Theorem fprodcn 39832

Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcn.d	|- F/ k ph
fprodcn.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
fprodcn.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fprodcn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcn.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodcn	|- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   A, k, x   k, J   k, K   k, X, x

Allowed substitution hints:   ph( x, k)   B( x, k)   J( x)   K( x)

Proof of Theorem fprodcn

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( y = (/) -> prod_ k e. y B = prod_ k e. (/) B )
2	1	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( y = (/) -> ( x e. X |-> prod_ k e. y B ) = ( x e. X |-> prod_ k e. (/) B ) )
3	2	eleq1d 2686	. 2 |- ( y = (/) -> ( ( x e. X |-> prod_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> prod_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
4		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( y = z -> prod_ k e. y B = prod_ k e. z B )
5	4	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( y = z -> ( x e. X |-> prod_ k e. y B ) = ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) )
6	5	eleq1d 2686	. 2 |- ( y = z -> ( ( x e. X |-> prod_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) ) )
7		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( y = ( z u. { w } ) -> prod_ k e. y B = prod_ k e. ( z u. { w } ) B )
8	7	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( y = ( z u. { w } ) -> ( x e. X |-> prod_ k e. y B ) = ( x e. X |-> prod_ k e. ( z u. { w } ) B ) )
9	8	eleq1d 2686	. 2 |- ( y = ( z u. { w } ) -> ( ( x e. X |-> prod_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> prod_ k e. ( z u. { w } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
10		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( y = A -> prod_ k e. y B = prod_ k e. A B )
11	10	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( y = A -> ( x e. X |-> prod_ k e. y B ) = ( x e. X |-> prod_ k e. A B ) )
12	11	eleq1d 2686	. 2 |- ( y = A -> ( ( x e. X |-> prod_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> prod_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
13		prod0 14673	. . . . . 6 |- prod_ k e. (/) B = 1
14	13	mpteq2i 4741	. . . . 5 |- ( x e. X |-> prod_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 1 )
15		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( x = y -> 1 = 1 )
16	15	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( x e. X |-> 1 ) = ( y e. X |-> 1 )
17	14, 16	eqtri 2644	. . . 4 |- ( x e. X |-> prod_ k e. (/) B ) = ( y e. X |-> 1 )
18	17	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ k e. (/) B ) = ( y e. X |-> 1 ) )
19		fprodcn.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
20		fprodcn.k	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
21	20	cnfldtopon 22586	. . . . 5 |- K e. (TopOn ` CC )
22	21	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
23		1cnd 10056	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
24	19, 22, 23	cnmptc 21465	. . 3 |- ( ph -> ( y e. X |-> 1 ) e. ( J Cn K ) )
25	18, 24	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
26		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y prod_ k e. ( z u. { w } ) B
27		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x ( z u. { w } )
28		nfcsb1v 3549	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
29	27, 28	nfcprod 14641	. . . . . 6 |- F/_ x prod_ k e. ( z u. { w } ) [_ y / x ]_ B
30		csbeq1a 3542	. . . . . . 7 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
31	30	prodeq2ad 39824	. . . . . 6 |- ( x = y -> prod_ k e. ( z u. { w } ) B = prod_ k e. ( z u. { w } ) [_ y / x ]_ B )
32	26, 29, 31	cbvmpt 4749	. . . . 5 |- ( x e. X |-> prod_ k e. ( z u. { w } ) B ) = ( y e. X |-> prod_ k e. ( z u. { w } ) [_ y / x ]_ B )
33	32	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> prod_ k e. ( z u. { w } ) B ) = ( y e. X |-> prod_ k e. ( z u. { w } ) [_ y / x ]_ B ) )
34		fprodcn.d	. . . . . . 7 |- F/ k ph
35		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ k ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) )
36	34, 35	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) )
37		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k X
38		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k z
39	38	nfcprod1 14640	. . . . . . . 8 |- F/_ k prod_ k e. z B
40	37, 39	nfmpt 4746	. . . . . . 7 |- F/_ k ( x e. X |-> prod_ k e. z B )
41		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k ( J Cn K )
42	40, 41	nfel 2777	. . . . . 6 |- F/ k ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K )
43	36, 42	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) )
44	19	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
45		fprodcn.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. Fin )
46	45	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) ) -> A e. Fin )
47		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y B
48	47, 28, 30	cbvmpt 4749	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X |-> B ) = ( y e. X |-> [_ y / x ]_ B )
49	48	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( y e. X |-> [_ y / x ]_ B ) = ( x e. X |-> B )
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( y e. X |-> [_ y / x ]_ B ) = ( x e. X |-> B ) )
51		fprodcn.b	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
52	50, 51	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( y e. X |-> [_ y / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
53	52	ad4ant14 1293	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) ) /\ k e. A ) -> ( y e. X |-> [_ y / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
54		simplrl 800	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) ) -> z C_ A )
55		simplrr 801	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) ) -> w e. ( A \ z ) )
56		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y prod_ k e. z B
57		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x z
58	57, 28	nfcprod 14641	. . . . . . . . 9 |- F/_ x prod_ k e. z [_ y / x ]_ B
59	30	prodeq2sdv 14654	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> prod_ k e. z B = prod_ k e. z [_ y / x ]_ B )
60	56, 58, 59	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 |- ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) = ( y e. X |-> prod_ k e. z [_ y / x ]_ B )
61	60	eleq1i 2692	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) <-> ( y e. X |-> prod_ k e. z [_ y / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
62	61	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) -> ( y e. X |-> prod_ k e. z [_ y / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
63	62	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( y e. X |-> prod_ k e. z [_ y / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
64	43, 20, 44, 46, 53, 54, 55, 63	fprodcnlem 39831	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( y e. X |-> prod_ k e. ( z u. { w } ) [_ y / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
65	33, 64	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) /\ ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> prod_ k e. ( z u. { w } ) B ) e. ( J Cn K ) )
66	65	ex 450	. 2 |- ( ( ph /\ ( z C_ A /\ w e. ( A \ z ) ) ) -> ( ( x e. X |-> prod_ k e. z B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> prod_ k e. ( z u. { w } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
67	3, 6, 9, 12, 25, 66, 45	findcard2d 8202	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   prod_cprod 14635   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  fprodsub2cncf  40119  fprodadd2cncf  40120