Theorem fourierdlem38 40362

Description: The function F is continuous on every interval induced by the partition Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem38.cn	|- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
fourierdlem38.p	|- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem38.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem38.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem38.h	|- H = ( A u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
fourierdlem38.ranq	|- ( ph -> ran Q = H )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem38	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   i, F   i, M, n, p   Q, i, p   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( n, p)   A( i, n, p)   P( i, n, p)   Q( n)   F( n, p)   H( i, n, p)

Proof of Theorem fourierdlem38

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
2		simplll 798	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> ph )
3		ioossicc 12259	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
4		pire 24210	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR
5	4	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
6	5	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR*
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR* )
8	4	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR*
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR* )
10		fourierdlem38.p	. . . . . . . . . . . 12 |- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
11		fourierdlem38.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
12		fourierdlem38.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
13	10, 11, 12	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
15		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
16	7, 9, 14, 15	fourierdlem8 40332	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
17	3, 16	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
18	17	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
19	18	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
20		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. dom F )
21		simpllr 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> i e. ( 0..^ M ) )
22	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) /\ -. x e. dom F ) -> M e. NN )
23	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) /\ -. x e. dom F ) -> Q e. ( P ` M ) )
24		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
25		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. dom F )
26	24, 25	eldifd 3585	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
27		elun2 3781	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) -> x e. ( A u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( A u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) ) )
29		fourierdlem38.ranq	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran Q = H )
30		fourierdlem38.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( A u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
31	29, 30	syl6req 2673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) ) = ran Q )
32	31	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) /\ -. x e. dom F ) -> ( A u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) ) = ran Q )
33	28, 32	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ran Q )
34	10, 22, 23, 33	fourierdlem12 40336	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] pi ) /\ -. x e. dom F ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
35	2, 19, 20, 21, 34	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
36	1, 35	condan 835	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
37	36	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x e. dom F )
38		dfss3 3592	. . 3 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x e. dom F )
39	37, 38	sylibr 224	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F )
40		fourierdlem38.cn	. . 3 |- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
41	40	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
42		rescncf 22700	. 2 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
43	39, 41, 42	sylc 65	1 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   -ucneg 10267   NNcn 11020   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   picpi 14797   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437