Theorem fourierdlem84 40407

Description: If F is piecewise coninuous and D is continuous, then G is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem84.1	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem84.2	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem84.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem84.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem84.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A + X ) /\ ( p ` m ) = ( B + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem84.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem84.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem84.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem84.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
fourierdlem84.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem84.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem84.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem84.d	|- ( ph -> D e. ( RR -cn-> RR ) )
fourierdlem84.g	|- G = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem84	|- ( ph -> G e. L^1 )

Distinct variable groups:   A, i, m, p   A, s, i   B, i, m, p   B, s   D, s   F, s   i, G   L, s   i, M, s   m, M, p   Q, i, s   Q, p   R, s   i, V, s   V, p   i, X, s   m, X, p   ph, i, s

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   D( i, m, p)   P( i, m, s, p)   Q( m)   R( i, m, p)   F( i, m, p)   G( m, s, p)   L( i, m, p)   O( i, m, s, p)   V( m)

Proof of Theorem fourierdlem84

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem84.o	. 2 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
2		fourierdlem84.m	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem84.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		fourierdlem84.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		fourierdlem84.xre	. . 3 |- ( ph -> X e. RR )
6		fourierdlem84.p	. . 3 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A + X ) /\ ( p ` m ) = ( B + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
7		fourierdlem84.v	. . 3 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
8		fourierdlem84.q	. . 3 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
9	3, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8	fourierdlem14 40338	. 2 |- ( ph -> Q e. ( O ` M ) )
10		fourierdlem84.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : RR --> RR )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> F : RR --> RR )
12	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> X e. RR )
13	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
14	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
15		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
16		eliccre 39728	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s e. RR )
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s e. RR )
18	12, 17	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
19	11, 18	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
20		fourierdlem84.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( RR -cn-> RR ) )
21		cncff 22696	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( RR -cn-> RR ) -> D : RR --> RR )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> D : RR --> RR )
23	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> D : RR --> RR )
24	23, 17	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( D ` s ) e. RR )
25	19, 24	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) e. RR )
26	25	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) e. CC )
27		fourierdlem84.g	. . 3 |- G = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) )
28	26, 27	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> G : ( A [,] B ) --> CC )
29	27	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> G = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) )
30	29	reseq1d 5395	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
31		ioossicc 12259	. . . . . 6 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
32	3	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A e. RR* )
34	4	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> B e. RR* )
36	1, 2, 9	fourierdlem15 40339	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
38		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
39	33, 35, 37, 38	fourierdlem8 40332	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
40	31, 39	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
41	40	resmptd 5452	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) )
42	30, 41	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) )
43	3, 5	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
44	4, 5	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
45	43, 44	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) C_ RR )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) C_ RR )
47	6, 2, 7	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) )
49		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
51	48, 50	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) )
52	46, 51	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
53	52	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
55		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
57	48, 56	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. ( ( A + X ) [,] ( B + X ) ) )
58	46, 57	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
59	58	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
61	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
62		elioore 12205	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. RR )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
64	61, 63	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
65	5	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X e. CC )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. CC )
67	3, 4	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
69	37, 50	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) )
70	68, 69	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
71	70	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. CC )
72	66, 71	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( Q ` i ) ) = ( ( Q ` i ) + X ) )
73	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. RR )
74	52, 73	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
75	8	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
76	50, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) )
78	52	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. CC )
79	78, 66	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) = ( V ` i ) )
80	72, 77, 79	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
82	70	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
83	70	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
85	37, 68	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
86	85, 56	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
87	86	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
90		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < s )
91	84, 88, 89, 90	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < s )
92	82, 63, 61, 91	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` i ) ) < ( X + s ) )
93	81, 92	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) < ( X + s ) )
94	86	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
95		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
96	84, 88, 89, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
97	63, 94, 61, 96	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
98		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = j -> ( V ` i ) = ( V ` j ) )
99	98	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = j -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` j ) - X ) )
100	99	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
101	8, 100	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) )
103		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( V ` j ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
106	58, 73	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
107	102, 105, 56, 106	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
109	58	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
110	66, 109	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
111	108, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
113	97, 112	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
114	54, 60, 64, 93, 113	eliood 39720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
115		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
116	114, 115	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
117	116	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
118	117	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
119		ioosscn 39716	. . . . . . 7 |- ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
120	119	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
121		fourierdlem84.fcn	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
122		ioosscn 39716	. . . . . . 7 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
123	122	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
124	120, 121, 123, 66, 114	fourierdlem23 40347	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
125	118, 124	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
126		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) = ( s e. RR |-> ( D ` s ) )
127		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
128		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
129		cncfss 22702	. . . . . . . 8 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( RR -cn-> RR ) C_ ( RR -cn-> CC ) )
130	127, 128, 129	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( RR -cn-> RR ) C_ ( RR -cn-> CC )
131	22	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D = ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) )
132	131	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) = D )
133	132, 20	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
134	130, 133	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
135	134	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
136	40, 68	sstrd 3613	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
137	128	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> CC C_ CC )
138	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> D : RR --> RR )
139	62	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
140	138, 139	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( D ` s ) e. RR )
141	140	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( D ` s ) e. CC )
142	141	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( D ` s ) e. CC )
143	126, 135, 136, 137, 142	cncfmptssg 40083	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( D ` s ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
144	125, 143	mulcncf 23215	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
145	42, 144	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
146		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) )
147		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( D ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( D ` s ) )
148		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) )
149	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> F : RR --> RR )
150	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
151	150, 139	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
152	149, 151	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
153	152	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
154	153	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
155	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> F : RR --> RR )
156		ioossre 12235	. . . . . 6 |- ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
157	156	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
158	82, 91	gtned 10172	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s =/= ( Q ` i ) )
159		fourierdlem84.r	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
160	80	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` i ) ) ) )
161	159, 160	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` i ) ) ) )
162	155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71	fourierdlem53 40376	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
163		limcresi 23649	. . . . . 6 |- ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) C_ ( ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) )
164	130, 20	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. ( RR -cn-> CC ) )
165	164	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> D e. ( RR -cn-> CC ) )
166	165, 70	cnlimci 23653	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` ( Q ` i ) ) e. ( D lim CC ( Q ` i ) ) )
167	131	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
168	167	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
169	166, 168	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` ( Q ` i ) ) e. ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
170	163, 169	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` ( Q ` i ) ) e. ( ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
171	136	resmptd 5452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( D ` s ) ) )
172	171	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
173	170, 172	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` ( Q ` i ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
174	146, 147, 148, 154, 142, 162, 173	mullimc 39848	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( R x. ( D ` ( Q ` i ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
175	27	reseq1i 5392	. . . . 5 |- ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
176	175, 41	syl5req 2669	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) = ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
177	176	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
178	174, 177	eleqtrd 2703	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( R x. ( D ` ( Q ` i ) ) ) e. ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
179	63, 96	ltned 10173	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s =/= ( Q ` ( i + 1 ) ) )
180		fourierdlem84.l	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
181	111	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
182	181	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
183	180, 182	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
184	86	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. CC )
185	155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184	fourierdlem53 40376	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
186		limcresi 23649	. . . . . 6 |- ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) )
187	165, 86	cnlimci 23653	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( D lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
188	131	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
189	188	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
190	187, 189	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
191	186, 190	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
192	171	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( s e. RR |-> ( D ` s ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
193	191, 192	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( D ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( D ` s ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
194	146, 147, 148, 154, 142, 185, 193	mullimc 39848	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( L x. ( D ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
195	176	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( D ` s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
196	194, 195	eleqtrd 2703	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( L x. ( D ` ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
197	1, 2, 9, 28, 145, 178, 196	fourierdlem69 40392	1 |- ( ph -> G e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   -cn->ccncf 22679   L^1cibl 23386   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem112  40435