Theorem incexc 14569

Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. This is Metamath 100 proof #96. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
incexc	|- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )

Distinct variable group:   A, s

Proof of Theorem incexc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unifi 8255	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> U. A e. Fin )
2		hashcl 13147	. . . 4 |- ( U. A e. Fin -> ( # ` U. A ) e. NN0 )
3	2	nn0cnd 11353	. . 3 |- ( U. A e. Fin -> ( # ` U. A ) e. CC )
4	1, 3	syl 17	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) e. CC )
5		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
6		pwfi 8261	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
7	5, 6	sylib 208	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ~P A e. Fin )
8		diffi 8192	. . . 4 |- ( ~P A e. Fin -> ( ~P A \ { (/) } ) e. Fin )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( ~P A \ { (/) } ) e. Fin )
10		1cnd 10056	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> 1 e. CC )
11	10	negcld 10379	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> -u 1 e. CC )
12		eldifsni 4320	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ~P A \ { (/) } ) -> s =/= (/) )
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> s =/= (/) )
14		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ~P A \ { (/) } ) -> s e. ~P A )
15		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ~P A -> s C_ A )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( ~P A \ { (/) } ) -> s C_ A )
17		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ s C_ A ) -> s e. Fin )
18	5, 16, 17	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> s e. Fin )
19		hashnncl 13157	. . . . . . . 8 |- ( s e. Fin -> ( ( # ` s ) e. NN <-> s =/= (/) ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( ( # ` s ) e. NN <-> s =/= (/) ) )
21	13, 20	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( # ` s ) e. NN )
22		nnm1nn0 11334	. . . . . 6 |- ( ( # ` s ) e. NN -> ( ( # ` s ) - 1 ) e. NN0 )
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( ( # ` s ) - 1 ) e. NN0 )
24	11, 23	expcld 13008	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) e. CC )
25	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> s C_ A )
26		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> A C_ Fin )
27	25, 26	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> s C_ Fin )
28		unifi 8255	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. Fin /\ s C_ Fin ) -> U. s e. Fin )
29	18, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> U. s e. Fin )
30		intssuni 4499	. . . . . . . 8 |- ( s =/= (/) -> |^| s C_ U. s )
31	13, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> |^| s C_ U. s )
32		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( U. s e. Fin /\ |^| s C_ U. s ) -> |^| s e. Fin )
33	29, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> |^| s e. Fin )
34		hashcl 13147	. . . . . 6 |- ( |^| s e. Fin -> ( # ` |^| s ) e. NN0 )
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( # ` |^| s ) e. NN0 )
36	35	nn0cnd 11353	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( # ` |^| s ) e. CC )
37	24, 36	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) e. CC )
38	9, 37	fsumcl 14464	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) e. CC )
39		disjdif 4040	. . . . 5 |- ( { (/) } i^i ( ~P A \ { (/) } ) ) = (/)
40	39	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( { (/) } i^i ( ~P A \ { (/) } ) ) = (/) )
41		0elpw 4834	. . . . . . . 8 |- (/) e. ~P A
42		snssi 4339	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ~P A -> { (/) } C_ ~P A )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { (/) } C_ ~P A
44		undif 4049	. . . . . . 7 |- ( { (/) } C_ ~P A <-> ( { (/) } u. ( ~P A \ { (/) } ) ) = ~P A )
45	43, 44	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( { (/) } u. ( ~P A \ { (/) } ) ) = ~P A
46	45	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ~P A = ( { (/) } u. ( ~P A \ { (/) } ) )
47	46	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ~P A = ( { (/) } u. ( ~P A \ { (/) } ) ) )
48		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ~P A ) -> 1 e. CC )
49	48	negcld 10379	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ~P A ) -> -u 1 e. CC )
50	5, 15, 17	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ~P A ) -> s e. Fin )
51		hashcl 13147	. . . . . . 7 |- ( s e. Fin -> ( # ` s ) e. NN0 )
52	50, 51	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ~P A ) -> ( # ` s ) e. NN0 )
53	49, 52	expcld 13008	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ~P A ) -> ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) e. CC )
54	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ~P A ) -> U. A e. Fin )
55		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( U. A i^i |^| s ) C_ U. A
56		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( U. A e. Fin /\ ( U. A i^i |^| s ) C_ U. A ) -> ( U. A i^i |^| s ) e. Fin )
57	54, 55, 56	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ~P A ) -> ( U. A i^i |^| s ) e. Fin )
58		hashcl 13147	. . . . . . 7 |- ( ( U. A i^i |^| s ) e. Fin -> ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) e. NN0 )
59	57, 58	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ~P A ) -> ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) e. NN0 )
60	59	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ~P A ) -> ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) e. CC )
61	53, 60	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ~P A ) -> ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) e. CC )
62	40, 47, 7, 61	fsumsplit 14471	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> sum_ s e. ~P A ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) = ( sum_ s e. { (/) } ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) + sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) ) )
63		inidm 3822	. . . . . . 7 |- ( U. A i^i U. A ) = U. A
64	63	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( # ` ( U. A i^i U. A ) ) = ( # ` U. A )
65	64	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( ( # ` U. A ) - ( # ` ( U. A i^i U. A ) ) ) = ( ( # ` U. A ) - ( # ` U. A ) )
66	4	subidd 10380	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( ( # ` U. A ) - ( # ` U. A ) ) = 0 )
67	65, 66	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( ( # ` U. A ) - ( # ` ( U. A i^i U. A ) ) ) = 0 )
68		incexclem 14568	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ U. A e. Fin ) -> ( ( # ` U. A ) - ( # ` ( U. A i^i U. A ) ) ) = sum_ s e. ~P A ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) )
69	1, 68	syldan 487	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( ( # ` U. A ) - ( # ` ( U. A i^i U. A ) ) ) = sum_ s e. ~P A ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) )
70	67, 69	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> 0 = sum_ s e. ~P A ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) )
71	4, 38	negsubd 10398	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( ( # ` U. A ) + -u sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) ) = ( ( # ` U. A ) - sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) ) )
72		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
73		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> 1 e. CC )
74	73, 4	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( 1 x. ( # ` U. A ) ) e. CC )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = (/) -> ( # ` s ) = ( # ` (/) ) )
76		hash0 13158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( # ` (/) ) = 0
77	75, 76	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = (/) -> ( # ` s ) = 0 )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( s = (/) -> ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) = ( -u 1 ^ 0 ) )
79		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
80		exp0 12864	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 e. CC -> ( -u 1 ^ 0 ) = 1 )
81	79, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( -u 1 ^ 0 ) = 1
82	78, 81	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( s = (/) -> ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) = 1 )
83		rint0 4517	. . . . . . . . . 10 |- ( s = (/) -> ( U. A i^i |^| s ) = U. A )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( s = (/) -> ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) = ( # ` U. A ) )
85	82, 84	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( s = (/) -> ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) = ( 1 x. ( # ` U. A ) ) )
86	85	sumsn 14475	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. _V /\ ( 1 x. ( # ` U. A ) ) e. CC ) -> sum_ s e. { (/) } ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) = ( 1 x. ( # ` U. A ) ) )
87	72, 74, 86	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> sum_ s e. { (/) } ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) = ( 1 x. ( # ` U. A ) ) )
88	4	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( 1 x. ( # ` U. A ) ) = ( # ` U. A ) )
89	87, 88	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ s e. { (/) } ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) )
90	9, 37	fsumneg 14519	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) -u ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = -u sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )
91		expm1t 12888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( # ` s ) e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. -u 1 ) )
92	11, 21, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. -u 1 ) )
93	24, 11	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. -u 1 ) = ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) ) )
94	24	mulm1d 10482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( -u 1 x. ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) ) = -u ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) )
95	92, 93, 94	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) = -u ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) )
96	25	unissd 4462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> U. s C_ U. A )
97	31, 96	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> |^| s C_ U. A )
98		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . 11 |- ( |^| s C_ U. A <-> ( U. A i^i |^| s ) = |^| s )
99	97, 98	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( U. A i^i |^| s ) = |^| s )
100	99	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) = ( # ` |^| s ) )
101	95, 100	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) = ( -u ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )
102	24, 36	mulneg1d 10483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( -u ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = -u ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )
103	101, 102	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ) -> -u ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) )
104	103	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) -u ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) )
105	90, 104	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> -u sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) )
106	89, 105	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( ( # ` U. A ) + -u sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) ) = ( sum_ s e. { (/) } ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) + sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) ) )
107	71, 106	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( ( # ` U. A ) - sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) ) = ( sum_ s e. { (/) } ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) + sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( # ` s ) ) x. ( # ` ( U. A i^i |^| s ) ) ) ) )
108	62, 70, 107	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( ( # ` U. A ) - sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) ) = 0 )
109	4, 38, 108	subeq0d 10400	1 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  incexc2  14570