y ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ y = ( E ` x ) ) -> if ( y = B , A , y ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
65	34, 45	ifcld 4131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) e. RR )
66	60, 64, 44, 65	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( L ` ( E ` x ) ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
67	58, 66	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( Q ` i ) = ( Q ` 0 ) )
69	68	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) <-> ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) ) )
70	69	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } <-> ( 0 e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) ) )
71	16, 67, 70	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
72		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) )
73	71, 72	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) )
74		fzssz 12343	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... M ) C_ ZZ
75	5, 74	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ZZ
76		zssre 11384	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR
77	75, 76	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) C_ RR
78	1, 77	sstri 3612	. . . . . 6 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR )
80		fisupcl 8375	. . . . 5 |- ( ( < Or RR /\ ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR ) ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
81	3, 9, 73, 79, 80	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
82	1, 81	sseldi 3601	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) )
83		fourierdlem37.i	. . 3 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
84	82, 83	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> I : RR --> ( 0..^ M ) )
85	81	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) )
86	84, 85	jca 554	1 |- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   (,]cioc 12176   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioc 12180  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  40402  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414