Theorem fprodcncf 40114

Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcncf.a	|- ( ph -> A C_ CC )
fprodcncf.b	|- ( ph -> B e. Fin )
fprodcncf.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC )
fprodcncf.cn	|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. ( A -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodcncf	|- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) e. ( A -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   C( x, k)

Proof of Theorem fprodcncf

Dummy variables u y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. (/) C )
2	1	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( w = (/) -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) )
3	2	eleq1d 2686	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
4		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( w = z -> prod_ k e. w C = prod_ k e. z C )
5	4	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( w = z -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) )
6	5	eleq1d 2686	. 2 |- ( w = z -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
7		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( w = ( z u. { y } ) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. ( z u. { y } ) C )
8	7	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( w = ( z u. { y } ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) )
9	8	eleq1d 2686	. 2 |- ( w = ( z u. { y } ) -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
10		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( w = B -> prod_ k e. w C = prod_ k e. B C )
11	10	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( w = B -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) )
12	11	eleq1d 2686	. 2 |- ( w = B -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
13		prod0 14673	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) C = 1
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. (/) C = 1 )
15	14	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) = ( x e. A |-> 1 ) )
16		fprodcncf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ CC )
17		1cnd 10056	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
18		ssid 3624	. . . . 5 |- CC C_ CC
19	18	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
20	16, 17, 19	constcncfg 40084	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> 1 ) e. ( A -cn-> CC ) )
21	15, 20	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) e. ( A -cn-> CC ) )
22		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ u prod_ k e. ( z u. { y } ) C
23		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x ( z u. { y } )
24		nfcsb1v 3549	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ u / x ]_ C
25	23, 24	nfcprod 14641	. . . . . 6 |- F/_ x prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C
26		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> C = [_ u / x ]_ C )
27	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( x = u /\ k e. ( z u. { y } ) ) -> C = [_ u / x ]_ C )
28	27	prodeq2dv 14653	. . . . . 6 |- ( x = u -> prod_ k e. ( z u. { y } ) C = prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C )
29	22, 25, 28	cbvmpt 4749	. . . . 5 |- ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) = ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C )
30	29	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) = ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) )
31		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A )
32		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C
33		fprodcncf.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. Fin )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> B e. Fin )
35		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> z C_ B )
36		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ z C_ B ) -> z e. Fin )
37	34, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> z e. Fin )
38	37	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> z e. Fin )
39	38	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> z e. Fin )
40		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> y e. _V )
42		eldifn 3733	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ z ) -> -. y e. z )
43	42	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> -. y e. z )
44	43	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> -. y e. z )
45		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> ph )
46		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> u e. A )
47	35	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> z C_ B )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> z C_ B )
49		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> k e. z )
50	48, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> k e. B )
51		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ph /\ u e. A /\ k e. B )
52	24	nfel1 2779	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ u / x ]_ C e. CC
53	51, 52	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC )
54		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
55	54	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) <-> ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) ) )
56	26	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( C e. CC <-> [_ u / x ]_ C e. CC ) )
57	55, 56	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC ) ) )
58		fprodcncf.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC )
59	53, 57, 58	chvar 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC )
60	45, 46, 50, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> [_ u / x ]_ C e. CC )
61		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( k = y -> [_ u / x ]_ C = [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C )
62		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> ph )
63		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( B \ z ) -> y e. B )
64	63	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> y e. B )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> y e. B )
66		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
67		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> ph )
68		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> u e. A )
69		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> y e. B )
70		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k ( ph /\ u e. A /\ y e. B )
71		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k CC
72	32, 71	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC
73	70, 72	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
74		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = y -> ( k e. B <-> y e. B ) )
75	74	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = y -> ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) <-> ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) ) )
76	61	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = y -> ( [_ u / x ]_ C e. CC <-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC ) )
77	75, 76	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = y -> ( ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC ) <-> ( ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC ) ) )
78	73, 77, 59	chvar 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
79	67, 68, 69, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
80	62, 65, 66, 79	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
81	31, 32, 39, 41, 44, 60, 61, 80	fprodsplitsn 14720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C = ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) )
82	81	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) = ( u e. A |-> ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) ) )
83	82	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) = ( u e. A |-> ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) ) )
84		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ u prod_ k e. z C
85		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x z
86	85, 24	nfcprod 14641	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x prod_ k e. z [_ u / x ]_ C
87	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = u /\ k e. z ) -> C = [_ u / x ]_ C )
88	87	prodeq2dv 14653	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> prod_ k e. z C = prod_ k e. z [_ u / x ]_ C )
89	84, 86, 88	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) = ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C )
90	89	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. z C )
91	90	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) )
92		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) )
93	91, 92	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
94	93	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
95		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ y e. B )
96		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k A
97	96, 32	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C )
98		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( A -cn-> CC )
99	97, 98	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC )
100	95, 99	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ y e. B ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
101	74	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> ( ( ph /\ k e. B ) <-> ( ph /\ y e. B ) ) )
102	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = y /\ u e. A ) -> [_ u / x ]_ C = [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C )
103	102	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = y -> ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) = ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) )
104	103	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> ( ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
105	101, 104	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> ( ( ( ph /\ k e. B ) -> ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) ) <-> ( ( ph /\ y e. B ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) ) ) )
106		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ u C
107	106, 24, 26	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> C ) = ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C )
108		fprodcncf.cn	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. ( A -cn-> CC ) )
109	107, 108	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
110	100, 105, 109	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
111	64, 110	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
112	111	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
113	94, 112	mulcncf 23215	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
114	83, 113	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
115	30, 114	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) e. ( A -cn-> CC ) )
116	115	ex 450	. 2 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
117	3, 6, 9, 12, 21, 116, 33	findcard2d 8202	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) e. ( A -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   x. cmul 9941   prod_cprod 14635   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  etransclem18  40469  etransclem34  40485  etransclem46  40497