Theorem dvcobr 23709

Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 23710. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvco.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvco.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvco.g	|- ( ph -> G : Y --> X )
dvco.y	|- ( ph -> Y C_ T )
dvcobr.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcobr.t	|- ( ph -> T C_ CC )
dvco.k	|- ( ph -> K e. V )
dvco.l	|- ( ph -> L e. V )
dvco.bf	|- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
dvco.bg	|- ( ph -> C ( T _D G ) L )
dvco.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
dvcobr	|- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Proof of Theorem dvcobr

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvco.bg	. . . 4 |- ( ph -> C ( T _D G ) L )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( J ↾t T ) = ( J ↾t T )
3		dvco.j	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5		dvcobr.t	. . . . 5 |- ( ph -> T C_ CC )
6		dvco.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G : Y --> X )
7		dvco.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
8		dvcobr.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
9	7, 8	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
10	6, 9	fssd 6057	. . . . 5 |- ( ph -> G : Y --> CC )
11		dvco.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ T )
12	2, 3, 4, 5, 10, 11	eldv 23662	. . . 4 |- ( ph -> ( C ( T _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
13	1, 12	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
14	13	simpld 475	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) )
15		dvco.bf	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) ( S _D F ) K )
16		dvco.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> CC )
17	8, 16, 7	dvcl 23663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( G ` C ) ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
18	15, 17	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
19	18	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> K e. CC )
20	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> F : X --> CC )
21		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( Y \ { C } ) -> z e. Y )
22		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) e. X )
23	6, 21, 22	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. X )
24	20, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( F ` ( G ` z ) ) e. CC )
26	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> G : Y --> X )
27	5, 10, 11	dvbss 23665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom ( T _D G ) C_ Y )
28		reldv 23634	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ( T _D G )
29		releldm 5358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Rel ( T _D G ) /\ C ( T _D G ) L ) -> C e. dom ( T _D G ) )
30	28, 1, 29	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. dom ( T _D G ) )
31	27, 30	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. Y )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> C e. Y )
33	26, 32	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. X )
34	20, 33	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( F ` ( G ` C ) ) e. CC )
36	25, 35	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) e. CC )
37	10	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> G : Y --> CC )
38	21	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> z e. Y )
39	37, 38	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
40	31	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> C e. Y )
41	37, 40	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
42	39, 41	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
43		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> -. ( G ` z ) = ( G ` C ) )
44	39, 41	subeq0ad 10402	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
45	44	necon3abid 2830	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) =/= 0 <-> -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
46	43, 45	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) =/= 0 )
47	36, 42, 46	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) e. CC )
48	19, 47	ifclda 4120	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) e. CC )
49	11, 5	sstrd 3613	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ CC )
50	10, 49, 31	dvlem 23660	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
51		ssid 3624	. . . . 5 |- CC C_ CC
52	51	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
53	3	cnfldtopon 22586	. . . . . . 7 |- J e. (TopOn ` CC )
54		txtopon 21394	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
55	53, 53, 54	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
56	55	toponunii 20721	. . . . . . 7 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
57	56	restid 16094	. . . . . 6 |- ( ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) -> ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J ) )
58	55, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J )
59	58	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
60	23	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) e. X /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) )
61		eldifsn 4317	. . . . . . 7 |- ( ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) <-> ( ( G ` z ) e. X /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) )
62	60, 61	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) -> ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) )
63	62	anasss 679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { C } ) /\ ( G ` z ) =/= ( G ` C ) ) ) -> ( G ` z ) e. ( X \ { ( G ` C ) } ) )
64		eldifsni 4320	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) -> y =/= ( G ` C ) )
65		ifnefalse 4098	. . . . . . . 8 |- ( y =/= ( G ` C ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
67	66	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
68	6, 31	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) e. X )
69	16, 9, 68	dvlem 23660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) e. CC )
70	67, 69	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) e. CC )
71		limcresi 23649	. . . . . . 7 |- ( G lim CC C ) C_ ( ( G |` ( Y \ { C } ) ) lim CC C )
72	6	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) )
73	72	reseq1d 5395	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G |` ( Y \ { C } ) ) = ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) )
74		difss 3737	. . . . . . . . . 10 |- ( Y \ { C } ) C_ Y
75		resmpt 5449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y \ { C } ) C_ Y -> ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y |-> ( G ` z ) ) |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) )
77	73, 76	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` ( Y \ { C } ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
78	77	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` ( Y \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
79	71, 78	syl5sseq 3653	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) C_ ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
80		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
81	80, 3	dvcnp2 23683	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ T ) /\ C e. dom ( T _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
82	5, 10, 11, 30, 81	syl31anc 1329	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
83	3, 80	cnplimc 23651	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
84	49, 31, 83	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
85	82, 84	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
86	85	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
87	79, 86	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
89		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
90	88, 3, 89, 8, 16, 7	eldv 23662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` C ) ( S _D F ) K <-> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) ) )
91	15, 90	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` C ) e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) ) )
92	91	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
93	66	mpteq2ia 4740	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) = ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) )
94	93	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) = ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) )
95	92, 94	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( y e. ( X \ { ( G ` C ) } ) |-> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC ( G ` C ) ) )
96		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y = ( G ` C ) <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
97		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = ( G ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
98	97	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
99		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` z ) -> ( y - ( G ` C ) ) = ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) )
100	98, 99	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
101	96, 100	ifbieq2d 4111	. . . . 5 |- ( y = ( G ` z ) -> if ( y = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( y - ( G ` C ) ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) )
102		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) = K )
103	102	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y \ { C } ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) ) -> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) = K )
104	63, 70, 87, 95, 101, 103	limcco 23657	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) ) lim CC C ) )
105	13	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
106	3	mulcn 22670	. . . . 5 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
107	5, 10, 11	dvcl 23663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C ( T _D G ) L ) -> L e. CC )
108	1, 107	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. CC )
109		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ L e. CC ) -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
110	18, 108, 109	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
111	56	cncnpi 21082	. . . . 5 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
112	106, 110, 111	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
113	48, 50, 52, 52, 3, 59, 104, 105, 112	limccnp2 23656	. . 3 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) )
114		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( K = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
115	114	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( K = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) <-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) ) )
116		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
117	116	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) <-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) ) )
118	19	mul01d 10235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. 0 ) = 0 )
119	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> X C_ CC )
120	119, 23	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
121	119, 33	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
122	120, 121	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 <-> ( G ` z ) = ( G ` C ) ) )
123	122	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) = 0 )
124	123	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( 0 / ( z - C ) ) )
125	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> Y C_ CC )
126	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z e. Y )
127	125, 126	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z e. CC )
128	125, 32	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> C e. CC )
129	127, 128	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
130		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( Y \ { C } ) -> z =/= C )
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> z =/= C )
132	127, 128, 131	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
133	129, 132	div0d 10800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( 0 / ( z - C ) ) = 0 )
134	133	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( 0 / ( z - C ) ) = 0 )
135	124, 134	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) = 0 )
136	135	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( K x. 0 ) )
137		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> ( F ` ( G ` z ) ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
138	24, 34	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 <-> ( F ` ( G ` z ) ) = ( F ` ( G ` C ) ) ) )
139	137, 138	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) = ( G ` C ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 ) )
140	139	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) = 0 )
141	140	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( 0 / ( z - C ) ) )
142	141, 134	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = 0 )
143	118, 136, 142	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( K x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
144	129	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( z - C ) e. CC )
145	132	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
146	36, 42, 144, 46, 145	dmdcan2d 10831	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) /\ -. ( G ` z ) = ( G ` C ) ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
147	115, 117, 143, 146	ifbothda 4123	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
148		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : Y --> X /\ z e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
149	6, 21, 148	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( F o. G ) ` z ) = ( F ` ( G ` z ) ) )
150		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y --> X /\ C e. Y ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
151	6, 31, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
152	151	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
153	149, 152	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) = ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) )
154	153	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
155	147, 154	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
156	155	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
157	156	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( if ( ( G ` z ) = ( G ` C ) , K , ( ( ( F ` ( G ` z ) ) - ( F ` ( G ` C ) ) ) / ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) ) x. ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
158	113, 157	eleqtrd 2703	. 2 |- ( ph -> ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
159		eqid 2622	. . 3 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
160		fco 6058	. . . 4 |- ( ( F : X --> CC /\ G : Y --> X ) -> ( F o. G ) : Y --> CC )
161	16, 6, 160	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : Y --> CC )
162	2, 3, 159, 5, 161, 11	eldv 23662	. 2 |- ( ph -> ( C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t T ) ) ` Y ) /\ ( K x. L ) e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( ( F o. G ) ` z ) - ( ( F o. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
163	14, 158, 162	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> C ( T _D ( F o. G ) ) ( K x. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   tX ctx 21363   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvco  23710  dvcof  23711  dvef  23743