Theorem iblsplitf 40186

Description: A version of iblsplit 40182 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions" (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblsplitf.X	|- F/ x ph
iblsplitf.vol	|- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
iblsplitf.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
iblsplitf.c	|- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. CC )
iblsplitf.a	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
iblsplitf.b	|- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblsplitf	|- ( ph -> ( x e. U |-> C ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, U

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x)

Proof of Theorem iblsplitf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ y C
2		nfcsb1v 3549	. . 3 |- F/_ x [_ y / x ]_ C
3		csbeq1a 3542	. . 3 |- ( x = y -> C = [_ y / x ]_ C )
4	1, 2, 3	cbvmpt 4749	. 2 |- ( x e. U |-> C ) = ( y e. U |-> [_ y / x ]_ C )
5		iblsplitf.vol	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
6		iblsplitf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
7		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. U )
8		iblsplitf.X	. . . . . 6 |- F/ x ph
9		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x y e. U
10	8, 9	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ y e. U )
11		iblsplitf.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. CC )
12	11	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. U ) /\ x e. U ) -> C e. CC )
13	12	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> ( x e. U -> C e. CC ) )
14	10, 13	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> A. x e. U C e. CC )
15		rspcsbela 4006	. . . 4 |- ( ( y e. U /\ A. x e. U C e. CC ) -> [_ y / x ]_ C e. CC )
16	7, 14, 15	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> [_ y / x ]_ C e. CC )
17	3	equcoms 1947	. . . . . 6 |- ( y = x -> C = [_ y / x ]_ C )
18	17	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ C = C )
19	2, 1, 18	cbvmpt 4749	. . . 4 |- ( y e. A |-> [_ y / x ]_ C ) = ( x e. A |-> C )
20		iblsplitf.a	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
21	19, 20	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> ( y e. A |-> [_ y / x ]_ C ) e. L^1 )
22	2, 1, 18	cbvmpt 4749	. . . 4 |- ( y e. B |-> [_ y / x ]_ C ) = ( x e. B |-> C )
23		iblsplitf.b	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. L^1 )
24	22, 23	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> ( y e. B |-> [_ y / x ]_ C ) e. L^1 )
25	5, 6, 16, 21, 24	iblsplit 40182	. 2 |- ( ph -> ( y e. U |-> [_ y / x ]_ C ) e. L^1 )
26	4, 25	syl5eqel 2705	1 |- ( ph -> ( x e. U |-> C ) e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   CCcc 9934   0cc0 9936   vol*covol 23231   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391

This theorem is referenced by:  iblspltprt  40189