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Mathbox for Glauco Siliprandi |
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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fourierdlem75 | Structured version Visualization version Unicode version | ||
Description: Given a piecewise smooth
function  , the derived
function  has
a limit at the lower bound of each interval of the partition  .
(Contributed by Glauco Siliprandi,
11-Dec-2019.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| fourierdlem75.xre |
        |
| fourierdlem75.p |
      
        ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}   ..^    |
| fourierdlem75.f |
  |
| fourierdlem75.x |
  |
| fourierdlem75.y |
 
  lim |
| fourierdlem75.w |
 |
| fourierdlem75.h |
 ![[,]](_icc.gif "[,]"){kind=small}     |
| fourierdlem75.m |
 |
| fourierdlem75.v |
|
| fourierdlem75.r |
..^  lim |
| fourierdlem75.q |
|
| fourierdlem75.o |
..^ |
| fourierdlem75.g |
  |
| fourierdlem75.gcn |
..^ |
| fourierdlem75.e |
lim |
| fourierdlem75.a |
 |
| Ref | Expression |
|---|---|
| fourierdlem75 |
..^ lim |
, , , ,,, ,, ,, , , ,, , , ,,, ,
, ,,(,) (,,,) (,,,) ()
(,,) (,,) (,,) (,,,) (,,)
(,,,)
() (,,) (,,)
are mutually distinct and distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | fourierdlem75.xre |
. . . . 5
| |
| 2 | 1 | ad2antrr 762 |
. . . 4
..^ |
| 3 | fourierdlem75.v |
. . . . . . . . . 10
| |
| 4 | fourierdlem75.m |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 5 | fourierdlem75.p |
. . . . . . . . . . . 12
..^ | |
| 6 | 5 | fourierdlem2 40326 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 7 | 4, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 8 | 3, 7 | mpbid 222 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 9 | 8 | simpld 475 |
. . . . . . . 8
|
| 10 | elmapi 7879 |
. . . . . . . 8
| |
| 11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . . . 7
|
| 12 | 11 | adantr 481 |
. . . . . 6
..^ |
| 13 | fzofzp1 12565 |
. . . . . . 7
..^
| |
| 14 | 13 | adantl 482 |
. . . . . 6
..^ |
| 15 | 12, 14 | ffvelrnd 6360 |
. . . . 5
..^ |
| 16 | 15 | adantr 481 |
. . . 4
..^ |
| 17 | eqcom 2629 |
. . . . . . 7
| |
| 18 | 17 | biimpi 206 |
. . . . . 6
|
| 19 | 18 | adantl 482 |
. . . . 5
..^ |
| 20 | 8 | simprrd 797 |
. . . . . . 7
..^ |
| 21 | 20 | r19.21bi 2932 |
. . . . . 6
..^ |
| 22 | 21 | adantr 481 |
. . . . 5
..^ |
| 23 | 19, 22 | eqbrtrd 4675 |
. . . 4
..^ |
| 24 | fourierdlem75.f |
. . . . . . 7
| |
| 25 | 24 | adantr 481 |
. . . . . 6
..^ |
| 26 | ioossre 12235 |
. . . . . . 7
 | |
| 27 | 26 | a1i 11 |
. . . . . 6
..^
|
| 28 | 25, 27 | fssresd 6071 |
. . . . 5
..^ |
| 29 | 28 | adantr 481 |
. . . 4
..^ |
| 30 | limcresi 23649 |
. . . . . . . 8
lim lim | |
| 31 | fourierdlem75.y |
. . . . . . . 8
lim | |
| 32 | 30, 31 | sseldi 3601 |
. . . . . . 7
lim |
| 33 | 32 | adantr 481 |
. . . . . 6
..^ lim |
| 34 | pnfxr 10092 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 35 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 36 | 15 | rexrd 10089 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 37 | 15 | ltpnfd 11955 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 38 | 36, 35, 37 | xrltled 39486 |
. . . . . . . . 9
..^  |
| 39 | iooss2 12211 |
. . . . . . . . 9
| |
| 40 | 35, 38, 39 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
..^
|
| 41 | 40 | resabs1d 5428 |
. . . . . . 7
..^ |
| 42 | 41 | oveq1d 6665 |
. . . . . 6
..^
lim lim |
| 43 | 33, 42 | eleqtrd 2703 |
. . . . 5
..^ lim |
| 44 | 43 | adantr 481 |
. . . 4
..^ lim |
| 45 | eqid 2622 |
. . . 4
| |
| 46 | ax-resscn 9993 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 47 | 46 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
|
| 48 | 24, 47 | fssd 6057 |
. . . . . . . . . 10
|
| 49 | ssid 3624 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 50 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
|
| 51 | 26 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
|
| 52 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . 11
 ℂfld ℂfld | |
| 53 | 52 | tgioo2 22606 |
. . . . . . . . . . 11
 ℂfld
↾t |
| 54 | 52, 53 | dvres 23675 |
. . . . . . . . . 10
|
| 55 | 47, 48, 50, 51, 54 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . 9
|
| 56 | fourierdlem75.g |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 57 | 56 | eqcomi 2631 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | ioontr 39736 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 59 | 57, 58 | reseq12i 5394 |
. . . . . . . . 9
|
| 60 | 55, 59 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . 8
|
| 61 | 60 | adantr 481 |
. . . . . . 7
|
| 62 | 61 | dmeqd 5326 |
. . . . . 6
|
| 63 | 62 | adantlr 751 |
. . . . 5
..^
|
| 64 | fourierdlem75.gcn |
. . . . . . . . 9
..^ | |
| 65 | 64 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 66 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 67 | 66 | reseq2d 5396 |
. . . . . . . . . 10
|
| 68 | 67 | feq1d 6030 |
. . . . . . . . 9
|
| 69 | 68 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
..^
|
| 70 | 65, 69 | mpbid 222 |
. . . . . . 7
..^ |
| 71 | 66 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 72 | 71 | feq2d 6031 |
. . . . . . 7
..^
|
| 73 | 70, 72 | mpbid 222 |
. . . . . 6
..^ |
| 74 | fdm 6051 |
. . . . . 6
| |
| 75 | 73, 74 | syl 17 |
. . . . 5
..^
|
| 76 | 63, 75 | eqtrd 2656 |
. . . 4
..^
|
| 77 | limcresi 23649 |
. . . . . . . 8
lim lim | |
| 78 | fourierdlem75.e |
. . . . . . . 8
lim | |
| 79 | 77, 78 | sseldi 3601 |
. . . . . . 7
lim |
| 80 | 79 | adantr 481 |
. . . . . 6
..^ lim |
| 81 | 40 | resabs1d 5428 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 82 | 60 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
..^
|
| 83 | 81, 82 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . 7
..^
|
| 84 | 83 | oveq1d 6665 |
. . . . . 6
..^
lim lim |
| 85 | 80, 84 | eleqtrd 2703 |
. . . . 5
..^ lim |
| 86 | 85 | adantr 481 |
. . . 4
..^
lim |
| 87 | eqid 2622 |
. . . 4
| |
| 88 | oveq2 6658 |
. . . . . . 7
| |
| 89 | 88 | fveq2d 6195 |
. . . . . 6
|
| 90 | 89 | oveq1d 6665 |
. . . . 5
|
| 91 | 90 | cbvmptv 4750 |
. . . 4
|
| 92 | id 22 |
. . . . 5
| |
| 93 | 92 | cbvmptv 4750 |
. . . 4
|
| 94 | 2, 16, 23, 29, 44, 45, 76, 86, 87, 91, 93 | fourierdlem61 40384 |
. . 3
..^ lim |
| 95 | fourierdlem75.a |
. . . . 5
| |
| 96 | iftrue 4092 |
. . . . 5
| |
| 97 | 95, 96 | syl5eq 2668 |
. . . 4
|
| 98 | 97 | adantl 482 |
. . 3
..^ |
| 99 | fourierdlem75.h |
. . . . . . 7
| |
| 100 | 99 | reseq1i 5392 |
. . . . . 6
|
| 101 | 100 | a1i 11 |
. . . . 5
..^
|
| 102 | ioossicc 12259 |
. . . . . . . 8
| |
| 103 | pire 24210 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 104 | 103 | renegcli 10342 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 105 | 104 | rexri 10097 |
. . . . . . . . . 10
|
| 106 | 105 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 107 | 103 | rexri 10097 |
. . . . . . . . . 10
|
| 108 | 107 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 109 | 104 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 110 | 103 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 111 | 104 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 112 | 111, 1 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 113 | 103 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 113, 1 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 112, 114 | iccssred 39727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 116 | 115 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 117 | 5, 4, 3 | fourierdlem15 40339 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | 116, 118 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 120 | 1 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 119, 120 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 111 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 123 | 1 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 124 | 122, 123 | pncand 10393 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 125 | 124 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | 112 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 128 | 114 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 129 | elicc2 12238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 130 | 127, 128, 129 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 131 | 118, 130 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 132 | 131 | simp2d 1074 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 133 | 127, 119, 120, 132 | lesub1dd 10643 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 134 | 126, 133 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 135 | 131 | simp3d 1075 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 136 | 119, 128, 120, 135 | lesub1dd 10643 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 137 | 110 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 138 | 123 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 139 | 137, 138 | pncand 10393 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 140 | 136, 139 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 141 | 109, 110, 121, 134, 140 | eliccd 39726 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 142 | fourierdlem75.q |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 143 | 141, 142 | fmptd 6385 |
. . . . . . . . . 10
|
| 144 | 143 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 145 | simpr 477 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ | |
| 146 | 106, 108, 144, 145 | fourierdlem8 40332 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 147 | 102, 146 | syl5ss 3614 |
. . . . . . 7
..^ |
| 148 | 147 | resmptd 5452 |
. . . . . 6
..^
|
| 149 | 148 | adantr 481 |
. . . . 5
..^
|
| 150 | elfzofz 12485 |
. . . . . . . 8
..^
| |
| 151 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 152 | 142 | fvmpt2 6291 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 151, 141, 152 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 156 | 155 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
|
| 157 | 123 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
|
| 158 | 157 | subidd 10380 |
. . . . . . . . 9
|
| 159 | 154, 156, 158 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . 8
|
| 160 | 150, 159 | sylanl2 683 |
. . . . . . 7
..^ |
| 161 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 162 | 161 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 163 | 162 | cbvmptv 4750 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 164 | 142, 163 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | 164 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 166 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 167 | 166 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . 10
|
| 168 | 167 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 169 | 1 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 170 | 15, 169 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 171 | 165, 168, 14, 170 | fvmptd 6288 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 172 | 171 | adantr 481 |
. . . . . . 7
..^ |
| 173 | 160, 172 | oveq12d 6668 |
. . . . . 6
..^ |
| 174 | simplr 792 |
. . . . . . . . . 10
..^
| |
| 175 | fourierdlem75.o |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ | |
| 176 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 177 | 111, 113, 1, 5, 175, 4, 3, 142 | fourierdlem14 40338 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 178 | 177 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 179 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 180 | fourierdlem75.x |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 181 | ffn 6045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 | |
| 182 | fvelrnb 6243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 | |
| 183 | 117, 181, 182 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 184 | 180, 183 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 185 | 159 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 186 | 185 | reximdva 3017 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 187 | 184, 186 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 188 | 121, 142 | fmptd 6385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 189 | ffn 6045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 190 | fvelrnb 6243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 191 | 188, 189, 190 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 192 | 187, 191 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 193 | 192 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 194 | 179, 193 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 195 | 175, 176, 178, 194 | fourierdlem12 40336 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ 
|
| 196 | 195 | an32s 846 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 197 | 196 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 198 | 174, 197 | pm2.65da 600 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 199 | 198 | adantlr 751 |
. . . . . . . 8
..^
|
| 200 | 199 | iffalsed 4097 |
. . . . . . 7
..^
|
| 201 | 160 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 202 | 201 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 203 | elioo3g 12204 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 204 | 203 | biimpi 206 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 205 | 204 | simprld 795 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 206 | 205 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 207 | 202, 206 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 208 | 207 | iftrued 4094 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 209 | 208 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . 8
..^
|
| 210 | 209 | oveq1d 6665 |
. . . . . . 7
..^
|
| 211 | 1 | rexrd 10089 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 212 | 211 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 213 | 36 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 214 | 169 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 215 | elioore 12205 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 216 | 215 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 217 | 214, 216 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 218 | 216, 207 | elrpd 11869 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
 |
| 219 | 214, 218 | ltaddrpd 11905 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 220 | 215 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 221 | 188 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 222 | 221, 14 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 223 | 222 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 224 | 1 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 225 | 204 | simprrd 797 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 226 | 225 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 227 | 220, 223, 224, 226 | ltadd2dd 10196 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 228 | 171 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 229 | 123 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 230 | 15 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 231 | 229, 230 | pncan3d 10395 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 232 | 228, 231 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 233 | 232 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 234 | 227, 233 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 235 | 234 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 236 | 212, 213, 217, 219, 235 | eliood 39720 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 237 | fvres 6207 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 238 | 236, 237 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 239 | 238 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 240 | 239 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . 8
..^
|
| 241 | 240 | oveq1d 6665 |
. . . . . . 7
..^
|
| 242 | 200, 210, 241 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . 6
..^
|
| 243 | 173, 242 | mpteq12dva 4732 |
. . . . 5
..^
|
| 244 | 101, 149, 243 | 3eqtrd 2660 |
. . . 4
..^
|
| 245 | 244, 160 | oveq12d 6668 |
. . 3
..^ lim lim |
| 246 | 94, 98, 245 | 3eltr4d 2716 |
. 2
..^ lim |
| 247 | eqid 2622 |
. . . . 5
| |
| 248 | eqid 2622 |
. . . . 5
| |
| 249 | eqid 2622 |
. . . . 5
| |
| 250 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 251 | 1 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 252 | 215 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 253 | 251, 252 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . 10
|
| 254 | 250, 253 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . 9
|
| 255 | 254 | recnd 10068 |
. . . . . . . 8
|
| 256 | 255 | adantlr 751 |
. . . . . . 7
..^ |
| 257 | 256 | 3adantl3 1219 |
. . . . . 6
..^ |
| 258 | limccl 23639 |
. . . . . . . . . 10
lim | |
| 259 | 258, 31 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . 9
|
| 260 | fourierdlem75.w |
. . . . . . . . . 10
| |
| 261 | 260 | recnd 10068 |
. . . . . . . . 9
|
| 262 | 259, 261 | ifcld 4131 |
. . . . . . . 8
|
| 263 | 262 | adantr 481 |
. . . . . . 7
|
| 264 | 263 | 3ad2antl1 1223 |
. . . . . 6
..^ |
| 265 | 257, 264 | subcld 10392 |
. . . . 5
..^
|
| 266 | 215 | recnd 10068 |
. . . . . . 7
|
| 267 | 266 | adantl 482 |
. . . . . 6
..^ |
| 268 | velsn 4193 |
. . . . . . . 8
| |
| 269 | 198, 268 | sylnibr 319 |
. . . . . . 7
..^
|
| 270 | 269 | 3adantl3 1219 |
. . . . . 6
..^
|
| 271 | 267, 270 | eldifd 3585 |
. . . . 5
..^ ![\](setminus.gif "\"){kind=small} |
| 272 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 273 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 274 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 275 | 261 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 276 | ioossre 12235 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 277 | 276 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 278 | 150, 119 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ |
| 279 | 278 | rexrd 10089 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ |
| 280 | 279 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 281 | 36 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 282 | 253 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 283 | iccssre 12255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 284 | 104, 103, 283 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 285 | 284, 46 | sstri 3612 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 286 | 153, 141 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 287 | 150, 286 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 288 | 285, 287 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 289 | 229, 288 | addcomd 10238 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 290 | 150 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 291 | 150, 121 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 292 | 142 | fvmpt2 6291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 293 | 290, 291, 292 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 294 | 293 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 295 | 278 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 296 | 295, 229 | npcand 10396 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 297 | 289, 294, 296 | 3eqtrrd 2661 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ |
| 298 | 297 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ |
| 299 | 293, 291 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 300 | 299 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ |
| 301 | 205 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ |
| 302 | 300, 220, 224, 301 | ltadd2dd 10196 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 303 | 298, 302 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 304 | 280, 281, 282, 303, 234 | eliood 39720 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 305 | ioossre 12235 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 306 | 305 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 307 | 300, 301 | gtned 10172 |
. . . . . . . . . . 11
..^  |
| 308 | fourierdlem75.r |
. . . . . . . . . . . 12
..^ lim | |
| 309 | 297 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ lim
lim
|
| 310 | 308, 309 | eleqtrd 2703 |
. . . . . . . . . . 11
..^ lim |
| 311 | 25, 169, 277, 272, 304, 306, 307, 310, 288 | fourierdlem53 40376 |
. . . . . . . . . 10
..^
lim |
| 312 | ioosscn 39716 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 313 | 312 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 314 | 261 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 315 | 273, 313, 314, 288 | constlimc 39856 |
. . . . . . . . . 10
..^ lim |
| 316 | 272, 273, 274, 256, 275, 311, 315 | sublimc 39884 |
. . . . . . . . 9
..^
lim |
| 317 | 316 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
..^
lim |
| 318 | iftrue 4092 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 319 | 318 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
|
| 320 | 319 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
..^
|
| 321 | 215 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 322 | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
| |
| 323 | 222 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 324 | 225 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 325 | 171 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 326 | 279 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 327 | 36 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 328 | 169 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 329 | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
| |
| 330 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
| |
| 331 | 1 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 332 | 15 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ |
| 333 | 331, 332 | ltnled 10184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 334 | 330, 333 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ |
| 335 | 334 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 336 | 326, 327, 328, 329, 335 | eliood 39720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 337 | 5, 4, 3, 180 | fourierdlem12 40336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 338 | 337 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 339 | 336, 338 | condan 835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 340 | 15 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 341 | 1 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 342 | 340, 341 | suble0d 10618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 343 | 339, 342 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 344 | 325, 343 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 345 | 344 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 346 | 321, 323, 322, 324, 345 | ltletrd 10197 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 347 | 321, 322, 346 | ltnsymd 10186 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 348 | 347 | iffalsed 4097 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 349 | 348 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 350 | 349 | mpteq2dva 4744 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 351 | 350 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . 8
..^
lim
lim |
| 352 | 317, 320, 351 | 3eltr4d 2716 |
. . . . . . 7
..^
lim |
| 353 | 352 | 3adantl3 1219 |
. . . . . 6
..^
lim |
| 354 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 355 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 356 | 259 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 357 | 259 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 358 | 354, 313, 357, 288 | constlimc 39856 |
. . . . . . . . . 10
..^ lim |
| 359 | 272, 354, 355, 256, 356, 311, 358 | sublimc 39884 |
. . . . . . . . 9
..^
lim |
| 360 | 359 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
..^
lim |
| 361 | iffalse 4095 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 362 | 361 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
|
| 363 | 362 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
..^
|
| 364 | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
| |
| 365 | 299 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 366 | 215 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 367 | 1 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 368 | 278 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 369 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ | |
| 370 | 367, 368, 369 | nltled 10187 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 371 | 368, 367 | subge0d 10617 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 372 | 370, 371 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 373 | 293 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 374 | 373 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 375 | 372, 374 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ |
| 376 | 375 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 377 | 205 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 378 | 364, 365, 366, 376, 377 | lelttrd 10195 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 379 | 378 | iftrued 4094 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 380 | 379 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 381 | 380 | mpteq2dva 4744 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 382 | 381 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . 8
..^
lim
lim |
| 383 | 360, 363, 382 | 3eltr4d 2716 |
. . . . . . 7
..^
lim |
| 384 | 383 | 3adantl3 1219 |
. . . . . 6
..^
lim |
| 385 | 353, 384 | pm2.61dan 832 |
. . . . 5
..^
lim |
| 386 | 313, 248, 288 | idlimc 39858 |
. . . . . 6
..^ lim |
| 387 | 386 | 3adant3 1081 |
. . . . 5
..^ lim |
| 388 | 293 | 3adant3 1081 |
. . . . . 6
..^ |
| 389 | 295 | 3adant3 1081 |
. . . . . . 7
..^ |
| 390 | 229 | 3adant3 1081 |
. . . . . . 7
..^ |
| 391 | neqne 2802 |
. . . . . . . 8
| |
| 392 | 391 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . 7
..^ |
| 393 | 389, 390, 392 | subne0d 10401 |
. . . . . 6
..^ |
| 394 | 388, 393 | eqnetrd 2861 |
. . . . 5
..^ |
| 395 | 198 | 3adantl3 1219 |
. . . . . 6
..^
|
| 396 | 395 | neqned 2801 |
. . . . 5
..^ |
| 397 | 247, 248, 249, 265, 271, 385, 387, 394, 396 | divlimc 39888 |
. . . 4
..^ lim |
| 398 | iffalse 4095 |
. . . . . 6
| |
| 399 | 95, 398 | syl5eq 2668 |
. . . . 5
|
| 400 | 399 | 3ad2ant3 1084 |
. . . 4
..^ |
| 401 | ioossre 12235 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 402 | 401 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 403 | 24, 402 | fssresd 6071 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 404 | 401, 47 | syl5ss 3614 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 405 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 406 | 1 | ltpnfd 11955 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 407 | 52, 405, 1, 406 | lptioo1cn 39878 |
. . . . . . . . . . 11
 ℂfld |
| 408 | 403, 404, 407, 31 | limcrecl 39861 |
. . . . . . . . . 10
|
| 409 | 24, 1, 408, 260, 99 | fourierdlem9 40333 |
. . . . . . . . 9
|
| 410 | 409 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 411 | 410, 147 | feqresmpt 6250 |
. . . . . . 7
..^ |
| 412 | 147 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 413 | 0cnd 10033 |
. . . . . . . . . . 11
..^ | |
| 414 | 262 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ |
| 415 | 256, 414 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 416 | 266 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 417 | 198 | neqned 2801 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 418 | 415, 416, 417 | divcld 10801 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 419 | 413, 418 | ifcld 4131 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 420 | 99 | fvmpt2 6291 |
. . . . . . . . . 10
|
| 421 | 412, 419, 420 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 422 | 198 | iffalsed 4097 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 423 | 421, 422 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 424 | 423 | mpteq2dva 4744 |
. . . . . . 7
..^ |
| 425 | 411, 424 | eqtrd 2656 |
. . . . . 6
..^
|
| 426 | 425 | 3adant3 1081 |
. . . . 5
..^
|
| 427 | 426 | oveq1d 6665 |
. . . 4
..^ lim
lim |
| 428 | 397, 400, 427 | 3eltr4d 2716 |
. . 3
..^ lim |
| 429 | 428 | 3expa 1265 |
. 2
..^ lim |
| 430 | 246, 429 | pm2.61dan 832 |
1
..^ lim |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wb 196 wa 384 w3a 1037 wceq 1483 wcel 1990 wne 2794 wral 2912 wrex 2913 crab 2916 wss 3574 cif 4086 csn 4177 class class class wbr 4653
cmpt 4729 cdm 5114 crn 5115 cres 5116 wfn 5883 wf 5884 cfv 5888 (class class class)co 6650
cmap 7857
cc 9934
cr 9935
cc0 9936
c1 9937
caddc 9939 cpnf 10071 cxr 10073 clt 10074 cle 10075 cmin 10266 cneg 10267 cdiv 10684 cn 11020 cioo 12175 cicc 12178 cfz 12326 ..^cfzo 12465
cpi 14797
ctopn 16082 ctg 16098 ℂfldccnfld 19746 cnt 20821 lim climc 23626 cdv 23627 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 |
| This theorem is referenced by: fourierdlem85 40408 fourierdlem88 40411 fourierdlem103 40426 fourierdlem104 40427 |
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