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Theorem fsumiunle 29575
Description: Upper bound for a sum of nonnegative terms over an indexed union. The inequality may be strict if the indexed union is non-disjoint, since in the right hand side, a summand may be counted several times. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiunle.1 |- ( ph -> A e. Fin )
fsumiunle.2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
fsumiunle.3 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. RR )
fsumiunle.4 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> 0 <_ C )
Assertion
Ref Expression
fsumiunle |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B C <_ sum_ x e. A sum_ k e. B C )
Distinct variable groups:   A, k, x   B, k   x, C   ph, k, x
Allowed substitution hints:   B( x)   C( k)
Proof of Theorem fsumiunle
Dummy variables f l y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiunle.1 . . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
2 fsumiunle.2 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
31, 2aciunf1 29463 . . 3 |- ( ph -> E. f ( f : U_ x e. A B -1-1-> U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) )
4 f1f1orn 6148 . . . . . 6 |- ( f : U_ x e. A B -1-1-> U_ x e. A ( { x } X. B ) -> f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f )
54anim1i 592 . . . . 5 |- ( ( f : U_ x e. A B -1-1-> U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) -> ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) )
6 f1f 6101 . . . . . . 7 |- ( f : U_ x e. A B -1-1-> U_ x e. A ( { x } X. B ) -> f : U_ x e. A B --> U_ x e. A ( { x } X. B ) )
7 frn 6053 . . . . . . 7 |- ( f : U_ x e. A B --> U_ x e. A ( { x } X. B ) -> ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) )
86, 7syl 17 . . . . . 6 |- ( f : U_ x e. A B -1-1-> U_ x e. A ( { x } X. B ) -> ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) )
98adantr 481 . . . . 5 |- ( ( f : U_ x e. A B -1-1-> U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) -> ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) )
105, 9jca 554 . . . 4 |- ( ( f : U_ x e. A B -1-1-> U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) -> ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
1110eximi 1762 . . 3 |- ( E. f ( f : U_ x e. A B -1-1-> U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) -> E. f ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
123, 11syl 17 . 2 |- ( ph -> E. f ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
13 csbeq1a 3542 . . . . . . 7 |- ( k = y -> C = [_ y / k ]_ C )
14 nfcv 2764 . . . . . . 7 |- F/_ y U_ x e. A B
15 nfcv 2764 . . . . . . 7 |- F/_ k U_ x e. A B
16 nfcv 2764 . . . . . . 7 |- F/_ y C
17 nfcsb1v 3549 . . . . . . 7 |- F/_ k [_ y / k ]_ C
1813, 14, 15, 16, 17cbvsum 14425 . . . . . 6 |- sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ y e. U_ x e. A B [_ y / k ]_ C
19 csbeq1 3536 . . . . . . 7 |- ( y = ( 2nd ` z ) -> [_ y / k ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
20 snfi 8038 . . . . . . . . . . . 12 |- { x } e. Fin
21 xpfi 8231 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { x } e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( { x } X. B ) e. Fin )
2220, 2, 21sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( { x } X. B ) e. Fin )
2322ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A ( { x } X. B ) e. Fin )
24 iunfi 8254 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A ( { x } X. B ) e. Fin ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. Fin )
251, 23, 24syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. Fin )
2625adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. Fin )
27 simprr 796 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) )
2826, 27ssfid 8183 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> ran f e. Fin )
29 simprl 794 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f )
30 f1ocnv 6149 . . . . . . . . 9 |- ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f -> `' f : ran f -1-1-onto-> U_ x e. A B )
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> `' f : ran f -1-1-onto-> U_ x e. A B )
3231adantrlr 759 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> `' f : ran f -1-1-onto-> U_ x e. A B )
33 nfv 1843 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ph
34 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x f
35 nfiu1 4550 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x U_ x e. A B
3634nfrn 5368 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ran f
3734, 35, 36nff1o 6135 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f
38 nfv 1843 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l
3935, 38nfral 2945 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l
4037, 39nfan 1828 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l )
41 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ran f
42 nfiu1 4550 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x U_ x e. A ( { x } X. B )
4341, 42nfss 3596 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B )
4440, 43nfan 1828 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) )
4533, 44nfan 1828 . . . . . . . . 9 |- F/ x ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
46 nfv 1843 . . . . . . . . 9 |- F/ x z e. ran f
4745, 46nfan 1828 . . . . . . . 8 |- F/ x ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f )
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( f ` k ) = z )
4948fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( 2nd ` ( f ` k ) ) = ( 2nd ` z ) )
50 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> k e. U_ x e. A B )
51 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) )
5251simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) )
5352simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l )
5453ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l )
55 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = k -> ( f ` l ) = ( f ` k ) )
5655fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = k -> ( 2nd ` ( f ` l ) ) = ( 2nd ` ( f ` k ) ) )
57 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = k -> l = k )
5856, 57eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = k -> ( ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l <-> ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k ) )
5958rspcva 3307 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. U_ x e. A B /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) -> ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k )
6050, 54, 59syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k )
6149, 60eqtr3d 2658 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( 2nd ` z ) = k )
6252simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f )
6362ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f )
64 f1ocnvfv1 6532 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ k e. U_ x e. A B ) -> ( `' f ` ( f ` k ) ) = k )
6563, 50, 64syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( `' f ` ( f ` k ) ) = k )
6648fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( `' f ` ( f ` k ) ) = ( `' f ` z ) )
6761, 65, 663eqtr2rd 2663 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( `' f ` z ) = ( 2nd ` z ) )
68 f1ofn 6138 . . . . . . . . . . 11 |- ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f -> f Fn U_ x e. A B )
6962, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> f Fn U_ x e. A B )
70 simpllr 799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> z e. ran f )
71 fvelrnb 6243 . . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn U_ x e. A B -> ( z e. ran f <-> E. k e. U_ x e. A B ( f ` k ) = z ) )
7271biimpa 501 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn U_ x e. A B /\ z e. ran f ) -> E. k e. U_ x e. A B ( f ` k ) = z )
7369, 70, 72syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> E. k e. U_ x e. A B ( f ` k ) = z )
7467, 73r19.29a 3078 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> ( `' f ` z ) = ( 2nd ` z ) )
7527sselda 3603 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) -> z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) )
76 eliun 4524 . . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) <-> E. x e. A z e. ( { x } X. B ) )
7775, 76sylib 208 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) -> E. x e. A z e. ( { x } X. B ) )
7847, 74, 77r19.29af 3076 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) -> ( `' f ` z ) = ( 2nd ` z ) )
79 nfv 1843 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ y e. U_ x e. A B )
80 nfcv 2764 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k CC
8117, 80nfel 2777 . . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ y / k ]_ C e. CC
8279, 81nfim 1825 . . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ y e. U_ x e. A B ) -> [_ y / k ]_ C e. CC )
83 eleq1w 2684 . . . . . . . . . . 11 |- ( k = y -> ( k e. U_ x e. A B <-> y e. U_ x e. A B ) )
8483anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) <-> ( ph /\ y e. U_ x e. A B ) ) )
8513eleq1d 2686 . . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> ( C e. CC <-> [_ y / k ]_ C e. CC ) )
8684, 85imbi12d 334 . . . . . . . . 9 |- ( k = y -> ( ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ y e. U_ x e. A B ) -> [_ y / k ]_ C e. CC ) ) )
87 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x k
8887, 35nfel 2777 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x k e. U_ x e. A B
8933, 88nfan 1828 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ph /\ k e. U_ x e. A B )
90 fsumiunle.3 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. RR )
9190adantllr 755 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. RR )
9291recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
93 eliun 4524 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. U_ x e. A B <-> E. x e. A k e. B )
9493biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. U_ x e. A B -> E. x e. A k e. B )
9594adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) -> E. x e. A k e. B )
9689, 92, 95r19.29af 3076 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) -> C e. CC )
9782, 86, 96chvar 2262 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. U_ x e. A B ) -> [_ y / k ]_ C e. CC )
9897adantlr 751 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ y e. U_ x e. A B ) -> [_ y / k ]_ C e. CC )
9919, 28, 32, 78, 98fsumf1o 14454 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> sum_ y e. U_ x e. A B [_ y / k ]_ C = sum_ z e. ran f [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
10018, 99syl5eq 2668 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> sum_ k e. U_ x e. A B C = sum_ z e. ran f [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
101100eqcomd 2628 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> sum_ z e. ran f [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C = sum_ k e. U_ x e. A B C )
102 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ x z
103102, 42nfel 2777 . . . . . . . 8 |- F/ x z e. U_ x e. A ( { x } X. B )
10433, 103nfan 1828 . . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) )
105 xp2nd 7199 . . . . . . . . 9 |- ( z e. ( { x } X. B ) -> ( 2nd ` z ) e. B )
106105adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> ( 2nd ` z ) e. B )
10790ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. B C e. RR )
108107adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) /\ x e. A ) -> A. k e. B C e. RR )
109108adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> A. k e. B C e. RR )
110 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C
111110nfel1 2779 . . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. RR
112 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( 2nd ` z ) -> C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
113112eleq1d 2686 . . . . . . . . . 10 |- ( k = ( 2nd ` z ) -> ( C e. RR <-> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. RR ) )
114111, 113rspc 3303 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` z ) e. B -> ( A. k e. B C e. RR -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. RR ) )
115114imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2nd ` z ) e. B /\ A. k e. B C e. RR ) -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. RR )
116106, 109, 115syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. RR )
11776biimpi 206 . . . . . . . 8 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) -> E. x e. A z e. ( { x } X. B ) )
118117adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) -> E. x e. A z e. ( { x } X. B ) )
119104, 116, 118r19.29af 3076 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. RR )
120119adantlr 751 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. RR )
121 xp1st 7198 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( { x } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. { x } )
122 elsni 4194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` z ) e. { x } -> ( 1st ` z ) = x )
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( { x } X. B ) -> ( 1st ` z ) = x )
124123, 105jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( z e. ( { x } X. B ) -> ( ( 1st ` z ) = x /\ ( 2nd ` z ) e. B ) )
125 simplll 798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( 1st ` z ) = x /\ ( 2nd ` z ) e. B ) ) -> ph )
126 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( 1st ` z ) = x /\ ( 2nd ` z ) e. B ) ) -> x e. A )
127 fsumiunle.4 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> 0 <_ C )
128127ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. B 0 <_ C )
129125, 126, 128syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) /\ x e. A ) /\ ( ( 1st ` z ) = x /\ ( 2nd ` z ) e. B ) ) -> A. k e. B 0 <_ C )
130124, 129sylan2 491 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> A. k e. B 0 <_ C )
131 nfcv 2764 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 0
132 nfcv 2764 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k <_
133131, 132, 110nfbr 4699 . . . . . . . . . 10 |- F/ k 0 <_ [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C
134112breq2d 4665 . . . . . . . . . 10 |- ( k = ( 2nd ` z ) -> ( 0 <_ C <-> 0 <_ [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C ) )
135133, 134rspc 3303 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` z ) e. B -> ( A. k e. B 0 <_ C -> 0 <_ [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C ) )
136135imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2nd ` z ) e. B /\ A. k e. B 0 <_ C ) -> 0 <_ [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
137106, 130, 136syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) /\ x e. A ) /\ z e. ( { x } X. B ) ) -> 0 <_ [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
138104, 137, 118r19.29af 3076 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) -> 0 <_ [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
139138adantlr 751 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) /\ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) ) -> 0 <_ [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
14026, 120, 139, 27fsumless 14528 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> sum_ z e. ran f [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C <_ sum_ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
141101, 140eqbrtrrd 4677 . . 3 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> sum_ k e. U_ x e. A B C <_ sum_ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
142 nfcv 2764 . . . . . . . 8 |- F/_ y B
143 nfcv 2764 . . . . . . . 8 |- F/_ k B
14413, 142, 143, 16, 17cbvsum 14425 . . . . . . 7 |- sum_ k e. B C = sum_ y e. B [_ y / k ]_ C
145144a1i 11 . . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ y e. B [_ y / k ]_ C )
146145sumeq2sdv 14435 . . . . 5 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ k e. B C = sum_ x e. A sum_ y e. B [_ y / k ]_ C )
147 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- x e. _V
148 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- y e. _V
149147, 148op2ndd 7179 . . . . . . . . 9 |- ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y )
150149eqcomd 2628 . . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> y = ( 2nd ` z ) )
151150csbeq1d 3540 . . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> [_ y / k ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
152151eqcomd 2628 . . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C = [_ y / k ]_ C )
153 nfv 1843 . . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B )
15417nfel1 2779 . . . . . . . . 9 |- F/ k [_ y / k ]_ C e. CC
155153, 154nfim 1825 . . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ C e. CC )
156 eleq1w 2684 . . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> ( k e. B <-> y e. B ) )
157156anbi2d 740 . . . . . . . . 9 |- ( k = y -> ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) <-> ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B ) ) )
158157, 85imbi12d 334 . . . . . . . 8 |- ( k = y -> ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC ) <-> ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ C e. CC ) ) )
15990recnd 10068 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
160155, 158, 159chvar 2262 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ C e. CC )
161160anasss 679 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> [_ y / k ]_ C e. CC )
162152, 1, 2, 161fsum2d 14502 . . . . 5 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ y e. B [_ y / k ]_ C = sum_ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
163146, 162eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
164163adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> sum_ x e. A sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ x e. A ( { x } X. B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
165141, 164breqtrrd 4681 . 2 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ x e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ x e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) ) ) -> sum_ k e. U_ x e. A B C <_ sum_ x e. A sum_ k e. B C )
16612, 165exlimddv 1863 1 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B C <_ sum_ x e. A sum_ k e. B C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   sum_csu 14416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417
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