Theorem mbfi1flim 23490

Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1flim.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
mbfi1flim.2	|- ( ph -> F : A --> RR )

Assertion

Ref	Expression
mbfi1flim	|- ( ph -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. A ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   g, n, x, A   g, F, n, x   ph, g, n, x

Proof of Theorem mbfi1flim

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) = ( F ` y ) )
2	1	mpteq2ia 4740	. . . . . . 7 |- ( y e. A |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) = ( y e. A |-> ( F ` y ) )
3		mbfi1flim.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> RR )
4	3	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F = ( y e. A |-> ( F ` y ) ) )
5		mbfi1flim.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. MblFn )
6	4, 5	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( F ` y ) ) e. MblFn )
7	2, 6	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. A |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) e. MblFn )
8		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( F ` y ) e. _V
9		c0ex 10034	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
10	8, 9	ifex 4156	. . . . . . 7 |- if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) e. _V
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) e. _V )
12	7, 11	mbfdm2 23405	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
13		mblss 23299	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
14	12, 13	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
15		rembl 23308	. . . . 5 |- RR e. dom vol
16	15	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
17		eldifn 3733	. . . . . 6 |- ( y e. ( RR \ A ) -> -. y e. A )
18	17	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( RR \ A ) ) -> -. y e. A )
19	18	iffalsed 4097	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( RR \ A ) ) -> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) = 0 )
20	14, 16, 11, 19, 7	mbfss 23413	. . 3 |- ( ph -> ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) e. MblFn )
21	3	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) e. RR )
22		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. y e. A ) -> 0 e. RR )
23	21, 22	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ph -> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) e. RR )
24	23	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) e. RR )
25		eqid 2622	. . . 4 |- ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) )
26	24, 25	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) : RR --> RR )
27	20, 26	mbfi1flimlem 23489	. 2 |- ( ph -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) )
28		ssralv 3666	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) -> A. x e. A ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) )
29	14, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) -> A. x e. A ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) )
30	14	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. RR )
31		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( y e. A <-> x e. A ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
33	31, 32	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) = if ( x e. A , ( F ` x ) , 0 ) )
34		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ` x ) e. _V
35	34, 9	ifex 4156	. . . . . . . . . 10 |- if ( x e. A , ( F ` x ) , 0 ) e. _V
36	33, 25, 35	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. A , ( F ` x ) , 0 ) )
37	30, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. A , ( F ` x ) , 0 ) )
38		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( F ` x ) , 0 ) = ( F ` x ) )
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( F ` x ) , 0 ) = ( F ` x ) )
40	37, 39	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
41	40	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )
42	41	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. A ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) <-> A. x e. A ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )
43	29, 42	sylibd 229	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) -> A. x e. A ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )
44	43	anim2d 589	. . 3 |- ( ph -> ( ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) -> ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. A ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) )
45	44	eximdv 1846	. 2 |- ( ph -> ( E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( y e. A , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. A ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) )
46	27, 45	mpd 15	1 |- ( ph -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. A ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936   NNcn 11020   ~~> cli 14215   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  mbfmullem  23492