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Theorem ftalem2 24800

Description: Lemma for fta 24806. There exists some

such that

has magnitude greater than

outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ftalem.1	coeff
ftalem.2	deg
ftalem.3	Poly
ftalem.4
ftalem2.5
ftalem2.6

**Assertion**
Ref	Expression
ftalem2

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem ftalem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftalem.1	. . 3 coeff
2		ftalem.2	. . 3 deg
3		ftalem.3	. . 3 Poly
4		ftalem.4	. . 3
5	1	coef3 23988	. . . . . . 7 Poly
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6
7	4	nnnn0d 11351	. . . . . 6
8	6, 7	ffvelrnd 6360	. . . . 5
9	4	nnne0d 11065	. . . . . 6
10	2, 1	dgreq0 24021	. . . . . . . . 9 Poly
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 deg deg
12		dgr0 24018	. . . . . . . . . . 11 deg
13	11, 12	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 deg
14	2, 13	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9
15	10, 14	syl6bir 244	. . . . . . . 8 Poly
16	3, 15	syl 17	. . . . . . 7
17	16	necon3d 2815	. . . . . 6
18	9, 17	mpd 15	. . . . 5
19	8, 18	absrpcld 14187	. . . 4
20	19	rphalfcld 11884	. . 3
21		fveq2 6191	. . . . . 6
22	21	fveq2d 6195	. . . . 5
23	22	cbvsumv 14426	. . . 4
24	23	oveq1i 6660	. . 3
25	1, 2, 3, 4, 20, 24	ftalem1 24799	. 2
26		ftalem2.5	. . . . . 6
27		ftalem2.6	. . . . . . . . 9
28		plyf 23954	. . . . . . . . . . . . 13 Poly
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
30		0cn 10032	. . . . . . . . . . . 12
31		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
32	29, 30, 31	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11
33	32	abscld 14175	. . . . . . . . . 10
34	33, 20	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9
35	27, 34	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
37		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$
38		1re 10039	. . . . . . . 8
39		ifcl 4130	. . . . . . . 8 $/\$
40	37, 38, 39	sylancl 694	. . . . . . 7 $/\$
41	36, 40	ifcld 4131	. . . . . 6 $/\$
42	26, 41	syl5eqel 2705	. . . . 5 $/\$
43		0red 10041	. . . . . 6 $/\$
44		1red 10055	. . . . . 6 $/\$
45		0lt1 10550	. . . . . . 7
46	45	a1i 11	. . . . . 6 $/\$
47		max1 12016	. . . . . . . 8 $/\$
48	38, 37, 47	sylancr 695	. . . . . . 7 $/\$
49		max1 12016	. . . . . . . . 9 $/\$
50	40, 36, 49	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$
51	50, 26	syl6breqr 4695	. . . . . . 7 $/\$
52	44, 40, 42, 48, 51	letrd 10194	. . . . . 6 $/\$
53	43, 44, 42, 46, 52	ltletrd 10197	. . . . 5 $/\$
54	42, 53	elrpd 11869	. . . 4 $/\$
55		max2 12018	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	38, 37, 55	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$
57	37, 40, 42, 56, 51	letrd 10194	. . . . . . . . 9 $/\$
58	57	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
59	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
60	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
61		abscl 14018	. . . . . . . . . 10
62	61	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
63		lelttr 10128	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	59, 60, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 64	mpand 711	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
66	65	imim1d 82	. . . . . 6 $/\$ $/\$
67	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
68		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
69	67, 68	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
70	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
72	68, 71	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
73	70, 72	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
74	69, 73	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
76	73	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 77, 76	ltsub2d 10637	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
79	70, 72	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
80	68, 71	absexpd 14191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
82	79, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
83	82	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
84	70	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
86	62	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
87	86, 71	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
88	87	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
89		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
90		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92	85, 88, 89, 91	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
93	83, 92	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
95	76	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
96	95	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
98	77	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
99	98, 98	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
100	97, 99	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
101	100	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
102	78, 94, 101	3bitr3d 298	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
103	73, 69	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
104	73, 103	abs2difd 14196	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
105	73, 69	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
106	105	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
107	73, 69	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
108	107	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
109	104, 106, 108	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
110	76, 75	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
111	69	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
112		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
113	77, 110, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	109, 113	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
115	102, 114	sylbid 230	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
116	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
117	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
119	118, 86	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
120	93, 77	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
121	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
122	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
123		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
124	40, 36, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
125	124, 26	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
127		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
128	121, 122, 86, 126, 127	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
129	27, 128	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
130	116, 86, 117	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
131	129, 130	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
132	86	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
134		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
135	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
136	134, 122, 86, 135, 127	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
137	134, 86, 136	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
138	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
139		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16
140	138, 139	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
141	86, 137, 140	leexp2ad 13041	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
142	133, 141	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
143	86, 87, 117	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
144	142, 143	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
145	116, 119, 120, 131, 144	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
146	145, 93	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
147		lttr 10114	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
148	116, 77, 111, 147	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	146, 148	mpand 711	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
150	115, 149	syld 47	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	150	expr 643	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
152	151	a2d 29	. . . . . 6 $/\$ $/\$
153	66, 152	syld 47	. . . . 5 $/\$ $/\$
154	153	ralimdva 2962	. . . 4 $/\$
155		breq1 4656	. . . . . . 7
156	155	imbi1d 331	. . . . . 6
157	156	ralbidv 2986	. . . . 5
158	157	rspcev 3309	. . . 4 $/\$
159	54, 154, 158	syl6an 568	. . 3 $/\$
160	159	rexlimdva 3031	. 2
161	25, 160	mpd 15	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cif 4086 class class class wbr 4653

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cexp 12860

cabs 13974

csu 14416

c0p 23436 Polycply 23940 coeffccoe 23942 degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-0p 23437 df-ply 23944 df-coe 23946 df-dgr 23947

This theorem is referenced by: fta 24806

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