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Theorem maducoeval2 20446

Description: An entry of the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by SO, 17-Jul-2018.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
madufval.a	Mat
madufval.d	maDet
madufval.j	maAdju
madufval.b
madufval.o
madufval.z

**Assertion**
Ref	Expression
maducoeval2	$/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem maducoeval2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . . . . . . 8
2	1	ifbid 4108	. . . . . . 7
3	2	ifeq2d 4105	. . . . . 6
4	3	mpt2eq3dv 6721	. . . . 5
5	4	fveq2d 6195	. . . 4
6	5	eqeq2d 2632	. . 3
7		eleq2 2690	. . . . . . . 8
8	7	ifbid 4108	. . . . . . 7
9	8	ifeq2d 4105	. . . . . 6
10	9	mpt2eq3dv 6721	. . . . 5
11	10	fveq2d 6195	. . . 4
12	11	eqeq2d 2632	. . 3
13		eleq2 2690	. . . . . . . 8
14	13	ifbid 4108	. . . . . . 7
15	14	ifeq2d 4105	. . . . . 6
16	15	mpt2eq3dv 6721	. . . . 5
17	16	fveq2d 6195	. . . 4
18	17	eqeq2d 2632	. . 3
19		eleq2 2690	. . . . . . . 8 $\$ $\$
20	19	ifbid 4108	. . . . . . 7 $\$ $\$
21	20	ifeq2d 4105	. . . . . 6 $\$ $\$
22	21	mpt2eq3dv 6721	. . . . 5 $\$ $\$
23	22	fveq2d 6195	. . . 4 $\$ $\$
24	23	eqeq2d 2632	. . 3 $\$ $\$
25		madufval.a	. . . . . 6 Mat
26		madufval.d	. . . . . 6 maDet
27		madufval.j	. . . . . 6 maAdju
28		madufval.b	. . . . . 6
29		madufval.o	. . . . . 6
30		madufval.z	. . . . . 6
31	25, 26, 27, 28, 29, 30	maducoeval 20445	. . . . 5 $/\$ $/\$
32	31	3adant1l 1318	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
33		noel 3919	. . . . . . . 8
34		iffalse 4095	. . . . . . . 8
35	33, 34	mp1i 13	. . . . . . 7 $/\$
36	35	ifeq2d 4105	. . . . . 6 $/\$
37	36	mpt2eq3ia 6720	. . . . 5
38	37	fveq2i 6194	. . . 4
39	32, 38	syl6eqr 2674	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
40		eqid 2622	. . . . . . 7
41		eqid 2622	. . . . . . 7
42		eqid 2622	. . . . . . 7
43		simpl1l 1112	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
44		simp1r 1086	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
45	25, 28	matrcl 20218	. . . . . . . . . 10 $/\$
46	45	simpld 475	. . . . . . . . 9
47	44, 46	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
49		simp1l 1085	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
51		crngring 18558	. . . . . . . . . 10
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
53	40, 30	ring0cl 18569	. . . . . . . . 9
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
55		simpl1r 1113	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
56	25, 40, 28	matbas2i 20228	. . . . . . . . . . 11
57		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11
58	55, 56, 57	3syl 18	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
59	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
60		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
61	60	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
62	61	eldifad 3586	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
63	62	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
64		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
65	59, 63, 64	fovrnd 6806	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
66	54, 65	ifcld 4131	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
67	40, 29	ringidcl 18568	. . . . . . . . 9
68	52, 67	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
69	68, 54	ifcld 4131	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
70	54	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
71	58	fovrnda 6805	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
72	71	3impb 1260	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
73	70, 72	ifcld 4131	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
74	73, 72	ifcld 4131	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
75		simpl2 1065	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
76	58, 62, 75	fovrnd 6806	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
77		simpl3 1066	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
78		eldifsni 4320	. . . . . . . 8 $\$
79	61, 78	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
80	26, 40, 41, 42, 43, 48, 66, 69, 74, 76, 62, 77, 79	mdetero 20416	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
81		ifnot 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
82	81	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
84		ovif2 6738	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
86	40, 42, 29	ringridm 18572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
87	52, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
89		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
91	88, 90	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
92	91	ifeq1da 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
93	40, 42, 30	ringrz 18588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
94	52, 85, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
95	94	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
96	92, 95	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
97	84, 96	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
98	83, 97	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
99		ringmnd 18556	. . . . . . . . . . . . . . . 16
100	52, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
101		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
103	101, 102	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
105	40, 30, 41	mndifsplit 20442	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
106	100, 65, 104, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\/$
107		pm2.1 433	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
108		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $\/$
109	107, 108	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\/$
110	98, 106, 109	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
111	110	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
112		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13
113	112	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12
114	111, 113	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
115	114	imp 445	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
116		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11
117	116	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	79	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
119	118	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
120		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15
121	120	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14
122	119, 121	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
123	122	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
126	125	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
127	126	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
128		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15
129	128	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14
130	127, 129	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
131	130	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	124, 132	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	115, 117, 133	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
135		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10
136	135	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	134, 136	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$
138	137	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
139	138	fveq2d 6195	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
140		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . 15
141	140	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
142	141	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
143	142	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
144	143	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 $/\$
145		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
147	146	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . 11 $/\$
148		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12
149	148	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
150	144, 147, 149	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$
151	112	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . 14
152		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
153		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
154	152, 153	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
155		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16
156	154, 155	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . 15
157	156	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . 14
158		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14
159	151, 157, 158	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . 13
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
161		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14
162		orc 400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$
163		orel2 398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$
164	162, 163	impbid2 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$
165		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$
166		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
167	166	orbi2i 541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
168	165, 167	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$
169	164, 168	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15
170	169	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . 14
171	161, 170	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
173	160, 172	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . 11 $/\$
174		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . 13
175	174	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . 12
176	175	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
177		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12
178	177	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
179	173, 176, 178	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$
180	150, 179	pm2.61dan 832	. . . . . . . . 9
181	180	mpt2eq3dv 6721	. . . . . . . 8
182	181	fveq2d 6195	. . . . . . 7
183	79, 182	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
184	80, 139, 183	3eqtr3d 2664	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
185	184	eqeq2d 2632	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
186	185	biimpd 219	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
187		difss 3737	. . . 4 $\$
188		ssfi 8180	. . . 4 $/\$ $\$ $\$
189	47, 187, 188	sylancl 694	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
190	6, 12, 18, 24, 39, 186, 189	findcard2d 8202	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
191		iba 524	. . . . . . . 8 $/\$
192	191	ifbid 4108	. . . . . . 7 $/\$
193		iftrue 4092	. . . . . . 7 $\$
194		iftrue 4092	. . . . . . . 8 $\/$ $\/$ $/\$ $/\$
195	194	orcs 409	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$
196	192, 193, 195	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 $\$ $\/$ $/\$
197	196	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $\/$ $/\$
198		iffalse 4095	. . . . . . 7 $\$ $\$
199	198	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $\$
200		id 22	. . . . . . . . . . 11
201	200	neqned 2801	. . . . . . . . . 10
202	201	anim2i 593	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
203	202	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
204		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 $\$ $/\$
205	203, 204	sylibr 224	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$
206	205	iftrued 4094	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
207		biorf 420	. . . . . . . 8 $\/$
208	200	intnand 962	. . . . . . . . . 10 $/\$
209	208	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 $/\$
210	209	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 $/\$
211	207, 210	ifbieq1d 4109	. . . . . . 7 $\/$ $/\$
212	211	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
213	199, 206, 212	3eqtrd 2660	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $\/$ $/\$
214	197, 213	pm2.61dan 832	. . . 4 $/\$ $\$ $\/$ $/\$
215	214	mpt2eq3ia 6720	. . 3 $\$ $\/$ $/\$
216	215	fveq2i 6194	. 2 $\$ $\/$ $/\$
217	190, 216	syl6eq 2672	1 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

wss 3574

c0 3915

cif 4086

csn 4177

cxp 5112

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

cmap 7857

cfn 7955

cbs 15857

cplusg 15941

cmulr 15942

c0g 16100

cmnd 17294

cur 18501

crg 18547

ccrg 18548 Mat cmat 20213 maDet cmdat 20390 maAdju cmadu 20438

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-xor 1465 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-ot 4186 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-concat 13301 df-s1 13302 df-substr 13303 df-splice 13304 df-reverse 13305 df-s2 13593 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-prds 16108 df-pws 16110 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-submnd 17336 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-ghm 17658 df-gim 17701 df-cntz 17750 df-oppg 17776 df-symg 17798 df-pmtr 17862 df-psgn 17911 df-evpm 17912 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-rnghom 18715 df-drng 18749 df-subrg 18778 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-cnfld 19747 df-zring 19819 df-zrh 19852 df-dsmm 20076 df-frlm 20091 df-mat 20214 df-mdet 20391 df-madu 20440

This theorem is referenced by: madutpos 20448

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