Theorem mbflim 23435

Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbflim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
mbflim.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
mbflim.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) ~~> C )
mbflim.5	|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
mbflim.6	|- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. V )

Assertion

Ref	Expression
mbflim	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, n, A   ph, n, x   n, Z, x

Allowed substitution hints:   B( x, n)   C( x, n)   M( x, n)   V( x, n)

Proof of Theorem mbflim

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbflim.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		mbflim.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		mbflim.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) ~~> C )
4		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
5	1, 4	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- Z e. _V
6	5	mptex 6486	. . . . 5 |- ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) e. _V
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) e. _V )
8	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M e. ZZ )
9		mbflim.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
10		mbflim.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. V )
11	10	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. A ) -> B e. V )
12	9, 11	mbfmptcl 23404	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
13	12	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> B e. CC )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. Z |-> B ) = ( n e. Z |-> B )
15	13, 14	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) : Z --> CC )
16	15	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC )
17		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> n e. Z )
18	13	recld 13934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( Re ` B ) e. RR )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) = ( n e. Z |-> ( Re ` B ) )
20	19	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Z /\ ( Re ` B ) e. RR ) -> ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` n ) = ( Re ` B ) )
21	17, 18, 20	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` n ) = ( Re ` B ) )
22	14	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Z /\ B e. CC ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = B )
23	17, 13, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = B )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) = ( Re ` B ) )
25	21, 24	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` n ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) )
26	25	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. n e. Z ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` n ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) )
27		nffvmpt1 6199	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` k )
28		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n Re
29		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( ( n e. Z |-> B ) ` k )
30	28, 29	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
31	27, 30	nfeq 2776	. . . . . . 7 |- F/ n ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` k ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
32		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` n ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` n ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) )
36	33, 35	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` k ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) ) <-> ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` n ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) ) )
37	31, 32, 36	cbvral 3167	. . . . . 6 |- ( A. k e. Z ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` k ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) ) <-> A. n e. Z ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` n ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) )
38	26, 37	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. Z ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` k ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) ) )
39	38	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ` k ) = ( Re ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) ) )
40	1, 3, 7, 8, 16, 39	climre 14336	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> ( Re ` B ) ) ~~> ( Re ` C ) )
41	12	ismbfcn2 23406	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. MblFn ) ) )
42	9, 41	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. MblFn ) )
43	42	simpld 475	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. MblFn )
44	12	anasss 679	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. CC )
45	44	recld 13934	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> ( Re ` B ) e. RR )
46	1, 2, 40, 43, 45	mbflimlem 23434	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` C ) ) e. MblFn )
47	5	mptex 6486	. . . . 5 |- ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) e. _V
48	47	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) e. _V )
49	13	imcld 13935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( Im ` B ) e. RR )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) = ( n e. Z |-> ( Im ` B ) )
51	50	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Z /\ ( Im ` B ) e. RR ) -> ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` n ) = ( Im ` B ) )
52	17, 49, 51	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` n ) = ( Im ` B ) )
53	23	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) = ( Im ` B ) )
54	52, 53	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` n ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) )
55	54	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. n e. Z ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` n ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) )
56		nffvmpt1 6199	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` k )
57		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n Im
58	57, 29	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
59	56, 58	nfeq 2776	. . . . . . 7 |- F/ n ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` k ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
60		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` n ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) )
61		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` n ) )
62	34	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) )
63	61, 62	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` k ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) ) <-> ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` n ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) ) )
64	59, 60, 63	cbvral 3167	. . . . . 6 |- ( A. k e. Z ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` k ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) ) <-> A. n e. Z ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` n ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) )
65	55, 64	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. Z ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` k ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) ) )
66	65	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ` k ) = ( Im ` ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) ) )
67	1, 3, 48, 8, 16, 66	climim 14337	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> ( Im ` B ) ) ~~> ( Im ` C ) )
68	42	simprd 479	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. MblFn )
69	44	imcld 13935	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> ( Im ` B ) e. RR )
70	1, 2, 67, 68, 69	mbflimlem 23434	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` C ) ) e. MblFn )
71		climcl 14230	. . . 4 |- ( ( n e. Z |-> B ) ~~> C -> C e. CC )
72	3, 71	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
73	72	ismbfcn2 23406	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` C ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( Im ` C ) ) e. MblFn ) ) )
74	46, 70, 73	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   CCcc 9934   RRcr 9935   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   Recre 13837   Imcim 13838   ~~> cli 14215  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbfmullem2  23491  mbfulm  24160