Theorem ftalem1 24799

Description: Lemma for fta 24806: "growth lemma". There exists some r such that F is arbitrarily close in proportion to its dominant term. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	|- A = (coeff ` F )
ftalem.2	|- N = (deg ` F )
ftalem.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
ftalem.4	|- ( ph -> N e. NN )
ftalem1.5	|- ( ph -> E e. RR+ )
ftalem1.6	|- T = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) / E )

Assertion

Ref	Expression
ftalem1	|- ( ph -> E. r e. RR A. x e. CC ( r < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, r, x, A   E, r   k, N, r, x   k, F, r, x   ph, k, x   S, k   T, k, r, x

Allowed substitution hints:   ph( r)   S( x, r)   E( x, k)

Proof of Theorem ftalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftalem1.6	. . . 4 |- T = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) / E )
2		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
3		ftalem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
4		ftalem.1	. . . . . . . . . 10 |- A = (coeff ` F )
5	4	coef3 23988	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Poly ` S ) -> A : NN0 --> CC )
6	3, 5	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
7		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 )
8		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
9	6, 7, 8	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
10	9	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR )
11	2, 10	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR )
12		ftalem1.5	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
13	11, 12	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) / E ) e. RR )
14	1, 13	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> T e. RR )
15		1re 10039	. . 3 |- 1 e. RR
16		ifcl 4130	. . 3 |- ( ( T e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( 1 <_ T , T , 1 ) e. RR )
17	14, 15, 16	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> if ( 1 <_ T , T , 1 ) e. RR )
18	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
19		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> x e. CC )
20		ftalem.2	. . . . . . . . . . 11 |- N = (deg ` F )
21	4, 20	coeid2 23995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ x e. CC ) -> ( F ` x ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
22	18, 19, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( F ` x ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
23		ftalem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
24	23	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN0 )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> N e. NN0 )
26		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
27	25, 26	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
28		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
29	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
30	29, 8	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
31		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ k ) e. CC )
32	19, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ k ) e. CC )
33	30, 32	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. CC )
34	28, 33	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. CC )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> ( A ` k ) = ( A ` N ) )
36		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> ( x ^ k ) = ( x ^ N ) )
37	35, 36	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = N -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) )
38	27, 34, 37	fsumm1 14480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) + ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) )
39	22, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( F ` x ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) + ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) )
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) + ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) )
41		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
42	7, 33	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. CC )
43	41, 42	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. CC )
44	29, 25	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( A ` N ) e. CC )
45	19, 25	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( x ^ N ) e. CC )
46	44, 45	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) e. CC )
47	43, 46	pncand 10393	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) + ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
48	40, 47	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
50	43	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) e. RR )
51	42	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) e. RR )
52	41, 51	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) e. RR )
53	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> E e. RR+ )
54	53	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> E e. RR )
55	19	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
56	55, 25	reexpcld 13025	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ N ) e. RR )
57	54, 56	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) e. RR )
58	41, 42	fsumabs 14533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
59	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR )
60	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> N e. NN )
61		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
63	55, 62	reexpcld 13025	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. RR )
64	59, 63	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR )
65	10	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR )
66	63	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. RR )
67	65, 66	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR )
68	30, 32	absmuld 14193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( x ^ k ) ) ) )
69	7, 68	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( x ^ k ) ) ) )
70	7, 32	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( x ^ k ) e. CC )
71	70	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( x ^ k ) ) e. RR )
72	7, 30	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
73	72	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( A ` k ) ) )
74		absexp 14044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( x ^ k ) ) = ( ( abs ` x ) ^ k ) )
75	19, 7, 74	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( x ^ k ) ) = ( ( abs ` x ) ^ k ) )
76	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
77	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
78	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> if ( 1 <_ T , T , 1 ) e. RR )
79		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> 1 <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) )
80	15, 14, 79	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 1 <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) )
82		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) )
83	77, 78, 55, 81, 82	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 1 < ( abs ` x ) )
84	77, 55, 83	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 1 <_ ( abs ` x ) )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 <_ ( abs ` x ) )
86		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` k ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` k ) )
88	76, 85, 87	leexp2ad 13041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ k ) <_ ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) )
89	75, 88	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( x ^ k ) ) <_ ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) )
90	71, 66, 65, 73, 89	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( x ^ k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
91	69, 90	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
92	41, 51, 67, 91	fsumle 14531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
93	63	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
94	65	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. CC )
95	41, 93, 94	fsummulc1 14517	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
96	92, 95	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
97	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> T e. RR )
98		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> T <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) )
99	15, 14, 98	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> T <_ if ( 1 <_ T , T , 1 ) )
101	97, 78, 55, 100, 82	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> T < ( abs ` x ) )
102	1, 101	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) / E ) < ( abs ` x ) )
103	59, 55, 53	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) / E ) < ( abs ` x ) <-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) < ( E x. ( abs ` x ) ) ) )
104	102, 103	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) < ( E x. ( abs ` x ) ) )
105	54, 55	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( E x. ( abs ` x ) ) e. RR )
106	62	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
107		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 0 e. RR )
108		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 0 < 1 )
110	107, 77, 55, 109, 83	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 0 < ( abs ` x ) )
111		expgt0 12893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` x ) e. RR /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( abs ` x ) ) -> 0 < ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) )
112	55, 106, 110, 111	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) )
113		ltmul1 10873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR /\ ( E x. ( abs ` x ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) < ( E x. ( abs ` x ) ) <-> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) < ( ( E x. ( abs ` x ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
114	59, 105, 63, 112, 113	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) < ( E x. ( abs ` x ) ) <-> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) < ( ( E x. ( abs ` x ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
115	104, 114	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) < ( ( E x. ( abs ` x ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
116	55	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` x ) e. CC )
117		expm1t 12888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` x ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( abs ` x ) ^ N ) = ( ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( abs ` x ) ) )
118	116, 60, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ N ) = ( ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( abs ` x ) ) )
119	93, 116	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
120	118, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) ^ N ) = ( ( abs ` x ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
121	120	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) = ( E x. ( ( abs ` x ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
122	54	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> E e. CC )
123	122, 116, 93	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( ( E x. ( abs ` x ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( E x. ( ( abs ` x ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
124	121, 123	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) = ( ( E x. ( abs ` x ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
125	115, 124	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( ( abs ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) )
126	52, 64, 57, 96, 125	lelttrd 10195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) )
127	50, 52, 57, 58, 126	lelttrd 10195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) )
128	49, 127	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) )
129	128	expr 643	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) )
130	129	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. CC ( if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) )
131		breq1 4656	. . . . 5 |- ( r = if ( 1 <_ T , T , 1 ) -> ( r < ( abs ` x ) <-> if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) ) )
132	131	imbi1d 331	. . . 4 |- ( r = if ( 1 <_ T , T , 1 ) -> ( ( r < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) <-> ( if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) ) )
133	132	ralbidv 2986	. . 3 |- ( r = if ( 1 <_ T , T , 1 ) -> ( A. x e. CC ( r < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) <-> A. x e. CC ( if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) ) )
134	133	rspcev 3309	. 2 |- ( ( if ( 1 <_ T , T , 1 ) e. RR /\ A. x e. CC ( if ( 1 <_ T , T , 1 ) < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. CC ( r < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) )
135	17, 130, 134	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. r e. RR A. x e. CC ( r < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( ( A ` N ) x. ( x ^ N ) ) ) ) < ( E x. ( ( abs ` x ) ^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ^cexp 12860   abscabs 13974   sum_csu 14416  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  ftalem2  24800