Theorem fourierdlem60 40383

Description: Given a differentiable function F, with finite limit of the derivative at A the derived function H has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem60.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem60.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem60.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem60.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem60.y	|- ( ph -> Y e. ( F lim CC B ) )
fourierdlem60.g	|- G = ( RR _D F )
fourierdlem60.domg	|- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
fourierdlem60.e	|- ( ph -> E e. ( G lim CC B ) )
fourierdlem60.h	|- H = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) )
fourierdlem60.n	|- N = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
fourierdlem60.d	|- D = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem60	|- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   D, s   E, s   F, s   G, s   N, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem60

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem60.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem60.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3	1, 2	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )
4	3	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR* )
5		0red 10041	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
6		fourierdlem60.altb	. . . 4 |- ( ph -> A < B )
7	1, 2	sublt0d 10653	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < B ) )
8	6, 7	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( A - B ) < 0 )
9		fourierdlem60.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
11	1	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> A e. RR* )
13	2	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> B e. RR* )
15	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> B e. RR )
16		elioore 12205	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) -> s e. RR )
17	16	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s e. RR )
18	15, 17	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) e. RR )
19	2	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
20	1	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
21	19, 20	pncan3d 10395	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B + ( A - B ) ) = A )
22	21	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = ( B + ( A - B ) ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> A = ( B + ( A - B ) ) )
24	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) e. RR )
25	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) e. RR* )
26		0xr 10086	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 0 e. RR* )
28		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) )
29		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A - B ) e. RR* /\ 0 e. RR* /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) < s )
30	25, 27, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) < s )
31	24, 17, 15, 30	ltadd2dd 10196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + ( A - B ) ) < ( B + s ) )
32	23, 31	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> A < ( B + s ) )
33		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 0 e. RR )
34		iooltub 39735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A - B ) e. RR* /\ 0 e. RR* /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s < 0 )
35	25, 27, 28, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s < 0 )
36	17, 33, 15, 35	ltadd2dd 10196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) < ( B + 0 ) )
37	19	addid1d 10236	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B + 0 ) = B )
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + 0 ) = B )
39	36, 38	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) < B )
40	12, 14, 18, 32, 39	eliood 39720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) e. ( A (,) B ) )
41	10, 40	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( F ` ( B + s ) ) e. RR )
42		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) B ) C_ RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
44		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
45	43, 44	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
46		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
47	46, 11, 2, 6	lptioo2cn 39877	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A (,) B ) ) )
48		fourierdlem60.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( F lim CC B ) )
49	9, 45, 47, 48	limcrecl 39861	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
50	49	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> Y e. RR )
51	41, 50	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) e. RR )
52		fourierdlem60.n	. . . 4 |- N = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
53	51, 52	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> N : ( ( A - B ) (,) 0 ) --> RR )
54		fourierdlem60.d	. . . 4 |- D = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s )
55	17, 54	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> D : ( ( A - B ) (,) 0 ) --> RR )
56	52	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) )
57	56	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) )
58	57	dmeqd 5326	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = dom ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) )
59		reelprrecn 10028	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
61	41	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( F ` ( B + s ) ) e. CC )
62		dvfre 23714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
63	9, 43, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
64		fourierdlem60.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( RR _D F )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G = ( RR _D F ) )
66	65	feq1d 6030	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
67	63, 66	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
68	67	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
69	65	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D F ) = G )
70	69	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = dom G )
71		fourierdlem60.domg	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
72	70, 71	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
74	40, 73	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) e. dom ( RR _D F ) )
75	68, 74	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) e. RR )
76		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 1 e. RR )
77	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
78	77	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
79	72	feq2d 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G : ( A (,) B ) --> RR <-> G : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
80	67, 79	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
81	80	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
82	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> B e. CC )
83	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> B e. CC )
84		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 0 e. RR )
85	60, 19	dvmptc 23721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> B ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
86		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A - B ) (,) 0 ) C_ RR
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) C_ RR )
88	46	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
89		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A - B ) (,) 0 ) e. ( topGen ` ran (,) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
91	60, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90	dvmptres 23726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 0 ) )
92	17	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s e. CC )
93		recn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. CC )
95		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 1 e. RR )
96	60	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> s ) ) = ( s e. RR |-> 1 ) )
97	60, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90	dvmptres 23726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
98	60, 82, 33, 91, 92, 76, 97	dvmptadd 23723	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( 0 + 1 ) ) )
99		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
100	99	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( 0 + 1 ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 )
101	98, 100	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
102	9	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) )
103	102	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) = F )
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( RR _D F ) )
105	80	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
106	104, 69, 105	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
107		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B + s ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( B + s ) ) )
108		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B + s ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( B + s ) ) )
109	60, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108	dvmptco 23735	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) x. 1 ) ) )
110	75	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) e. CC )
111	110	mulid1d 10057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) x. 1 ) = ( G ` ( B + s ) ) )
112	111	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) x. 1 ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
113	109, 112	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
114		limccl 23639	. . . . . . . . 9 |- ( F lim CC B ) C_ CC
115	114, 48	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
116	115	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> Y e. CC )
117	115	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> Y e. CC )
118	60, 115	dvmptc 23721	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> Y ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
119	60, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90	dvmptres 23726	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 0 ) )
120	60, 61, 75, 113, 116, 27, 119	dvmptsub 23730	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) - 0 ) ) )
121	110	subid1d 10381	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) - 0 ) = ( G ` ( B + s ) ) )
122	121	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
123	120, 122	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
124	123	dmeqd 5326	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) = dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
125	75	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ( G ` ( B + s ) ) e. RR )
126		dmmptg 5632	. . . . 5 |- ( A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ( G ` ( B + s ) ) e. RR -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
127	125, 126	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
128	58, 124, 127	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
129	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) )
130	129	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) ) )
131	130, 97	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
132	131	dmeqd 5326	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
133	76	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) 1 e. RR )
134		dmmptg 5632	. . . . 5 |- ( A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) 1 e. RR -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
135	133, 134	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
136	132, 135	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
137		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) )
138		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y )
139		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
140	40	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) =/= B ) ) -> ( B + s ) e. ( A (,) B ) )
141		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B )
142		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s )
143		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) )
144	87, 44	syl6ss 3615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) C_ CC )
145	5	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. CC )
146	141, 144, 19, 145	constlimc 39856	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B ) lim CC 0 ) )
147	144, 142, 145	idlimc 39858	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) lim CC 0 ) )
148	141, 142, 143, 82, 92, 146, 147	addlimc 39880	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B + 0 ) e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) lim CC 0 ) )
149	37, 148	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) lim CC 0 ) )
150	102	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F lim CC B ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC B ) )
151	48, 150	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC B ) )
152		simplrr 801	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( F ` ( B + s ) ) = Y ) -> ( B + s ) = B )
153	18, 39	ltned 10173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) =/= B )
154	153	neneqd 2799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> -. ( B + s ) = B )
155	154	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) -> -. ( B + s ) = B )
156	155	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( F ` ( B + s ) ) = Y ) -> -. ( B + s ) = B )
157	152, 156	condan 835	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) -> ( F ` ( B + s ) ) = Y )
158	140, 78, 149, 151, 107, 157	limcco 23657	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) lim CC 0 ) )
159	138, 144, 115, 145	constlimc 39856	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y ) lim CC 0 ) )
160	137, 138, 139, 61, 116, 158, 159	sublimc 39884	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) )
161	115	subidd 10380	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) = 0 )
162	52	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) = N
163	162	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 )
164	163	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 ) )
165	160, 161, 164	3eltr3d 2715	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( N lim CC 0 ) )
166	144, 54, 145	idlimc 39858	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( D lim CC 0 ) )
167		ubioo 12207	. . . . 5 |- -. 0 e. ( ( A - B ) (,) 0 )
168	167	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. ( ( A - B ) (,) 0 ) )
169		mptresid 5456	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) = ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) )
170	129, 169	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ph -> D = ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) ) )
171	170	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( ph -> ran D = ran ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) ) )
172		rnresi 5479	. . . . 5 |- ran ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) ) = ( ( A - B ) (,) 0 )
173	171, 172	syl6req 2673	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) = ran D )
174	168, 173	neleqtrd 2722	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran D )
175		0ne1 11088	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
176	175	neii 2796	. . . . 5 |- -. 0 = 1
177		elsng 4191	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
178	5, 177	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
179	176, 178	mtbiri 317	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. { 1 } )
180	131	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( RR _D D ) = ran ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
181		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 )
182	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR* )
183		ioon0 12201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - B ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( ( A - B ) (,) 0 ) =/= (/) <-> ( A - B ) < 0 ) )
184	4, 182, 183	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A - B ) (,) 0 ) =/= (/) <-> ( A - B ) < 0 ) )
185	8, 184	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) =/= (/) )
186	181, 76, 185	rnmptc 39353	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = { 1 } )
187	180, 186	eqtr2d 2657	. . . 4 |- ( ph -> { 1 } = ran ( RR _D D ) )
188	179, 187	neleqtrd 2722	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D D ) )
189	81	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
190		fourierdlem60.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( G lim CC B ) )
191	105	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC B ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC B ) )
192	190, 191	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC B ) )
193		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( G ` ( B + s ) ) = E ) -> ( B + s ) = B )
194	155	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( G ` ( B + s ) ) = E ) -> -. ( B + s ) = B )
195	193, 194	condan 835	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) = E )
196	140, 189, 149, 192, 108, 195	limcco 23657	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) lim CC 0 ) )
197	110	div1d 10793	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) / 1 ) = ( G ` ( B + s ) ) )
198	56, 123	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
199	198	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( RR _D N ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
200	199	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( RR _D N ) ` s ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) ` s ) )
201		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) )
202	201	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( G ` ( B + s ) ) e. RR ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( B + s ) ) )
203	28, 75, 202	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( B + s ) ) )
204	200, 203	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) = ( ( RR _D N ) ` s ) )
205	131	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) )
206	205	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) )
207	181	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ 1 e. RR ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
208	28, 76, 207	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
209	206, 208	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 1 = ( ( RR _D D ) ` s ) )
210	204, 209	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) / 1 ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
211	197, 210	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
212	211	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) )
213	212	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) lim CC 0 ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
214	196, 213	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
215	4, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214	lhop2 23778	. 2 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
216	52	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) e. RR ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
217	28, 51, 216	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
218	54	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( D ` s ) = s )
219	28, 28, 218	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( D ` s ) = s )
220	217, 219	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) = ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) )
221	220	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) ) )
222		fourierdlem60.h	. . . 4 |- H = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) )
223	221, 222	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = H )
224	223	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) = ( H lim CC 0 ) )
225	215, 224	eleqtrd 2703	1 |- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   (,)cioo 12175   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  40397