MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem lgsqrlem4 25074
Description: Lemma for lgsqr 25076. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgsqr.s |- S = (Poly1 ` Y )
lgsqr.b |- B = ( Base ` S )
lgsqr.d |- D = ( deg1 ` Y )
lgsqr.o |- O = (eval1 ` Y )
lgsqr.e |- .^ = (.g ` (mulGrp ` S ) )
lgsqr.x |- X = (var1 ` Y )
lgsqr.m |- .- = ( -g ` S )
lgsqr.u |- .1. = ( 1r ` S )
lgsqr.t |- T = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. )
lgsqr.l |- L = ( ZRHom ` Y )
lgsqr.1 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgsqr.g |- G = ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3 |- ( ph -> A e. ZZ )
lgsqr.4 |- ( ph -> ( A /L P ) = 1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4 |- ( ph -> E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - A ) )
Distinct variable groups:   x, A   x, G   y, O   x, y, P   ph, x, y   y, T   x, L, y   x, Y, y
Allowed substitution hints:   A( y)   B( x, y)   D( x, y)   S( x, y)   T( x)   .1. ( x, y)   .^ ( x, y)   G( y)   .- ( x, y)   O( x)   X( x, y)
Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
2 lgsqr.s . . . . . . 7 |- S = (Poly1 ` Y )
3 lgsqr.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` S )
4 lgsqr.d . . . . . . 7 |- D = ( deg1 ` Y )
5 lgsqr.o . . . . . . 7 |- O = (eval1 ` Y )
6 lgsqr.e . . . . . . 7 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` S ) )
7 lgsqr.x . . . . . . 7 |- X = (var1 ` Y )
8 lgsqr.m . . . . . . 7 |- .- = ( -g ` S )
9 lgsqr.u . . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` S )
10 lgsqr.t . . . . . . 7 |- T = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. )
11 lgsqr.l . . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Y )
12 lgsqr.1 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
13 lgsqr.g . . . . . . 7 |- G = ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( y ^ 2 ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 25072 . . . . . 6 |- ( ph -> G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )
15 fvex 6201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( O ` T ) e. _V
1615cnvex 7113 . . . . . . . . . . 11 |- `' ( O ` T ) e. _V
1716imaex 7104 . . . . . . . . . 10 |- ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) e. _V
1817f1dom 7977 . . . . . . . . 9 |- ( G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~<_ ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~<_ ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )
20 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
21 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
2212eldifad 3586 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. Prime )
231znfld 19909 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> Y e. Field )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. Field )
25 fldidom 19305 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. Field -> Y e. IDomn )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. IDomn )
27 isidom 19304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
2827simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Y e. IDomn -> Y e. CRing )
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y e. CRing )
30 crngring 18558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Y e. Ring )
322ply1ring 19618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Y e. Ring -> S e. Ring )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. Ring )
34 ringgrp 18552 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. Ring -> S e. Grp )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. Grp )
36 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (mulGrp ` S ) = (mulGrp ` S )
3736ringmgp 18553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. Ring -> (mulGrp ` S ) e. Mnd )
3833, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (mulGrp ` S ) e. Mnd )
39 oddprm 15515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
4012, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
4140nnnn0d 11351 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
427, 2, 3vr1cl 19587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Y e. Ring -> X e. B )
4331, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. B )
4436, 3mgpbas 18495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = ( Base ` (mulGrp ` S ) )
4544, 6mulgnn0cl 17558 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (mulGrp ` S ) e. Mnd /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B )
4638, 41, 43, 45syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B )
473, 9ringidcl 18568 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. Ring -> .1. e. B )
4833, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> .1. e. B )
493, 8grpsubcl 17495 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. Grp /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ .1. e. B ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) e. B )
5035, 46, 48, 49syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) e. B )
5110, 50syl5eqel 2705 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. B )
5210fveq2i 6194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D ` T ) = ( D ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) )
5340nngt0d 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 < ( ( P - 1 ) / 2 ) )
54 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (algSc ` S ) = (algSc ` S )
55 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
562, 54, 55, 9ply1scl1 19662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Y e. Ring -> ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) = .1. )
5731, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) = .1. )
5857fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( D ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) = ( D ` .1. ) )
59 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
6059, 55ringidcl 18568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Y e. Ring -> ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) )
6131, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) )
62 domnnzr 19295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Y e. Domn -> Y e. NzRing )
6327, 62simplbiim 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Y e. IDomn -> Y e. NzRing )
6426, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> Y e. NzRing )
6555, 20nzrnz 19260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Y e. NzRing -> ( 1r ` Y ) =/= ( 0g ` Y ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1r ` Y ) =/= ( 0g ` Y ) )
674, 2, 59, 54, 20deg1scl 23873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Y e. Ring /\ ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) /\ ( 1r ` Y ) =/= ( 0g ` Y ) ) -> ( D ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) = 0 )
6831, 61, 66, 67syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( D ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) = 0 )
6958, 68eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( D ` .1. ) = 0 )
704, 2, 7, 36, 6deg1pw 23880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Y e. NzRing /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( D ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
7164, 41, 70syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( D ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
7253, 69, 713brtr4d 4685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( D ` .1. ) < ( D ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) )
732, 4, 31, 3, 8, 46, 48, 72deg1sub 23868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( D ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) ) = ( D ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) )
7452, 73syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( D ` T ) = ( D ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) )
7574, 71eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( D ` T ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
7675, 41eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( D ` T ) e. NN0 )
774, 2, 21, 3deg1nn0clb 23850 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. Ring /\ T e. B ) -> ( T =/= ( 0g ` S ) <-> ( D ` T ) e. NN0 ) )
7831, 51, 77syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( T =/= ( 0g ` S ) <-> ( D ` T ) e. NN0 ) )
7976, 78mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T =/= ( 0g ` S ) )
802, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 51, 79fta1g 23927 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ) <_ ( D ` T ) )
8180, 75breqtrd 4679 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
82 hashfz1 13134 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
8341, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
8481, 83breqtrrd 4681 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
85 hashbnd 13123 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) e. _V /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ ( # ` ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) e. Fin )
8617, 41, 81, 85mp3an2i 1429 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) e. Fin )
87 fzfid 12772 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
88 hashdom 13168 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) e. Fin /\ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ~<_ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
8986, 87, 88syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( # ` ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ~<_ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
9084, 89mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ~<_ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
91 sbth 8080 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~<_ ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) /\ ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ~<_ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~~ ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )
9219, 90, 91syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~~ ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )
93 f1finf1o 8187 . . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~~ ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) /\ ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) e. Fin ) -> ( G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) <-> G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ) )
9492, 86, 93syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) <-> G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ) )
9514, 94mpbid 222 . . . . 5 |- ( ph -> G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )
96 f1ocnv 6149 . . . . 5 |- ( G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) -> `' G : ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
97 f1of 6137 . . . . 5 |- ( `' G : ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> `' G : ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
9895, 96, 973syl 18 . . . 4 |- ( ph -> `' G : ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
99 lgsqr.3 . . . . 5 |- ( ph -> A e. ZZ )
100 lgsqr.4 . . . . 5 |- ( ph -> ( A /L P ) = 1 )
1011, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 99, 100lgsqrlem3 25073 . . . 4 |- ( ph -> ( L ` A ) e. ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) )
10298, 101ffvelrnd 6360 . . 3 |- ( ph -> ( `' G ` ( L ` A ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
103 elfzelz 12342 . . 3 |- ( ( `' G ` ( L ` A ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( `' G ` ( L ` A ) ) e. ZZ )
104102, 103syl 17 . 2 |- ( ph -> ( `' G ` ( L ` A ) ) e. ZZ )
105 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( x = ( `' G ` ( L ` A ) ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) )
106105fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( x = ( `' G ` ( L ` A ) ) -> ( L ` ( x ^ 2 ) ) = ( L ` ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) ) )
107 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
108107fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( L ` ( y ^ 2 ) ) = ( L ` ( x ^ 2 ) ) )
109108cbvmptv 4750 . . . . . . 7 |- ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( y ^ 2 ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( x ^ 2 ) ) )
11013, 109eqtri 2644 . . . . . 6 |- G = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( x ^ 2 ) ) )
111 fvex 6201 . . . . . 6 |- ( L ` ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) ) e. _V
112106, 110, 111fvmpt 6282 . . . . 5 |- ( ( `' G ` ( L ` A ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( G ` ( `' G ` ( L ` A ) ) ) = ( L ` ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) ) )
113102, 112syl 17 . . . 4 |- ( ph -> ( G ` ( `' G ` ( L ` A ) ) ) = ( L ` ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) ) )
114 f1ocnvfv2 6533 . . . . 5 |- ( ( G : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) /\ ( L ` A ) e. ( `' ( O ` T ) " { ( 0g ` Y ) } ) ) -> ( G ` ( `' G ` ( L ` A ) ) ) = ( L ` A ) )
11595, 101, 114syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( G ` ( `' G ` ( L ` A ) ) ) = ( L ` A ) )
116113, 115eqtr3d 2658 . . 3 |- ( ph -> ( L ` ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) ) = ( L ` A ) )
117 prmnn 15388 . . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
11822, 117syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> P e. NN )
119118nnnn0d 11351 . . . 4 |- ( ph -> P e. NN0 )
120 zsqcl 12934 . . . . 5 |- ( ( `' G ` ( L ` A ) ) e. ZZ -> ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
121104, 120syl 17 . . . 4 |- ( ph -> ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
1221, 11zndvds 19898 . . . 4 |- ( ( P e. NN0 /\ ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) ) = ( L ` A ) <-> P || ( ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) - A ) ) )
123119, 121, 99, 122syl3anc 1326 . . 3 |- ( ph -> ( ( L ` ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) ) = ( L ` A ) <-> P || ( ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) - A ) ) )
124116, 123mpbid 222 . 2 |- ( ph -> P || ( ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) - A ) )
125105oveq1d 6665 . . . 4 |- ( x = ( `' G ` ( L ` A ) ) -> ( ( x ^ 2 ) - A ) = ( ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) - A ) )
126125breq2d 4665 . . 3 |- ( x = ( `' G ` ( L ` A ) ) -> ( P || ( ( x ^ 2 ) - A ) <-> P || ( ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) - A ) ) )
127126rspcev 3309 . 2 |- ( ( ( `' G ` ( L ` A ) ) e. ZZ /\ P || ( ( ( `' G ` ( L ` A ) ) ^ 2 ) - A ) ) -> E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - A ) )
128104, 124, 127syl2anc 693 1 |- ( ph -> E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   #chash 13117   || cdvds 14983   Primecprime 15385   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  .gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Fieldcfield 18748  NzRingcnzr 19257  Domncdomn 19280  IDomncidom 19281  algSccascl 19311  var1cv1 19546  Poly1cpl1 19547  eval1ce1 19679   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851   deg1 cdg1 23814   /Lclgs 25019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284  df-idom 19285  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-evl1 19681  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890  df-uc1p 23891  df-q1p 23892  df-r1p 23893  df-lgs 25020
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  25075
  Copyright terms: Public domain W3C validator