Theorem mbfss 23413

Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfss.1	|- ( ph -> A C_ B )
mbfss.2	|- ( ph -> B e. dom vol )
mbfss.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
mbfss.4	|- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
mbfss.5	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )

Assertion

Ref	Expression
mbfss	|- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   V( x)

Proof of Theorem mbfss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3753	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A u. ( B \ A ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ A ) ) )
2		undif2 4044	. . . . . . . . . 10 |- ( A u. ( B \ A ) ) = ( A u. B )
3		mbfss.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ B )
4		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ B <-> ( A u. B ) = B )
5	3, 4	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A u. B ) = B )
6	2, 5	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. ( B \ A ) ) = B )
7	6	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A u. ( B \ A ) ) <-> x e. B ) )
8	1, 7	syl5bbr 274	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A \/ x e. ( B \ A ) ) <-> x e. B ) )
9	8	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ x e. ( B \ A ) ) )
10		mbfss.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
11		mbfss.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
12	10, 11	mbfmptcl 23404	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
13		mbfss.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
14		0cn 10032	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
15	13, 14	syl6eqel 2709	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
16	12, 15	jaodan 826	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A \/ x e. ( B \ A ) ) ) -> C e. CC )
17	9, 16	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. CC )
18	17	recld 13934	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( Re ` C ) e. RR )
19		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( Re ` C ) ) = ( x e. B |-> ( Re ` C ) )
20	18, 19	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. B |-> ( Re ` C ) ) : B --> RR )
21	3	resmptd 5452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> ( Re ` C ) ) |` A ) = ( x e. A |-> ( Re ` C ) ) )
22	12	ismbfcn2 23406	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` C ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( Im ` C ) ) e. MblFn ) ) )
23	10, 22	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` C ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( Im ` C ) ) e. MblFn ) )
24	23	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` C ) ) e. MblFn )
25	21, 24	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> ( Re ` C ) ) |` A ) e. MblFn )
26		difss 3737	. . . . . 6 |- ( B \ A ) C_ B
27		resmpt 5449	. . . . . 6 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( x e. B |-> ( Re ` C ) ) |` ( B \ A ) ) = ( x e. ( B \ A ) |-> ( Re ` C ) ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x e. B |-> ( Re ` C ) ) |` ( B \ A ) ) = ( x e. ( B \ A ) |-> ( Re ` C ) )
29	13	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( Re ` C ) = ( Re ` 0 ) )
30		re0 13892	. . . . . . 7 |- ( Re ` 0 ) = 0
31	29, 30	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( Re ` C ) = 0 )
32	31	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( B \ A ) |-> ( Re ` C ) ) = ( x e. ( B \ A ) |-> 0 ) )
33	28, 32	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> ( Re ` C ) ) |` ( B \ A ) ) = ( x e. ( B \ A ) |-> 0 ) )
34		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( ( B \ A ) X. { 0 } ) = ( x e. ( B \ A ) |-> 0 )
35		mbfss.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. dom vol )
36	10, 11	mbfdm2 23405	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. dom vol )
37		difmbl 23311	. . . . . . 7 |- ( ( B e. dom vol /\ A e. dom vol ) -> ( B \ A ) e. dom vol )
38	35, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B \ A ) e. dom vol )
39		mbfconst 23402	. . . . . 6 |- ( ( ( B \ A ) e. dom vol /\ 0 e. CC ) -> ( ( B \ A ) X. { 0 } ) e. MblFn )
40	38, 14, 39	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B \ A ) X. { 0 } ) e. MblFn )
41	34, 40	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( B \ A ) |-> 0 ) e. MblFn )
42	33, 41	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> ( Re ` C ) ) |` ( B \ A ) ) e. MblFn )
43	20, 25, 42, 6	mbfres2 23412	. 2 |- ( ph -> ( x e. B |-> ( Re ` C ) ) e. MblFn )
44	17	imcld 13935	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( Im ` C ) e. RR )
45		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( Im ` C ) ) = ( x e. B |-> ( Im ` C ) )
46	44, 45	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. B |-> ( Im ` C ) ) : B --> RR )
47	3	resmptd 5452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> ( Im ` C ) ) |` A ) = ( x e. A |-> ( Im ` C ) ) )
48	23	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` C ) ) e. MblFn )
49	47, 48	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> ( Im ` C ) ) |` A ) e. MblFn )
50		resmpt 5449	. . . . . 6 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( x e. B |-> ( Im ` C ) ) |` ( B \ A ) ) = ( x e. ( B \ A ) |-> ( Im ` C ) ) )
51	26, 50	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x e. B |-> ( Im ` C ) ) |` ( B \ A ) ) = ( x e. ( B \ A ) |-> ( Im ` C ) )
52	13	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( Im ` C ) = ( Im ` 0 ) )
53		im0 13893	. . . . . . 7 |- ( Im ` 0 ) = 0
54	52, 53	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ A ) ) -> ( Im ` C ) = 0 )
55	54	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( B \ A ) |-> ( Im ` C ) ) = ( x e. ( B \ A ) |-> 0 ) )
56	51, 55	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> ( Im ` C ) ) |` ( B \ A ) ) = ( x e. ( B \ A ) |-> 0 ) )
57	56, 41	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> ( Im ` C ) ) |` ( B \ A ) ) e. MblFn )
58	46, 49, 57, 6	mbfres2 23412	. 2 |- ( ph -> ( x e. B |-> ( Im ` C ) ) e. MblFn )
59	17	ismbfcn2 23406	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> C ) e. MblFn <-> ( ( x e. B |-> ( Re ` C ) ) e. MblFn /\ ( x e. B |-> ( Im ` C ) ) e. MblFn ) ) )
60	43, 58, 59	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   Recre 13837   Imcim 13838   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbfi1flim  23490  itg2cnlem1  23528  iblss2  23572  ibladdlem  23586  itgaddlem1  23589  iblabslem  23594  itggt0  23608  itgcn  23609  ibladdnclem  33466  itgaddnclem1  33468  iblabsnclem  33473  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem6  33490  ftc1anclem8  33492