areaquad - Mathbox for Jon Pennant

	Mathbox for Jon Pennant		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > areaquad		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem areaquad 37802

Description: The area of a quadrilateral with two sides which are parallel to the y-axis in

is its width multiplied by the average height of its higher edge minus the average height of its lower edge. Co-author TA. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
areaquad.1
areaquad.2
areaquad.3
areaquad.4
areaquad.5
areaquad.6
areaquad.7
areaquad.8
areaquad.9
areaquad.10
areaquad.11
areaquad.12	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
areaquad	area

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem areaquad**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		areaquad.1	. . . . . . . . . 10
2		areaquad.2	. . . . . . . . . 10
3		iccssre 12255	. . . . . . . . . 10 $/\$
4	1, 2, 3	mp2an 708	. . . . . . . . 9
5	4	sseli 3599	. . . . . . . 8
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
7		areaquad.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16
8	7	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . 15
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
10		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11	1, 10	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
12	2, 1	resubcli 10343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
14	2	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17		areaquad.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
18	1, 17	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20	15, 16, 19	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
21	1, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	11, 13, 22	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15
25		areaquad.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
26	25	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
28	24, 27	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14
29	24, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14
30	9, 28, 29	addsub12d 10415	. . . . . . . . . . . . 13
31		areaquad.10	. . . . . . . . . . . . . 14
32	24, 27, 9	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
34	31, 33	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13
35		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35, 24, 9	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	8	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	37	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15
39	36, 38	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
41	30, 34, 40	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12
42		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43	42, 23	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13
46	28, 45	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12
47	44, 9	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13
48	24, 27	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13
49	47, 48	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
50	41, 46, 49	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11
51	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
52	51, 43	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12
53	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
54	53, 23	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12
55	52, 54	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11
56	50, 55	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10
57		areaquad.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	57	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
60		areaquad.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	60	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
63	24, 62	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14
64	24, 59	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14
65	59, 63, 64	addsub12d 10415	. . . . . . . . . . . . 13
66		areaquad.11	. . . . . . . . . . . . . 14
67	24, 62, 59	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
69	66, 68	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13
70	35, 24, 59	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	58	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . 16
72	71	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15
73	70, 72	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
74	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
75	65, 69, 74	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12
76	44, 59	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13
77	63, 76	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12
78	44, 59	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13
79	24, 62	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13
80	78, 79	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
81	75, 77, 80	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11
82	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
83	82, 43	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12
84	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
85	84, 23	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12
86	83, 85	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11
87	81, 86	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10
88		iccssre 12255	. . . . . . . . . 10 $/\$
89	56, 87, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
90	5, 89	syl 17	. . . . . . . 8
91	90	sselda 3603	. . . . . . 7 $/\$
92	6, 91	jca 554	. . . . . 6 $/\$ $/\$
93	92	ssopab2i 5003	. . . . 5 $/\$ $/\$
94		areaquad.12	. . . . 5 $/\$
95		df-xp 5120	. . . . 5 $/\$
96	93, 94, 95	3sstr4i 3644	. . . 4
97		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10
98		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13
99		nfopab2 4720	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
100	94, 99	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . 14
101		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14
102	100, 101	nfima 5474	. . . . . . . . . . . . 13
103		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13
104		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	104, 105	elimasn 5490	. . . . . . . . . . . . . . 15
107	94	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108		opabid 4982	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
109	106, 107, 108	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
110	109	baib 944	. . . . . . . . . . . . 13
111	98, 102, 103, 110	eqrd 3622	. . . . . . . . . . . 12
112	111	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11
113	5, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
114	5, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
115		iccmbl 23334	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116	113, 114, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
117		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . 12
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11
119	5, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
120	5, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
121	5, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
122	5, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
123	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
124	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
125	5, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	5, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127	126	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
128	127	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . 16
129		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
130	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
131	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132	1	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133	2	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
134		iccleub 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
135	132, 133, 134	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
136	5, 130, 131, 135	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
137	5, 1, 10	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
139	1	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
140	139	subidi 10352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141	131, 130, 131	ltsub1d 10636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	17, 141	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	140, 142	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
144		lediv1 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
145	137, 138, 138, 143, 144	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	136, 145	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147	12	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147, 21	dividi 10758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	146, 148	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
150	126, 129, 126, 149	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . . 16
151	128, 150	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . 15
152		areaquad.8	. . . . . . . . . . . . . . . 16
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
154	123, 124, 125, 151, 153	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . . . 14
155	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
156	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
157	138, 143	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . 16
158		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
159	132, 133, 158	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160	131, 5, 131, 159	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161	140, 160	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . 16
162	137, 157, 161	divge0d 11912	. . . . . . . . . . . . . . 15
163		areaquad.9	. . . . . . . . . . . . . . . 16
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
165	155, 156, 126, 162, 164	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . . . 14
166	119, 120, 121, 122, 154, 165	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . 13
167	5, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
168	5, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
169	166, 167, 168	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . 12
170		ovolicc 23291	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
171	113, 114, 169, 170	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11
172	112, 118, 171	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10
173	97, 172	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9
174		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10
175		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13
176		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13
177	109	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . 14
178		noel 3919	. . . . . . . . . . . . . . 15
179	178	pm2.21i 116	. . . . . . . . . . . . . 14
180	177, 179	pm5.21ni 367	. . . . . . . . . . . . 13
181	175, 102, 176, 180	eqrd 3622	. . . . . . . . . . . 12
182	181	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11
183		0mbl 23307	. . . . . . . . . . . . 13
184		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . 13
185	183, 184	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
186		ovol0 23261	. . . . . . . . . . . 12
187	185, 186	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11
188	182, 187	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10
189	174, 188	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9
190	173, 189	pm2.61i 176	. . . . . . . 8
191	190	eqcomi 2631	. . . . . . 7
192	87, 56	resubcld 10458	. . . . . . . 8
193		0re 10040	. . . . . . . 8
194		ifcl 4130	. . . . . . . 8 $/\$
195	192, 193, 194	sylancl 694	. . . . . . 7
196	191, 195	syl5eqel 2705	. . . . . 6
197		volf 23297	. . . . . . . 8
198		ffun 6048	. . . . . . . 8
199	197, 198	ax-mp 5	. . . . . . 7
200		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10
201	111, 200	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9
202		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10
203	181, 202	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9
204	201, 203	pm2.61i 176	. . . . . . . 8
205	56, 87, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
206	183	a1i 11	. . . . . . . . 9
207	205, 206	ifcld 4131	. . . . . . . 8
208	204, 207	syl5eqel 2705	. . . . . . 7
209		fvimacnv 6332	. . . . . . 7 $/\$
210	199, 208, 209	sylancr 695	. . . . . 6
211	196, 210	mpbid 222	. . . . 5
212	211	rgen 2922	. . . 4
213	4	a1i 11	. . . . . 6
214		rembl 23308	. . . . . . 7
215	214	a1i 11	. . . . . 6
216	114, 113	resubcld 10458	. . . . . . . 8
217	172, 216	eqeltrd 2701	. . . . . . 7
218	217	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
219		eldifn 3733	. . . . . . . 8 $\$
220	219, 188	syl 17	. . . . . . 7 $\$
221	220	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $\$
222	172	mpteq2ia 4740	. . . . . . . 8
223		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld ℂ_fld
224	223	subcn 22669	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld
225	224	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld
226	66	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . 12
227	223	addcn 22668	. . . . . . . . . . . . . 14 ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld ℂ_fld ℂ_fld
229		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . 16
230	4, 229	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15
231		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . 15
232		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
233	58, 230, 231, 232	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
235	230	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
236	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
237	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
238	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
239	235, 236, 237, 238	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
240	239	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
241	240	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . 15
242		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
243	230, 242	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
244		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
245	244	divccncf 22709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
246	147, 21, 245	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
247		rescncf 22700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
248	230, 246, 247	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
249	243, 248	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
250	249	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
251	139, 147, 21	divcli 10767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
252		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
253	251, 230, 231, 252	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
254	253	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
255	223, 225, 250, 254	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . . . . . . . 15
256	241, 255	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14
257		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
258	61, 230, 231, 257	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
260	223, 225, 259, 234	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . . . . . . 14
261	256, 260	mulcncf 23215	. . . . . . . . . . . . 13
262	223, 228, 234, 261	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . . . . 12
263	226, 262	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11
264	31	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . 12
265		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
266	8, 230, 231, 265	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14
267	266	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
268		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
269	26, 230, 231, 268	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
270	269	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
271	223, 225, 270, 267	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . . . . . . 14
272	256, 271	mulcncf 23215	. . . . . . . . . . . . 13
273	223, 228, 267, 272	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . . . . 12
274	264, 273	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11
275	223, 225, 263, 274	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . . 10
276	275	trud 1493	. . . . . . . . 9
277		cniccibl 23607	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
278	1, 2, 276, 277	mp3an 1424	. . . . . . . 8
279	222, 278	eqeltri 2697	. . . . . . 7
280	279	a1i 11	. . . . . 6
281	213, 215, 218, 221, 280	iblss2 23572	. . . . 5
282	193, 281	ax-mp 5	. . . 4
283		dmarea 24684	. . . 4 area $/\$ $/\$
284	96, 212, 282, 283	mpbir3an 1244	. . 3 area
285		areaval 24691	. . 3 area area
286	284, 285	ax-mp 5	. 2 area
287		itgeq2 23544	. . . 4
288	191	a1i 11	. . . 4
289	287, 288	mprg 2926	. . 3
290		itgss2 23579	. . . 4
291	4, 290	ax-mp 5	. . 3
292	61, 58	addcli 10044	. . . . . 6
293		2cnne0 11242	. . . . . 6 $/\$
294		div32 10705	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
295	292, 293, 147, 294	mp3an 1424	. . . . 5
296	26, 8	addcli 10044	. . . . . 6
297		div32 10705	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
298	296, 293, 147, 297	mp3an 1424	. . . . 5
299	295, 298	oveq12i 6662	. . . 4
300		2cn 11091	. . . . . 6
301		2ne0 11113	. . . . . 6
302	292, 300, 301	divcli 10767	. . . . 5
303	296, 300, 301	divcli 10767	. . . . 5
304	302, 303, 147	subdiri 10480	. . . 4
305	114	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
306	263	trud 1493	. . . . . . . . 9
307		cniccibl 23607	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
308	1, 2, 306, 307	mp3an 1424	. . . . . . . 8
309	308	a1i 11	. . . . . . 7
310	113	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
311	274	trud 1493	. . . . . . . . 9
312		cniccibl 23607	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
313	1, 2, 311, 312	mp3an 1424	. . . . . . . 8
314	313	a1i 11	. . . . . . 7
315	305, 309, 310, 314	itgsub 23592	. . . . . 6
316	315	trud 1493	. . . . 5
317	58, 300, 301	divcan4i 10772	. . . . . . . . . . 11
318	317	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10
319	58, 300	mulcli 10045	. . . . . . . . . . 11
320		div32 10705	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
321	319, 293, 147, 320	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10
322	318, 321	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9
323	322	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
324		itgeq2 23544	. . . . . . . . . 10
325	66	a1i 11	. . . . . . . . . 10
326	324, 325	mprg 2926	. . . . . . . . 9
327	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
328		cniccibl 23607	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
329	1, 2, 233, 328	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
330	329	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
331	126	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
332	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
333	332, 327	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
334	331, 333	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$
335	261	trud 1493	. . . . . . . . . . . . 13
336		cniccibl 23607	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
337	1, 2, 335, 336	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
338	337	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
339	327, 330, 334, 338	itgadd 23591	. . . . . . . . . 10
340	339	trud 1493	. . . . . . . . 9
341		iccmbl 23334	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
342	1, 2, 341	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12
343		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . 15
344	342, 343	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
345	1, 2, 17	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . 15
346		ovolicc 23291	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
347	1, 2, 345, 346	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14
348	344, 347	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13
349	348, 12	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12
350		itgconst 23585	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
351	342, 349, 58, 350	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11
352	348	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
353	351, 352	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
354	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
355	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
356	354, 355	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13
357	256	trud 1493	. . . . . . . . . . . . . . 15
358		cniccibl 23607	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
359	1, 2, 357, 358	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14
360	359	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
361	356, 331, 360	itgmulc2 23600	. . . . . . . . . . . 12
362	361	trud 1493	. . . . . . . . . . 11
363		itgeq2 23544	. . . . . . . . . . . . . . 15
364	137	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16
365	364, 237, 238	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . . . 15
366	363, 365	mprg 2926	. . . . . . . . . . . . . 14
367	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
368		cncfmptid 22715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
369	230, 231, 368	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
370		cniccibl 23607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
371	1, 2, 369, 370	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
372	371	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
373	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
374		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
375	139, 230, 231, 374	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
376		cniccibl 23607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
377	1, 2, 375, 376	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
378	377	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
379	367, 372, 373, 378	itgsub 23592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
380	379	trud 1493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
381	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
382	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
383	345	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
384		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
385	384	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
386	381, 382, 383, 385	itgpowd 37800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
387	386	trud 1493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
388		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
389	388	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
390	387, 389	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
391		itgeq2 23544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
392	235	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
393	391, 392	mprg 2926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
394	388	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
395	388	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
396	394, 395	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
397	396	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
398	390, 393, 397	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
399		itgconst 23585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
400	342, 349, 139, 399	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
401	348	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
402	400, 401	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
403	398, 402	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
404	380, 403	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
405	404	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
406	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
407	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
408	406, 407	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
409	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
410	406, 407, 409	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
411	408, 410	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
412	411	trud 1493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
413	14	sqcli 12944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
414	139	sqcli 12944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
415	413, 414	subcli 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
416	415, 300, 301	divcli 10767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
417	139, 147	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
418	412, 416, 417	subdii 10479	. . . . . . . . . . . . . . . 16
419	405, 418	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15
420	137	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
421	367, 372, 373, 378	iblsub 23588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
422	411, 420, 421	itgmulc2 23600	. . . . . . . . . . . . . . . 16
423	422	trud 1493	. . . . . . . . . . . . . . 15
424	412, 417	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
425	417, 147, 21	divreci 10770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
426	139, 147, 21	divcan4i 10772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
427	424, 425, 426	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . . . . 16
428	427	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15
429	419, 423, 428	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . . . 14
430	366, 429	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13
431	14, 139	subsqi 12975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
432	431	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
433	432	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15
434	431, 415	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . . . . . . . 16
435	412, 434, 300, 301	divassi 10781	. . . . . . . . . . . . . . 15
436	412, 434	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
437	434, 147, 21	divreci 10770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
438	14, 139	addcli 10044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
439	438, 147, 21	divcan4i 10772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
440	436, 437, 439	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . . . . 16
441	440	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15
442	433, 435, 441	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . . 14
443	442	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
444	139, 300	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . 15
445		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
446	438, 444, 293, 445	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14
447	14, 139, 444	addsubassi 10372	. . . . . . . . . . . . . . . 16
448		subsub2 10309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
449	14, 444, 139, 448	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
450	139	times2i 11148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
451	450	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
452	139, 139	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
453	451, 452	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
454	453	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
455	447, 449, 454	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . . . 15
456	455	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
457	139, 300, 301	divcan4i 10772	. . . . . . . . . . . . . . 15
458	457	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14
459	446, 456, 458	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . . . . . 13
460	430, 443, 459	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . 12
461	460	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
462		itgeq2 23544	. . . . . . . . . . . 12
463	61, 58	subcli 10357	. . . . . . . . . . . . . 14
464	463	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
465	464, 127	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12
466	462, 465	mprg 2926	. . . . . . . . . . 11
467	362, 461, 466	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . . 10
468	353, 467	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9
469	326, 340, 468	3eqtri 2648	. . . . . . . 8
470	147, 300, 301	divcli 10767	. . . . . . . . 9
471	319, 463, 470	adddiri 10051	. . . . . . . 8
472	323, 469, 471	3eqtr4i 2654	. . . . . . 7
473		addsub12 10294	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
474	61, 319, 58, 473	mp3an 1424	. . . . . . . . 9
475	58	times2i 11148	. . . . . . . . . . . 12
476	475	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11
477	58, 58	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . 11
478	476, 477	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
479	478	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9
480	474, 479	eqtr3i 2646	. . . . . . . 8
481	480	oveq1i 6660	. . . . . . 7
482	472, 481	eqtri 2644	. . . . . 6
483	8, 300, 301	divcan4i 10772	. . . . . . . . . . 11
484	483	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10
485	8, 300	mulcli 10045	. . . . . . . . . . 11
486		div32 10705	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
487	485, 293, 147, 486	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10
488	484, 487	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9
489	488	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
490	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
491	490	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . 10
492	491	trud 1493	. . . . . . . . 9
493	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
494		cniccibl 23607	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
495	1, 2, 266, 494	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
496	495	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
497	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
498	497, 493	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
499	331, 498	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$
500	272	trud 1493	. . . . . . . . . . . . 13
501		cniccibl 23607	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
502	1, 2, 500, 501	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
503	502	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
504	493, 496, 499, 503	itgadd 23591	. . . . . . . . . 10
505	504	trud 1493	. . . . . . . . 9
506		itgconst 23585	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
507	342, 349, 8, 506	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11
508	348	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
509	507, 508	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
510	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
511	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
512	510, 511	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13
513	512, 331, 360	itgmulc2 23600	. . . . . . . . . . . 12
514	513	trud 1493	. . . . . . . . . . 11
515	460	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
516		itgeq2 23544	. . . . . . . . . . . 12
517	26, 8	subcli 10357	. . . . . . . . . . . . . 14
518	517	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
519	518, 127	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12
520	516, 519	mprg 2926	. . . . . . . . . . 11
521	514, 515, 520	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . . 10
522	509, 521	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9
523	492, 505, 522	3eqtri 2648	. . . . . . . 8
524	485, 517, 470	adddiri 10051	. . . . . . . 8
525	489, 523, 524	3eqtr4i 2654	. . . . . . 7
526		addsub12 10294	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
527	26, 485, 8, 526	mp3an 1424	. . . . . . . . 9
528	8	times2i 11148	. . . . . . . . . . . 12
529	528	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11
530	8, 8	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . 11
531	529, 530	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
532	531	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9
533	527, 532	eqtr3i 2646	. . . . . . . 8
534	533	oveq1i 6660	. . . . . . 7
535	525, 534	eqtri 2644	. . . . . 6
536	482, 535	oveq12i 6662	. . . . 5
537	316, 536	eqtri 2644	. . . 4
538	299, 304, 537	3eqtr4ri 2655	. . 3
539	289, 291, 538	3eqtr2i 2650	. 2
540	286, 539	eqtri 2644	1 area

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wne 2794

wral 2912 $\$ cdif 3571

wss 3574

c0 3915

cif 4086

csn 4177

cop 4183 class class class wbr 4653

copab 4712

cmpt 4729

cxp 5112

ccnv 5113

cdm 5114

cres 5116

cima 5117

wfun 5882

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

c2 11070

cn0 11292

cicc 12178

cexp 12860

ctopn 16082 ℂ_fldccnfld 19746

ccn 21028

ctx 21363

ccncf 22679

covol 23231

cvol 23232

cibl 23386

citg 23387 areacarea 24682

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390 df-ibl 23391 df-itg 23392 df-0p 23437 df-limc 23630 df-dv 23631 df-area 24683

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator