Theorem itgss3 23581

Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgss3.1	|- ( ph -> A C_ B )
itgss3.2	|- ( ph -> B C_ RR )
itgss3.3	|- ( ph -> ( vol* ` ( B \ A ) ) = 0 )
itgss3.4	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
itgss3	|- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> C ) e. L^1 ) /\ S. A C _d x = S. B C _d x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem itgss3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y if ( x e. A , C , 0 )
2		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x y e. A
3		nfcsb1v 3549	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ y / x ]_ C
4		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x 0
5	2, 3, 4	nfif 4115	. . . . . 6 |- F/_ x if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 )
6		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
7		csbeq1a 3542	. . . . . . 7 |- ( x = y -> C = [_ y / x ]_ C )
8	6, 7	ifbieq1d 4109	. . . . . 6 |- ( x = y -> if ( x e. A , C , 0 ) = if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) )
9	1, 5, 8	cbvmpt 4749	. . . . 5 |- ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) )
10		itgss3.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ B )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> A C_ B )
12		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y C
13	12, 3, 7	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> C ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ C )
14		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) = [_ y / x ]_ C )
15	14	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ C )
16	13, 15	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> C ) = ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) )
17		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
18	16, 17	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 )
19		iblmbf 23534	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 -> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. MblFn )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. MblFn )
21	10	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. B )
22		itgss3.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> C e. CC )
23	21, 22	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
25	23, 24	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A --> CC )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( x e. A |-> C ) : A --> CC )
27	16	feq1i 6036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A |-> C ) : A --> CC <-> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : A --> CC )
28	26, 27	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : A --> CC )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) )
30	29	fmpt 6381	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) e. CC <-> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : A --> CC )
31	28, 30	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> A. y e. A if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) e. CC )
32	31	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) /\ y e. A ) -> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) e. CC )
33	20, 32	mbfdm2 23405	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> A e. dom vol )
34		undif 4049	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B <-> ( A u. ( B \ A ) ) = B )
35	10, 34	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. ( B \ A ) ) = B )
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A e. dom vol ) -> ( A u. ( B \ A ) ) = B )
37		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( A e. dom vol -> A e. dom vol )
38		itgss3.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B C_ RR )
39	38	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B \ A ) C_ RR )
40		itgss3.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( vol* ` ( B \ A ) ) = 0 )
41		nulmbl 23303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B \ A ) C_ RR /\ ( vol* ` ( B \ A ) ) = 0 ) -> ( B \ A ) e. dom vol )
42	39, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B \ A ) e. dom vol )
43		unmbl 23305	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B \ A ) e. dom vol ) -> ( A u. ( B \ A ) ) e. dom vol )
44	37, 42, 43	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A e. dom vol ) -> ( A u. ( B \ A ) ) e. dom vol )
45	36, 44	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A e. dom vol ) -> B e. dom vol )
46	33, 45	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> B e. dom vol )
47		eldifn 3733	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( B \ A ) -> -. y e. A )
48	47	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) /\ y e. ( B \ A ) ) -> -. y e. A )
49	48	iffalsed 4097	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) /\ y e. ( B \ A ) ) -> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) = 0 )
50	11, 46, 32, 49, 18	iblss2 23572	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 )
51	9, 50	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A |-> C ) e. L^1 ) -> ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 )
52		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = C )
53	52	mpteq2ia 4740	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( x e. A |-> C )
54	1, 5, 8	cbvmpt 4749	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) )
55	53, 54	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( x e. A |-> C ) = ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) )
56	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> A C_ B )
57		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 )
58	9, 57	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 )
59		iblmbf 23534	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. MblFn )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. MblFn )
61		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. CC
62		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. CC )
63	22, 61, 62	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. CC )
64		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) )
65	63, 64	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) : B --> CC )
66	9	feq1i 6036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) : B --> CC <-> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : B --> CC )
67	65, 66	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : B --> CC )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : B --> CC )
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) = ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) )
70	69	fmpt 6381	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. B if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) e. CC <-> ( y e. B |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) : B --> CC )
71	68, 70	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> A. y e. B if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) e. CC )
72	71	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) /\ y e. B ) -> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) e. CC )
73	60, 72	mbfdm2 23405	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> B e. dom vol )
74		dfss4 3858	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A )
75	10, 74	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B \ ( B \ A ) ) = A )
76	75	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. dom vol ) -> ( B \ ( B \ A ) ) = A )
77		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( B e. dom vol -> B e. dom vol )
78		difmbl 23311	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. dom vol /\ ( B \ A ) e. dom vol ) -> ( B \ ( B \ A ) ) e. dom vol )
79	77, 42, 78	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. dom vol ) -> ( B \ ( B \ A ) ) e. dom vol )
80	76, 79	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. dom vol ) -> A e. dom vol )
81	73, 80	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> A e. dom vol )
82	56, 81, 72, 58	iblss 23571	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( y e. A |-> if ( y e. A , [_ y / x ]_ C , 0 ) ) e. L^1 )
83	55, 82	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
84	51, 83	impbida 877	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 ) )
85	75	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> x e. A ) )
86	85	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ( B \ A ) ) ) -> x e. A )
87	86, 52	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ( B \ A ) ) ) -> if ( x e. A , C , 0 ) = C )
88	63, 22, 39, 40, 87	itgeqa 23580	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> C ) e. L^1 ) /\ S. B if ( x e. A , C , 0 ) _d x = S. B C _d x ) )
89	88	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> C ) e. L^1 ) )
90	84, 89	bitrd 268	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> C ) e. L^1 ) )
91		itgss2 23579	. . . 4 |- ( A C_ B -> S. A C _d x = S. B if ( x e. A , C , 0 ) _d x )
92	10, 91	syl 17	. . 3 |- ( ph -> S. A C _d x = S. B if ( x e. A , C , 0 ) _d x )
93	88	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> S. B if ( x e. A , C , 0 ) _d x = S. B C _d x )
94	92, 93	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> S. A C _d x = S. B C _d x )
95	90, 94	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. B |-> C ) e. L^1 ) /\ S. A C _d x = S. B C _d x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   vol*covol 23231   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392

This theorem is referenced by:  itgioo  23582  itgsplitioo  23604  itgvol0  40184  ibliooicc  40187